1、课后素养落实(二十)椭圆的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是()A1B1C1 D1D由2a12，解得a6，c2，b2622232，焦点在x轴上，椭圆的方程为12椭圆1与椭圆1有相同的()A长轴长B焦点 C焦距D离心率C椭圆1的焦点在x轴上，a4，c1，长轴长为8，焦点分别为(1，0)，(1，0)，焦距为2，离心率为椭圆1的焦点在y轴上，a，c1，长轴长为2，焦点分别为(0，1)，(0，1)，焦距为2，离心率为，所以椭圆1与椭圆1有相同的焦距，故选C3已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的
2、一个端点的距离为()A9 B1C1或9 D以上都不对C由题意得解得a5，b3，c4椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为ac9或ac14若椭圆1(其中ab0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为()A1 B1C1 D1D由题意知2a2c16又e，所以a5，c3，则b4，所以椭圆方程为15把椭圆1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，P7，F是左焦点，则|P1F|P2F|P7F|()A21B28 C35D42C设椭圆的右焦点为F，则由椭圆的定义，得|P1F|P1F|10，由椭圆的对称性，知|P1F
3、|P7F|，|P1F|P7F|10同理，可知|P2F|P6F|10，|P3F|P5F|10又|P4F|5，|P1F|P2F|P7F|35二、填空题6若椭圆1上一点到两焦点的距离之和为m3，则m的值为_9若椭圆的焦点在x轴上，有4m，则a2，由题意知，2am34，m7，由4m知m7(舍去)；若焦点在y轴，有m4，则a，由2am32，得m97已知椭圆W：1(ab0)的离心率为，两点A(0，0)，B(2，0)若椭圆W上存在点C，使得ABC为正三角形，则椭圆W方程为_1因为A(0，0)、B(2，0)，且ABC为正三角形，所以根据正三角形的性质可得点C(1，)或(1，)，又点C在椭圆W上，1，解得椭圆W
4、的方程为18已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为F(2，0)，给出下列四个条件：半短轴长为2；半长轴长为2；离心率为；一个顶点坐标为(2，0)其中可求得椭圆方程为1的条件有_(填序号)只需保证a2，b2，c2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，2)，(2，0)，故可求得椭圆方程为1三、解答题9已知椭圆的标准方程为1(1)求椭圆的长轴长和短轴长；(2)求椭圆的离心率；(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(4，1)的椭圆方程解(1)椭圆的长轴长为2a6，短轴长为2b4(2)c，所以椭圆的离心率e(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b3，可设椭圆方程为1，又椭圆过点P(4，1)，将点P(
5、4，1)代入得1，解得a218故所求椭圆方程为110如图，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即bc所以ac，e(2)由题意知A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)其中，c，设B(x，y)由2(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2又由(c，b)b2c21，即有a22c21由解得c21，a23，从而有b22所以椭圆方程为11(多选题)已知椭圆C
6、的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是()A椭圆C的方程为x21B椭圆C的方程为y21C|PQ|DPF2Q的周长为4ACD由已知得2b2，b1，又a2b2c2，解得a23椭圆方程为x21，又|PQ|PF2Q的周长为4a42如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为()A B C DA由题意得2a8(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12 cm，c2cm，e故选A3如图，已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与
7、圆x2y2b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为_若a3，则圆面积为_4由题意知OQ垂直平分PF2所以|PO|OF2|c又O为F1F2的中点，Q为PF2的中点，所以PF1OQ，PF1PF2，且|PF1|2|OQ|2b，|PF2|2由椭圆的定义可知2a|PF1|PF2|2b2，即ab，两边平方整理可得3b22ab，3b2a，9b24a2，9(a2c2)4a2，即5a29c2，a3c，e 由a3结合上述解法知，3b2a，b2，圆的半径为2，S2244万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式在手
8、工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_cm20因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，即所以，所以，所以小椭圆的长轴长为20 cm已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由解(1)由题意得解得a22故椭圆C的方程为y21设M(xM，0)因为m0，所以1n1易知直线PA的方程为y1x，所以xM，即M(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，n)设N(xN，0)，则直线PB的方程为y1x，故xN“存在点Q(0，yQ)，使得OQMONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)，使得”，即yQ满足y|xM|xN|因为xM，xN，n21，所以y|xM|xN|2所以yQ或yQ故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ，且点Q的坐标为(0，)或(0，)
