1、第 24 讲 三角函数模型及应用【学习目标】能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算【基础检测】1从点 A 处望点 B 的仰角为，从点 B 处望点 A 的俯角为，则()A B C 90 D 180B【解析】由仰角和俯角的概念可得.2台风登陆某地，台风中心最大风力达到 12 级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成 45角，树干也倾斜为与地面成 75角，树干底部与树尖着地相距 20 米，则折断点与树干底部的距离是()A.20 63米B10 6米C.10 63米D20 6米A【解析】设所求距离为 a 米，由正弦定理得asin 4
2、520sin 60a20 63，选 A.3如图所示，已知两座灯塔 A 和 B与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为()Aa km B.3a kmC.2a km D2a km【解析】利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos 1202a22a212 3a2，AB 3a.B4如图，已知树顶 A 离地面212 米，树干上另一点 B 离地面112 米，某人在离地面32米的 C 处看此树，则该人离此树_米时，看 A，B 的视角最大
3、6【解析】设该人距离此树CDx 米，看 A，B 的视角最大，即为BCA 最大不妨设BCD，ACD，则BCA，且 BD4，AD9，tan 4x，tan 9x，tanBCA9x4x19x4x5xx2365x36x52x36x 512，所以当 x36x，x6 时，BCA 最大【知识要点】1解三角形应用题的一般步骤(1)理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等2解三角形应用题的基本思路实际问题
4、建立数学模型对数学模型求解解决实际问题3解斜三角形应用题常有以下几种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次可用正弦定理或余弦定理解之(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解(3)实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理4实际应用问题中的基本概念和术语在实际测量距离、高度、角度等问题中常涉及以下名词、术语：(1)坡角：坡面与水平面所成的锐二面角，如图中角.(2)坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比，如图中HL.(3)仰角和俯角：二者是
5、指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，其中目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角如图所示(4)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角如 B 点的方位角为(如图)另外，方位角还有其他表示形式，如正南方向，东南方向，北偏西 30，南偏西 60等一、测量问题例1如图，某人在塔的正东方向上的 C 处，在与塔垂直的水平面内，此人沿南偏西 60的方向以每分钟 100 米的速度步行了 1 分钟以后，在点D 处望见塔的底端 B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为 60.(1)求该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大处时，走了几分钟；(2)求塔的高
6、 AB.【解析】(1)依题意知在DBC 中BCD30，DBC18045135，CD100(m)，D1801353015，由正弦定理得CDsinDBCBCsinD，BC CDsinDsinDBC 100sin 15sin 135100 6 242250（6 2）250(31)(m)在 RtABE 中，tan ABBE，AB 为定长，当 BE 的长最小时，取最大值 60，这时 BECD，当 BECD 时，在 RtBEC 中，ECBCcosBCE50(31)32 25(3 3)(m)，设该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大处时，走了 t 分钟，则 tEC10025（3 3）1003 34(分钟)(
7、2)由(1)知当 取得最大值 60时，BECD，在 RtBEC 中，BEBCsinBCD，ABBEtan 60BCsinBCDtan 60 50(31)12 325(3 3)(m)即所求塔高为 25(3 3)m.【点评】在实际测量中，经常会遇到不能直接测量物体高度的情况，这时灵活地利用解三角形的方法能较好地解决这类问题二、周期变化模型例2以一年为一周期调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现：信息 1：该商品出厂价格是在 6 元的基础上按月份随正弦曲线波动的已知 3 月份出厂价格最高，为8 元，7 月份出厂价格最低，为 4 元信息 2：该商品的市场销售价格是在 8 元的基础上，按月份也是随
8、正弦曲线波动的已知 5 月份销售价格最高，为 10 元，9 月份销售价格最低，为 6 元(1)根据上述信息 1 和 2，求该商品的出厂价格 y1和销售价格 y2 与月份 x 之间的函数关系式；(2)若某经销商每月购进该商品 m 件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由【解析】(1)依据信息 1，2 可知，该商品的出厂价格y1 和销售价格 y2 与月份 x 之间的关系都满足正弦曲线，故可设 y1A1sin(1x1)B1，y2A2sin(2x2)B2，依题意，得 B1842 6，A12，T12(73)8，所以 12T1 4.所以 y12sin4 x1 6.将点(3，8)代入函数 y12si
9、n4 x1 6 得，14 2k，kZ，所以 y12sin4 x4 6.同理，可得 y22sin4 x34 8.(2)因为利润函数是 ym(y2y1)m2sin4 x34 82sin4 x4 6 m22 2sin 4 x，所以当 x6 时，利润达到最大，即在 6 月份盈利最大【点评】用待定系数法求出 yAsin(x)B的函数关系，是解题的关键三、三角最值模型例3某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在 l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边 BC，CD 用一根 5 米长的材料弯折而成，边 BA，AD 用一根 9 米长的材料弯折而成，要求A 和C 互补，且 AB
