1、第 26 讲 平面向量的应用【学习目标】平面向量在平面几何、解析几何、三角函数、数列、物理学等方面的综合应用【基础检测】1设 a，b 是两个不共线的非零向量，已知AB 2akb，BC ab，CD a2b，若 A、B、D 三点共线，则实数 k 的值为()A1 B2 C2 D1C【解析】由已知，BD BC CD 2ab，AB 2akb，因为 A、B、D 三点共线，则AB BD，所以 2akb2ab，即22，kk1.故选 D.2已知向量 a(1，sin2x)，b(sin 2x，2)，其中 x(0，)，若 ab，则 tan x 的值等于_1【解析】由 ab 得 sin 2x2sin2x，即 2sin
2、xcos x2sin2x，即 sin xcos x，tan x1.3设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a|a|b|b|成立的充分条件是()A|a|b|且 abBabCabDa2bD【解析】利用向量的相等与共线知识解决 a|a|表示与 a 同向的单位向量，b|b|表示与 b 同向的单位向量只要 a 与 b 同向就有 a|a|b|b|，观察选择项易知 D 满足题意4对任意两个非零的平面向量 和，定义 ；若两个非零的平面向量 a，b 满足 a 与 b 的夹角 4，2，且 a b，b a 都在集合n2|nZ 中，则 a b()A.12B1 C.32 D.52A【解析】利用向量的数量积的运算
3、求解 a babbb|a|b|cos|b|2|a|cos|b|，b abaaa|b|a|cos|a|2|b|cos|a|.4，2，0cos 22.得(a b)(b a)cos20，12.而 a b 和 b a 都在集合n2|nZ 中，结合选项A，B，C，D 分析可知，只有 A 符合【知识要点】1向量应用的常用结论两个向量垂直的充要条件向量表示：ab坐标表示：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab两个向量平行的充要条件向量表示：若 ab，且 b0，则；坐标表示：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab.ab0 x1x2y1y20存在R，12122112-=0 x y x yxx
4、yy或使ab夹角公式：cos (0180)模长公式：|a|a2 x2y2.数量积性质：|ab|a|b|.2向量应用的分类概述应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和不等式为背景的一种向量描述它需要掌握向量的概念及基本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的“数”、“形”两重性解决问题平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背景的一种向量描述.它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体|aba b平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的
5、位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体平面向量在平面几何中的应用，是以平面几何中的基本图形(三角形、平行四边形、菱形等)为背景，重点考查平面向量的线性运算(三角形法则，平行四边形法则)和几何图形的基本性质平面向量在物理力学等实际问题中的应用，是以实际问题为背景，考查学科知识的综合及向量的方法一、用向量解决平面几何问题例1(1)在等腰直角三角形 ABC 中，ACBC，D 是BC 的中点，E 是线段 AB 上的点，且 AE2BE，求证：ADCE.(2)如图，在ABC 中，点 O 是BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线AB，AC 于不同的两点 M，N，若AB mAM，AC nAN，则
6、mn 的值为_【解析】(1)解法一：设CAa，CBb，则|a|b|且 ab0.CE CA 23 AB CA 23(CB CA)13CA23CB13a23b ADCDCA12CBCA12ba CE AD1233ab12ba 13a213b20 CEAD.解法二：如图建系，由题意设 AC2，则 C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)，D(0，1)，设 E(x，y)，AE 2EB，(x2，y)2(x，2y)，x23，y43，E23，43.AD(2，1)，CE 23，43，AD CE 2231430，又AD 0，CE 0，AD CE.(2)解法一：O 是 BC 的中点，AO 12(AB AC)又AB
7、 mAM，AC nAN，AO m2AM n2AN.而 M、O、N 三点共线，m2n21，mn2.解法二：特值法 令 m1，则 M 与 B 重合，由题意，此时 N 与 C 重合，AC AN，n1，mn2.二、平面向量与三角函数、解三角形的综合问题例2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若AB AC BA BC 1.(1)判断ABC 的形状；(2)求边长 c 的值；(3)若|AB AC|2 2，求ABC 的面积【解析】(1)由AB AC BA BC 1，得 bccos Aaccos B，则 sin Bcos Asin Acos B，sin(AB)0，AB，即ABC 是等腰三角形
8、(2)由AB AC 1，得 bccos A1，又 bcb2c2a22bc1，则 b2c2a22，又 ab，c22，即 c 2.(3)由|AB AC|2 2，得 2b228，b2，又 c 2，cos A 24，sin A 144，SABC12bcsin A122 2 144 72.【点评】平面向量和三角形问题往往结合在一起考查，向量的模对应三角形的边长，向量的夹角和三角形的内角对应，所以在涉及三角形的边长、形状、面积等问题时可考虑用向量法求解三、平面向量与不等式、线性规划的综合问题例3已知点 A(1，1)，B(3，0)，C(2，1)若平面区域 D 由所有满足AP AB AC(12，01)的点 P
9、 组成，则 D 的面积为_3【解析】本题考查向量基本运算及用不等式组表示平面区域等 设 P(x，y)，由APAB AC 知(x1，y1)(21)(1，2)则 2xy33，2yx33.由 12，01，得62xy9，32yx0，满足条件的 P(x，y)用可行域表示如下(阴影部分)由2xy90，x2y30得 M(5，1)，由2xy90，x2y0，得 N(6，3)，|MN|（65）2（31）2 5，而 2xy60 与 2xy90 的距离为|69|22（1）2 35，所求面积为 35 53.四、平面向量与函数的综合问题例4已知 A，B 是圆 O：x2y21 上的两个点，P是 AB 线段上的动点，当AOB
