1、2016-2017学年安徽省合肥一中高三（上）第三次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知R是实数集，M=x|1，N=y|y=，则（CRM）N=（）A（1，2）B1，2C1，2）D0，22下列命题中正确的是（）A若pq为真命题，则pq为真命题B“a0，b0”是“+2”的充分必要条件C命题“若x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x+20”D命题p：x0R，使得x02+x010，则p：xR，使得x2+x103设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的
2、是（）A若m，m，则B若m，则mC若m，m，则D若m，则m4古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）ABCD5函数的图象大致是（）ABCD6设D为ABC所在平面内一点，则（）ABCD7已知实数x，y满足约束条件，若函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为1，则8a+16b的最小值为（）AB4C2D8已知函数f（x）=则f（）+f（）+f（）=（）A2017B2016C4034D40329tan
3、20+4sin20的值为（）ABCD10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，且2sinAsinC=sin2B，则的取值范围为（）ABCD11定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f（x）1，当x，时，不等式f（2cosx）2sin2的解集为（）A（，）B（，）C（0，）D（，）12如图，点列An，Bn分别在某个锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+2，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+2，nN*（PQ表示P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）Adn是等差数列Bdn2是等差
4、数列CSn是等差数列DSn2是等差数列二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量，的夹角为，且|=1， |=14将函数f（x）=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则的最小值是15已知数列an是各项正数首项1等差数列，Sn为其前n项和，若数列也为等差数列，则的最小值是16已知f（x）=，若a，b，c，d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），函数f（x）=
5、cos2x（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（2）当x0，时，求函数f（x）的值域18已知两数列an，bn满足（nN*），3b1=10a1，其中an是公差大于零的等差数列，且a2，a7，b21成等比数列（）求数列an的通项公式；（）求数列bn的前n项和Sn19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ABAD，ABCD，CD=AD=2AB=2AP（1）求证：平面PCD平面PAD；（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由20已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinCbc=
6、0（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求ABC的面积21已知函数f（x）=x+alnx（aR）（1）若函数f（x）在1，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g（x）=x2+（m1）x+，m，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求h（x1）h（x2）的最小值22已知函数f（x）=2ex+2axa2，aR（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）若x0时，f（x）x23恒成立，求实数a的取值范围2016-2017学年安徽省合肥一中高三（上）第三次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，
7、每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知R是实数集，M=x|1，N=y|y=，则（CRM）N=（）A（1，2）B1，2C1，2）D0，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：M=x|x0，或x2，N=y|y0；CRM=x|0x2；（CRM）N=0，2故选D2下列命题中正确的是（）A若pq为真命题，则pq为真命题B“a0，b0”是“+2”的充分必要条件C命题“若x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x+20”D命题p：x0R，使得x02+x0
8、10，则p：xR，使得x2+x10【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据且命题和或命题的概念判断即可；B均值定理等号成立的条件判断；C或的否定为且；D对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论【解答】解：A、若pq为真命题，p和q至少有一个为真命题，故pq不一定为真命题，故错误；B、“a0，b0”要得出“+2”，必须a=b时，等号才成立，故不是充分必要条件，故错误；C、命题“若x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1且x2，则x23x+20”，故错误；D、对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论，命题p：x0R，使得x02+x010，则p：xR，使得x2+
9、x10，故正确故选：D3设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A若m，m，则B若m，则mC若m，m，则D若m，则m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中，与相交或平行；在B中，m或m；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，m与相交、平行或m【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在A中，若m，m，则与相交或平行，故A错误；在B中，若m，则m或m，故B错误；在C中，若m，m，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若m，则m与相交、平行或m，故D错误故选：C4古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，
10、问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）ABCD【考点】等比数列的前n项和【分析】设这女子每天分别织布an尺，则数列an是等比数列，公比q=2利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出【解答】解：设这女子每天分别织布an尺，则数列an是等比数列，公比q=2则=5，解得a3=故选：A5函数的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先求出函数为奇函数，再根据当0x1时，y0，当x1时，y0，故排除B，C，D【解答】解：函数的定义域为（，1）（1，1）（1，
