1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理一、非标准1.下列说法正确的是()A.合情推理就是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理就是从一般到特殊的推理D.类比推理就是从特殊到特殊的推理解析:归纳推理和类比推理统称为合情推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理就是从特殊到特殊的推理,故选项D正确.答案:D2.在平面直角坐标系内,方程xa+yb=1表示在x,y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间,在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c(abc0)的直线方程为()A.xa+yb+zc=1
2、B.xab+ybc+zac=1C.xyab+yzbc+zxac=1D.ax+by+cz=1答案:C3.如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项,则这个数列的一个通项公式为()A.an=3n-1B.an=3nC.an=3n-2nD.an=3n-1+2n-3解析:a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,猜想an=3n-1.答案:A4.如图所示,n个连续自然数按规律排列如下:根据规律,从2 004到2 006的箭头方向依次为()A.B.C.D.解析:观察总结规律为:以4个数为一个周期,箭头方向重复出现.因此,2 004到2 006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的.故选C.答案:C5
3、.在数学解题中,常会碰到形如“x+y1-xy”的结构,这时可类比正切的和角公式.如:设a,b是非零实数,且满足asin5+bcos5acos5-bsin5=tan815,则ba=()A.4B.15C.2D.3解析:将已知式变形,得asin5+bcos5acos5-bsin5=atan5+ba-btan5=tan5+ba1-batan5=tan815,类比正切的和角公式,即tan(+)=tan+tan1-tantan,可知只有当ba=tan3=3时,上式成立.答案:D6.设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列bn的前
4、n项积为Tn,则T4,T16T12成等比数列.解析:将等差数列中的运算类比等比数列中的运算时,加法类比于乘法,减法类比于除法,故可得类比结论为:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,T8T4,T12T8,T16T12成等比数列.答案:T8T4T12T87.设an是首项为1的正数项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(nN*),经归纳猜想可得这个数列的通项公式为.解析:由首项为1,得a1=1;当n=1时,由2a22-1+a2=0,得a2=12;当n=2时,由3a32-2122+12a3=0,即6a32+a3-1=0,解得a3=13;归纳猜想该数列的通项公式为an=1n(nN
5、*).答案:an=1n(nN*)8.在平面中ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比SAECSBEC=ACBC,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中,平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E,则类比的结论为.解析:平面中的面积类比到空间为体积,故SAECSBEC类比成VA-CDEVB-CDE.平面中的线段长类比到空间为面积,故ACBC类比成SACDSBCD.故有VA-CDEVB-CDE=SACDSBDC.答案:VA-CDEVB-CDE=SACDSBDC9.已知sin230+sin290+sin2150=32,sin25+sin265+sin2125=32,通过观察上述两等式
6、的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明.解:通过观察可得一般性的命题为sin2(-60)+sin2+sin2(+60)=32.证明如下:左边=1-cos(2-120)2+1-cos22+1-cos(2+120)2=32-12cos(2-120)+cos 2+cos(2+120)=32-12(cos 2cos 120+sin 2sin 120+cos 2+cos 2cos 120-sin 2sin 120)=32=右边,所以该一般性的命题成立.10.在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为,则cos2+cos2=1,在立体几何中,通过类比,给出猜想并证明.解:如图,在矩形ABCD中,cos2+cos2=ac2+bc2=a2+b2c2=c2c2=1.于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为,则cos2+cos2+cos2=1.证明如下:如图,cos2+cos2+cos2=ml2+nl2+gl2=m2+n2+g2l2=l2l2=1.