10、 的面积最大时，则AO APAP 2 的最大值是()A1 B0 C.18D.12C【解析】SAOB12|OA|OB|sinAOB，故当AOB90时，AOB 的面积取最大值，|OA|OB|1，故AOB 为等腰直角三角形，且OABOBA4，由于点 P 在线段 AB 上，则存在 x(0，1)，使得APxAB；OP OA AP OA xAB OA x(OB OA)(1x)OA xOB，AO AP AP 2AP(AO AP)AP PO(xOB xOA)(x1)OA xOB x(1x)OA 2x2OB 2x(1x)x22x2x，故当 x14时，2x2x 取最大值18.备选题例5(1)定义域为a，b的函数
11、yf(x)的图象的两个端点为 A，B，M(x，y)是图象上的任意点，其中 xa(1)b(R)，向量ON OA(1)OB，若不等式|MN|k 恒成立，则称函数 f(x)在a，b上“k阶线性近似”若函数 yx1x在1，2上“k 阶线性近似”，则实数 k 的取值范围为()A0，)B1，)C.32 2，D.32 2，C(2)在平面直角坐标系中，设 A，B，C 是圆 x2y21 上相异的的三点，若存在正实数，使OC OAOB，则(t)2(t2)2(tR)的取值范围是_932，【解析】(1)由题意知 a1，b2，A(1，2)，B2，52，直线 AB 的方程为 y12(x3)，xMa(1)b2(1)2，ON
12、 OA(1)OB(1，2)(1)2，52 2，522，xN2，M，N 的横坐标相同，且点 N 在直线 AB 上，|MN|yMyN|x1x12（x3）x21x32，x21x2x21x2，且x21x32，|MN|x21x32 32x21x 322，即|MN|的最大值为32 2，k32 2，故选 C.1用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质
13、解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题3几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积 ab0，尽量用坐标运算(2014 浙江)设 为两个非零向量 a，b 的夹角，已知对任意实
14、数 t，|bta|的最小值为 1()A若 确定，则|a|唯一确定B若 确定，则|b|唯一确定C若|a|确定，则 唯一确定D若|b|确定，则 唯一确定B【解析】先求出向量的模，再通过函数最值求解|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cos t|b|2.因为|bta|min1，所以4|a|2|b|24|a|2|b|2cos24|a|2|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin21，所以|b|sin 1，即|b|1sin.即 确定，|b|唯一确定【点评】考查向量模的运算以及函数最值的求法，综合问题转化，考查知识的应用意识和创新意识1已知向量 a，b 和实数，下列选项中错误的是()
15、A|a|aaB|ab|a|b|C(ab)abD|ab|a|b|【解析】|ab|a|b|cos|，只有 a 与 b 共线时，才有|ab|a|b|，故 B 错误B2已知 a，b 为非零向量，则“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B【解析】ab，ab0，f(x)(|b|2|a|2)x不一定是一次函数，反之成立3设向量 a(3sin cos 1，1)，b(1，1)，3，23，m 是向量 a 在向量 b 方向上的投影，则|m|的最大值是()A.3 22B4C2 2D3C【解析】|m|a|ab|a|b|ab23sin
16、 cos 222sin6 22 2sin6 2，3，23，|m|的最大值是 2 2.4直线 x 3y2 30 与圆 x2y24 交于 A，B 两点，则OA OB()A4 B3 C2 D2C【解析】由x 3y2 30，x2y24，解得x 3，y1或x0，y2，即 A(3，1)，B(0，2)，OA OB 2，故选 C.5已知向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，则x1y1x2y2的值为()A.23B.56C23D56C【解析】|a|2，|b|3，ab6，向量 a 与b 平行，且 a23b，x1y1x2y2x1x2y1y223.6若两个非零向量 a，b 满足|ab|
17、ab|2|a|，则向量 ab 与 ba 的夹角为()A.6B.3C.23 D.56【解析】由|ab|ab|得，a22abb2a22abb2，即 ab0.由|ab|2|a|，得 a22abb24a2，即 b23a2，|b|3|a|，(ab)(ba)b2a23a2a22a2，向量 ab 与 ba 的夹角的余弦值为 cos（ab）（ba）|ab|ab|2a22|a|2|a|12，故 3，选 B.B7在ABC 中，若 AB1，AC 3，|AB AC|BC|，则BA BC|BC|_12【解析】由|AB AC|BC|，知ABC 是以 A 为直角的直角三角形，则BA BC|BC|cos B12.8如图，在直
18、角梯形 ABCD 中，已知BCAD，ABAD，AB4，BC2，AD4，若 P 为 CD 的中点，则PAPB的值为_【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则PA(3，2)，PB(3，2)，PAPB945.59已知向量 asin x，32，b(cos x，1)(1)当 ab 时，求 tan x 的值；(2)求 f(x)(ab)b 在2，0 上的值域【解析】(1)ab，32cos xsin x0.tan x32.(2)absin xcos x，12，f(x)(ab)b 22 sin2x4.2 x0，34 2x4 4.1sin2x4 22.22 f(x)12.即函数 f(x)的值域为 22，12.10已知 A，B，C 是直线 l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量OA，OB，OC 满足OA 32x21 OB(ln xy)OC，记 yf(x)(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)求函数 yf(x)的单调区间【解析】(1)OA 32x21 OB(ln xy)OC，且A，B，C 是直线 l 上的不同三点，32x21(ln xy)1，y32x2ln x.(2)f(x)32x2ln x，f(x)3x1x3x21x.y32x2ln x 的定义域为(0，)，而 f(x)3x21x在(0，)上恒为正，yf(x)在(0，)上为增函数，即 yf(x)的单调增区间为(0，)