1、章末综合检测(一)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列各式正确的是()A(sin )cos (为常数)B(cos x)sin xC(sin x)cos xD(x5)x6解析：选C.由导数的运算法则易得，注意A选项中的为常数，所以(sin )0.2与曲线yx2相切于P(e，e)处的切线方程是(其中e是自然对数的底)()Ayex2Byex2Cy2xe Dy2xe解析：选D.因为y(x2)x，故曲线在P(e，e)处切线斜率kf(e)2，所以切线方程为ye2(xe)，即y2xe.3设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0()Ae2 Bln
2、 2C De解析：选D.f(x)x(ln x)(x)ln x1ln x.所以f(x0)11n x02，所以ln x01，所以x0e.4函数y4x2的单调递增区间是()A(0，) B(，1)C(，) D(1，)解析：选C.因为y8x0，所以x.即函数的单调递增区间为(，)5若甲的运动方程为s1(t)et1，乙的运动方程为s2(t)et，则当甲、乙的瞬时速度相等时，t的值等于()A1 B2C3 D4解析：选A.需先求甲、乙的瞬时速度，即先求s1(t)、s2(t)的导数，s1(t)et，s2(t)e，即ete，所以t1.6已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)()A在(，
3、0)上为减函数B在x0处取极小值C在(4，)上为减函数D在x2处取极大值解析：选C.在(，0)上，f(x)0，故f(x)在(，0)上为增函数，A错；在x0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x0处取极大值，B错；在(4，)上，f(x)0，f(x)为减函数，C对；在x2处取极小值，D错7已知函数yx22x3在区间a，2上的最大值为，则a等于()A B.C D或解析：选C.y2x2，令y0，解得x1.当a1时，最大值为4，不符合题意，当1a0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()A.ffB.ffDf(0)0，所以g(x)0在x上恒成立，所以g(x)是上的增函数，所以g
4、(0)g，即f(0)2f.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析：由题意得f(x)3x26x3x(x2)当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0.故当x2时取得极小值答案：214已知f(x)(2xx2)ex，给出以下四个结论：f(x)0的解集是x|0x02xx200x2，所以正确由f(x)(2xx2)ex，得到f(x)(2x2)ex，令f(x)0，得到x1，x2，因为在(，)和(，)上f(x)0，f(x)单调递增，所以f()是极小值，f()是极大值，故正确；由题意知，f()为最大值，且无最小值，故错误，正确答案：15电动自行车的耗电量
5、y与速度x之间有如下关系：yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析：由yx239x400，得x1(舍去)或x40.当0x40时，y40时，y0，所以当x40时，y有最小值答案：4016曲线yx3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为_解析：yx3在点(1，1)处的切线方程为y1f(1)(x1)，即y3x2.作图可知SABC|AB|BC|(2)4.答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知函数f(x)ax2axb，f(1)2，f(1)1.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1，2)处的切线方程解：(1)
6、f(x)2axa.由已知得解得所以f(x)x22x.(2)函数f(x)在(1，2)处的切线方程为y2x1，即xy10.18(本小题满分12分)已知函数f(x)axsin x(aR)在上的最大值为，求函数f(x)的解析式解：由已知得f(x)a(sin xxcos x)，对任意x，有sin xxcos x0，当a0时，f(x)，不合题意当a0，x时，f(x)0，x时，f(x)0，从而f(x)在内是增加的，又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f，即a，解得a1.综上所述，f(x)xsin x.19(本小题满分12分)已知函数f(x)exax.(1)已知x1是函数f(x)的极值点
7、，求实数a的值；(2)若a1，求函数f(x)的极值解：(1)由f(x)exax，得f(x)exa，因为x1是函数f(x)的极值点，所以f(1)ea0，解得ae，经检验ae符合条件(2)令f(x)ex10，得：x0，列表如下，x(，0)0(0，)f(x)0f(x)极小值当x0时，f(x)的极小值为1；f(x)无极大值20(本小题满分12分)设函数f(x)exex.(1)证明：f(x)的导数f(x)2；(2)若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值范围解：(1)证明：f(x)exex，由基本不等式得exex22，故f(x)2，当且仅当x0时等号成立，即f(x)2.(2)令g(x)f(x)axexe
8、xax(x0)，则g(0)0，g(x)exexa.若对x0，都有g(x)0，则需g(0)2a0，得a2(a2是g(x)0(x0)恒成立的必要条件)当a2时，g(x)exexa2a0，因此函数g(x)在区间0，)上单调递增，故g(x)g(0)0(x0)恒成立所以a的取值范围是(，221(本小题满分12分)某大型玩具生产公司的一分公司大批生产了一种新型玩具若每件商品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，当每件产品的售价为x元(9x11)时，这一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司这一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分
9、公司这一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)解：(1)由题意，知分公司这一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x3a)(12x)2，x9，11(2)L(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)令L0，得x6a或x12(舍去)因为3a5，所以86a.因为在x6a两侧L的值由正变负，所以当86a9，即3a时，L在x9处取得最大值，Lmax(93a)(129)29(6a)；当96a，即a5时，L在x6a处取得最大值，Lmax4(3a)3；故若3a，则当每件售价为9元时，分公司这一年的利润L最大，最大值为Q(a)9(6a)万元；若a5，则当每件售价为(6a)元时，分公司这
10、一年的利润L最大，最大值为Q(a)4(3a)3万元22(本小题满分12分)设函数f(x)x32ax23a2xb(0a1)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当a时，关于x的方程f(x)0在区间1，3上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围解：(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在(，a)和(3a，)上是减函数，在(a，3a)上是增函数当xa时，f(x)取得极小值，f(x)极小值f(a)ba3；当x3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值f(3a)b.(2)当a时，f(x)x3x2xb.f(x)x2x，由f(x)0，即x2x0，解得x1，x22，即f(x)在上是减函数，在上是增函数，在(2，)上是减函数要使f(x)0在1，3上恒有两个相异实根，即f(x)在(1，2)，(2，3)上各有一个实根，于是有即解得0b.