11、+），则f（x）=f（x），f（x）为奇函数，y=f（x）的图象关于原点对称，故排除C，当0x1时，y0，当x1时，y0，故排除B，D，故选：A6设D为ABC所在平面内一点，则（）ABCD【考点】平行向量与共线向量【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式【解答】解：由已知得到如图由=；故选：A7已知实数x，y满足约束条件，若函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为1，则8a+16b的最小值为（）AB4C2D【考点】基本不等式；简单线性规划【分析】可以作出不等式的平面区域，根据目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为1，得到3a+4b=1，进而用基本不等式解
12、答即可得出8a+16b的最小值【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+1=0与直线2xy2=0的交点A（3，4）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大1，3a+4b=18a+16b2=2=2，则8a+16b的最小值为2故选A8已知函数f（x）=则f（）+f（）+f（）=（）A2017B2016C4034D4032【考点】函数的值【分析】根据函数的奇偶性求值即可【解答】解：f（x）=2+，令g（x+）=，得g（x+）是奇函数，f（）+f（）+f（）=22016=4032，故选：D9tan20+4sin20的值为（）ABCD【考点】
13、三角函数的化简求值【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，转化为特殊角的三角函数值，则问题解决【解答】解：tan20+4sin20=2sin60=故选B10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，且2sinAsinC=sin2B，则的取值范围为（）ABCD【考点】正弦定理【分析】正弦定理化简已知的式子得2ac=b2，结合余弦定理求出（a+c）2，代入化简后，由B的范围和余弦函数的性质求出的取值范围【解答】解：在ABC中，2sinAsinC=sin2B，由正弦定理得2ac=b2，由余弦定理得：b2=a2+c
14、22accosB，a2+c22accosB=2ac，得（a+c）2=4ac+2accosB，=，角B为锐角，cosB（0，1），则，故选：B11定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f（x）1，当x，时，不等式f（2cosx）2sin2的解集为（）A（，）B（，）C（0，）D（，）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】构造函数g（x）=f（x），可得g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=0，进而根据f（2cosx）2sin2可得2cosx1，解得答案【解答】解：令g（x）=f（x），则g（x）=f（x）0，g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=f（1）=0，g
15、（2cosx）=f（2cosx）cosx=f（2cosx）cosx，令2cosx1，则g（2cosx）0，即f（2cosx）+cosx，又x，且2cosx1x（，），故选：D12如图，点列An，Bn分别在某个锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+2，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+2，nN*（PQ表示P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）Adn是等差数列Bdn2是等差数列CSn是等差数列DSn2是等差数列【考点】数列与解析几何的综合【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1
16、|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列Sn为等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，则dn不一定是等差数列，dn2不一定是等差数列，设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，由三角形的相似可得=， =，两式相加可得， =2，即
17、有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则数列Sn为等差数列故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量，的夹角为，且|=1， |=3【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量的数量积化简求解即可【解答】解：向量，的夹角为，且|=1，可得： =7，可得，解得|=3故答案为：314将函数f（x）=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则的最小值是2【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】首先利用三角函数的图象平移得到y=sin（x），代入点（，0）后得
18、到sin=0，由此可得的最小值【解答】解：将函数y=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin（x）再由所得图象经过点（，0），可得sin（）=sin=0，=k，kz故的最小值是2故答案为：215已知数列an是各项正数首项1等差数列，Sn为其前n项和，若数列也为等差数列，则的最小值是【考点】数列与不等式的综合；数列的求和【分析】设数列an的公差为d（d0），即有an=1+（n1）d，Sn=n+n（n1）d，再由数列也为等差数列，可得d=2，可得an=2n1，Sn=n2，由基本不等式及等号成立的条件，计算n=2，3的数值，即可得到所求最小值【解答】解：设数列an的
19、公差为d（d0），即有an=1+（n1）d，Sn=n+n（n1）d，=，由于数列也为等差数列，可得1d=0，即d=2，即有an=2n1，Sn=n2，则=（n+）2=2，当且仅当n=2取得等号，由于n为正整数，即有n=2或3取得最小值当n=2时，取得3；n=3时，取得故最小值为故答案为：16已知f（x）=，若a，b，c，d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为【考点】分段函数的应用【分析】不妨设abc，作出f（x）的图象，根据二次函数的对称轴可得a+d=8，根据对数函数的单调性和值域可得2a+b，进而可求得答案【解答】解：不妨设abcd，作出f（x）的图
20、象，如图所示：当x2时，f（x）的对称轴为x=4，c与d关于x=4对称，a+d=8，由图象可知0a1b2，当|log2x|=1，解得x=或x=2，2a+b，10a+b+c+d故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知向量=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），函数f（x）=cos2x（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（2）当x0，时，求函数f（x）的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）首先根据=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），求出；然后根据函数f（x）=co