10、BC.(1)设 ABx m，cos Af(x)，求 f(x)的解析式，并指出 x 的取值范围；(2)求四边形 ABCD 面积的最大值【解析】(1)在ABD 中，由余弦定理得 BD2AB2AD22ABADcos A.同 理，在 CBD 中，BD2 CB2 CD2 2CBCDcos C.A 和C 互补，AB2 AD2 2ABADcos A CB2 CD2 2CBCDcos CCB2CD22CBCDcos A.即 x2(9x)x22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A.解得 cos A2x，即 f(x)2x.其中 x(2，5)(2)四边形 ABCD 的面积 S12(ABADCBC
11、D)sin A 12x（9x）x（5x）1cos2A x(7x)12x2（x24）（7x）2 （x24）（x214x49）.记 g(x)(x24)(x214x49)，x(2，5)由 g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，解得 x4(x7 和 x12舍)函数 g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减 因此 g(x)的最大值为 g(4)129108.S 的最大值为 1086 3.故所求四边形 ABC 面积的最大值为 6 3 m3.【点评】正、余弦定理在实际问题中的应用，可通过图形将已知量和未知量转移到同一个三角形中，利用正余弦定理建
12、立等式或不等式例4某乡镇所属 A 村、B 村、C 村位于一个边长为 a 公里的正三角形的三顶点上，乡镇在对外经济改革开放政策中已获得一外资项目，准备在位于BAC 的角平分线上的选址 E 处(记EBD)，修建一农副产品加工厂，要求使得 E 到三村的距离和 f()尽可能的小(1)试求出 f()关于 的函数关系式；(2)问 为何值时，f()最小？试述理由【解析】(1)由 cos a2BE，sin EDBE，得 BEa2cos，EDasin 2cos，于是，有 f()2BE 32 aEDa22sin cos 32 a03.(2)设 g()2sin cos 03，则g()cos2（2sin）sin co
13、s2cos2sin22sin cos22sin 1cos203.令 g()0，得 sin 12.又因为 03，故 6.当 06 时，g()0，g()单调递减；当6 0，g()单调递增；故当且仅当 6 时，g()取最小值 g6 3.因为 a0，故当 g()取最小值时 f()取最小值，即当且仅当 6 时，f()取最小值 3a.备选题例5某海域有一灯塔 E 的周围存在一片暗礁区，为了保证航行安全，将以 E 为中心的 5 海里以内区域设为警戒水域点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45且与点 A 相距 40 2海里的位置B，经过 40 分
14、钟后又测得该船已行驶到点 A 北偏东45其中cos 5 2626，0 90 且与点 A相距 10 13海里的位置 C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由【解析】(1)如图，AB40 2，AC10 13，BAC，cos 5 2626.由余弦定理得 BC AB2AC22ABACcos 10 5.所以船的行驶速度为10 52315 5(海里/小时)(2)如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B，C 的坐标分别是 Bx1，y1，Cx2，y2，BC 与x 轴的交点为 D.由题设有，x1y1 22 AB40，cos
15、 5 2626，05，所以船不会进入警戒水域利用正弦定理或余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等1在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理和余弦定理割裂开来，有时需要综合运用两个定理才能使题目获得解决2在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决3在画图与识图过程中，要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错.1(2014 四川)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，3
16、0，此时气球的高是 60 m，则 河 流 的 宽 度BC等 于()A240(31)m B180(21)mC120(31)m D30(31)mC【解析】先分别求出 CD，BD 的长度，再求 BC 的长度 如 图，在 ACD 中，CAD903060，AD60 m，所以 CDADtan 60603(m)在ABD中，BAD907515，所以 BDADtan 15602 3(m)所 以 BC CD BD 603 60 2 3 12031(m)2(2014 浙江)如图，某人在垂直于水平地面 ABC的墙面前的点 A 处进行射击训练已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此
17、人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P的仰角 的大小(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)若 AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是()A.305 B.3010C.4 39D.5 39D【解析】先利用解三角形知识求解，再利用确定函数最值的方法确定最值 如图，过点 P 作 POBC 于点 O，连接 AO，则PAO.设 COx m，则 OP 33 x m.在 RtABC 中，AB15 m，AC25 m，所以 BC20 m所以 cosBCA45.所 以AO 625x2225x45 x240 x625(m)所以 tan 33 xx240 x62533140
18、x 625x2 3325x 452 925.当25x 45，即 x1254 时，tan 取得最大值为33355 39.【点评】此类题以实际生活为背景，考查学生解三角形的知识及应用正、余弦定理解决实际问题的能力把数学理论与实际生活的距离拉近了许多，体现数学在现实生活中的应用价值，也在一定程度上剔除掉了学生头脑中“数学无用论”的思想 通过考查这类应用问题使学生自觉地关心周围的社会培养学生的世界观和人生观，也体现了新课标所追求的“反映映数学的应用价值，体现数学的文化价值”全新理念1如图所示，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时
19、把消息告知甲船的南偏西 30相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 30角的方向沿直线前往 B 处营救，则 sin 的值为()A.217 B.22C.32D.5 714A【解析】连接 BC.在ABC 中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos 120700，BC10 7.再由正弦定理，得BCsinBAC ABsin，sin 217，故选 A.2一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水
20、柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是()A50 m B100 m C120 m D150 mA【解析】设水柱高度是 hm，水柱底端为 C，则在ABC 中，A60，ACh，AB100，BC 3h，根据余弦定理得：(3h)2h210022h100cos 60，即 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，h50，选 A.3据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7千 元 的 基 础 上，按 月 呈 f(x)Asin(x )bA0，0，|2 的模型波动(x 为月份)，已知 3月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定 f(x)的解析式为()Af(x)2sin
21、4 x4 7(1x12，xN)Bf(x)9sin4 x4(1x12，xN)Cf(x)2 2sin4 x7(1x12，xN)Df(x)2sin4 x4 7(1x12，xN)A【解析】令 x3 可排除 D，令 x7 可排除 B，由A952 2 可排除 C；或由题意，可得 A952 2，b7，周期 T2 2(73)8，所以 4.所以 f(x)2sin4 x 7.因为当 x3 时，y9，所以 2sin34 79，即 sin34 1.因为|2，所以 4.所以 f(x)2sin4 x4 7(1x12，xN)故选 A.4如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C为测量观测点从 A 点测得M 点的
22、仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.150【解析】本题考查解三角形中的应用 如图，在 RtABC 中，BC100，CAB45，AC100 2.在MAC 中，CMA75，ACM60，AMC45.由正弦定理得AMsin 60 100 2sin 45，AM100 3.在 RtAMN 中，NAM60，MNAMsin 60150(m)要注意由实际问题转化为数学问题，正确应用定理5某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos12tsin12t，t0，24)(1)求实验
23、室这一天上午 8 时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差【解析】(1)f(8)10 3cos128 sin128 10 3cos23 sin23 10 312 3210.故实验室上午 8 时的温度为 10.(2)因为 f(t)102 32 cos 12t12sin 12t 102sin12t3，又 0t24，所以3 12t3 73，1sin12t3 1.当 t2 时，sin12t3 1；当 t14 时，sin12t3 1.于是 f(t)在0，24)上的最大值为 12，最小值为 8.故实验室这一天最高温度为 12，最低温度为 8，最大温差为 4.6如图，在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆 B
24、C 与灯柱 AB 所在平面与道路垂直，且ABC120，路灯 C 采用锥形灯罩，射出的光 线 如 图 阴 影 部 分 所 示，已 知ACD60，路宽 AD24 m，设灯柱高 ABh m，ACB(30 45)(1)求灯柱的高 h(用 表示)；(2)若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同，记所用材料长度和为 S，求 S 关于 的函数表达式，并求出 S的最小值【解析】(1)由已知得BAC60，CAD30.又ACD60，ADC90.在ACD 中，ADsin ACDACsin ADC，AC24sin（90）sin 6016 3cos.在ABC 中，ABACsin sin 12016sin 2，即 h16
25、sin 2(3045)(2)在ABC 中，由BCsin BACACsin ABC，得 BCACsin（60）sin 1208 38 3cos 28sin 2，则 S8 38 3cos 28sin 28 316sin(260)(3045)，当 45时，S 取到最小值 8 38(m)7长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为半径是 R 的圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界 ABAD4 公里，BC6 公里，CD2 公里(1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面的半径 R 的值；(2)因地理条件的限制，边界 AD，
26、DC 不能变更，而边界 AB，BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点 P，使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面积最大，并求最大值ABC【解析】(1)因为四边形 ABCD 内接于圆，所以ABCADC180，连接 AC，由余弦定理：AC24262246cos ABC 4222224cos ADC.所以 cos ABC12，ABC(0，)，故ABC60.S 四边形 ABCD1246sin 601224sin 1208 3(平方公里)在ABC 中，由余弦定理：AC2AB2BC22ABBCcos ABC163624612，AC2 7.由正弦定理asin Absin B2R，2R ACsin B2 7324 213，R2 213(公里)(2)S 四边形 APCDSADCSAPC，又 SADC12ADCDsin 1202 3，设 APx，CPy，则 SAPC12xysin 6034 xy.又由余弦定理 AC2x2y22xycos 60 x2y2xy28.x2y2xy2xyxyxy.xy28，当且仅当 xy 时取等号 S 四边形 APCD2 3 34 xy2 3 34 289 3.最大面积为 9 3平方公里