21、s2x，求出函数f（x）的解析式；最后根据正弦函数的特征，求出其单调递增区间即可；（2）当x0，时，可得2x，然后求出函数f（x）的值域即可【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x=cos2xcossin2xsin=，由2k，可得k，单调递增区间为：k，；（2）当x0，时，可得2x，因此sin（2x+），所以函数f（x）的值域是18已知两数列an，bn满足（nN*），3b1=10a1，其中an是公差大于零的等差数列，且a2，a7，b21成等比数列（）求数列an的通项公式；（）求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由已知求出等差数列的公差和首项即可；（）an=2n
22、+1，所以bn=1+（2n+1）3n，利用分组、错位相减求和即可【解答】解：设数列an的公差为d（d0），3b1=10a1，3（1+3a1）=10a1，a1=3又a2=a1+d=3+d，a7=a1+6d=3（1+2d），b21=9a2=9（3+d），由a2，a7，b21成等比数列得，9（1+2d）2=9（3+d）2，d0，1+2d=3+d，d=2an=3+（n1）2=2n+1（）an=2n+1，所以bn=1+（2n+1）3n于是， 3n）令T=331+532+（2n+1）3n，3T=332+533+（2n+1）3n+1得2T331+232+23n（2n+1）3n+1=9+2，19如图，在四棱锥
23、PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ABAD，ABCD，CD=AD=2AB=2AP（1）求证：平面PCD平面PAD；（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由【考点】平面与平面垂直的判定【分析】（1）根据面面垂直的判断定理即可证明平面PCD平面PAD；（2）根据线面平行的性质定理即可得到结论【解答】（1）证明：PA平面ABCDPACD 又ABAD，ABCD，CDAD 由可得 CD平面PAD又CD平面PCD平面PCD平面PAD（2）解：当点E是PC的中点时，BE平面PAD证明如下：设PD的中点为F，连接EF，AF易得EF是PC
24、D的中位线EFCD，EF=CD由题设可得 ABCD，AF=CDEFAB，EF=AB四边形ABEF为平行四边形BEAF又BE平面PAD，AF平面PADBE平面PAD20已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinCbc=0（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；（2）由题意和平方关系求出sinB，由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC，由正弦定理求出a和c关系，根据题意和余
25、弦定理列出方程，代入数据求出a、c，由三角形的面积公式求出答案【解答】解：（1）由题意知，acosC+asinCbc=0，由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinCsinBsinC=0，由sinB=sin（A+C）=sin（A+C）得，sinAcosC+sinAsinCsin（A+C）sinC=0，则sinAsinCcosAsinCsinC=0，又sinC0，则sinAcosA=1，化简得，即，又0A，所以A=；（2）在ABC中，cosB=得，sinB=则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=由正弦定理得， =设a=7x、c=5x，在ABD中，由余弦定理得：AD
26、2=AB2+BD22ABBDcosB，解得x=1，则a=7，c=5所以ABC的面积S=21已知函数f（x）=x+alnx（aR）（1）若函数f（x）在1，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g（x）=x2+（m1）x+，m，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求h（x1）h（x2）的最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值【分析】（1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可（2）求出函数h（x）的表达式，求出函数h（x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解【解答】解：（1）f（x）=x+
27、alnx，f（x）=1+，f（x）在1，+）上单调递增，f（x）=1+0在1，+）上恒成立，a（x+）在1，+）上恒成立，y=x在1，+）上单调递减，y2，a2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2+mx，其定义域为（0，+），求导得，h（x）=，若h（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1x2=1，x1+x2=m，x2=，从而有m=x1，m，x1x2，x1（，）（，+）则h（x1）h（x2）=h（x1）h（）=2lnx1+（）+（x1）（x1），令（x）=2lnx（x2），x，1则h（x1）h（x2）min=（x）min，（x）=，当x（，1时，（x）0，（x）在，1上单调递减，
28、（x）min=（1）=0，h（x1）h（x2）的最小值为022已知函数f（x）=2ex+2axa2，aR（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）若x0时，f（x）x23恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出原函数的导函数，然后对a分类分析，a0时，f（x）0恒成立，此时f（x）在R上单调递增，无极值；当a0时，由分别由f（x）0和f（x）0求得x的取值范围，得到原函数的单调区间并求得极值；（）令g（x）=f（x）x2+3=2ex（xa）2+3，x0，求其导函数，由导函数的导数恒大于等于0可得导函数单调递增，然后对a分类分析求解实
29、数a的取值范围【解答】解：（）f（x）=2ex+2a，a0时，f（x）0恒成立，此时f（x）在R上单调递增，无极值；当a0时，由f（x）0，得xln（a）；由f（x）0，得xln（a），此时f（x）在（，ln（a）上递减，在ln（a），+）上递增在x=ln（a）处取得极小值，f（x）极小=f（ln（a）=2aln（a）2aa2 综上可得：a0时，单调递增区间为（，+），无极值；a0时，单调递减区间为（，ln（a），递增区间为ln（a），+），在x=ln（a）处取得极小值，f（x）极小=f（ln（a）=2aln（a）2aa2，无极大值（）令g（x）=f（x）x2+3=2ex（xa）2+3，x0，
30、则g（x）=2（exx+a），又令h（x）=2（exx+a），则h（x）=2（ex1）0，h（x）在0，+）上递增，且h（0）=2（a+1）当a1时，g（x）0恒成立，即函数g（x）在0，+）上递增，从而须满足g（0）=5a20，解得，又a1，；当a1时，则x00，使h（x0）=0，且x（0，x0）时，h（x）0，即g（x）0，即g（x）递减，x（x0，+）时，h（x）0，即g（x）0，即g（x）递增，又，从而，解得0x0ln3，由，令M（x）=xex，0xln3，则M（x）=1ex0，M（x）在（0，ln3上递减，则M（x）M（ln3）=ln33，又M（x）M（0）=1，故 ln33a1，综上ln33a52017年2月11日
