1、专题综合练三(60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共40分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1在ABC中，B60，b2ac，则ABC一定是()A锐角三角形 B钝角三角形C等腰三角形 D等边三角形【解析】选D.在ABC中，B60，b2ac，cos Ba2c22ac00，即ac，故得到角A等于角C，所以ABC为等边三角形2(2021徐州高一检测)钝角三角形的三边长为a，a1，a2，其最大角不超过120，则a的取值范围为()A BC D【解析】选D.由题意，可设a2所对的角为C，且为最大，cos C，由题意可得90C120，则cos C0，解得：a3.3在ABC中，已
2、知a2b2c2bc，则角A为()A BC D或【解析】选C.由于a2b2c2bc，所以b2c2a2bc，则cos A，又0A，所以A.4在ABC中，ax，b3，B，若ABC有两解，则x的取值范围是()A BC D【解析】选B.由题意可得a sin Bba，即x3x，解得3x6，因此，x的取值范围是.5在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2c2acb2，则cos Asin C的取值范围为()A B C D【解析】选A.由a2c2acb2和余弦定理得cos B，又B，所以B.因为三角形ABC为锐角三角形，则，即，解得A，cos Asin Ccos Asin cos Asi
3、n cos Acos Asin Asin Acos Asin ，因为A，所以A，所以sin ，则cos Asin C，因此cos Asin C的取值范围是.6如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC为()A700 m B640 mC600 m D560 m【解析】选C.根据题意，可得在RtADM中，MAD45，DM400，所以AM400，因为在ACM中，AMC451560，MAC180456075，ACM180756045，由正弦定理，得AC400，在RtABC中，BCAC sin BAC400600(m).7(多选
4、)已知ABC的外接圆半径R，ABAC1，则下列说法正确的是()ABC的最小值为BA的最小值为CABC的周长的最小值为2DABC的面积的最大值为【解析】选ABD.在ABC中，设角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，则cb1，所以BC，又ABC的外接圆半径R，由正弦定理得：2R2，所以0sin Bsin C，又因为B，C不可能为钝角，故0c2，则ABC是锐角三角形B若a cos Ab cos B，则ABC是等腰三角形C若b cos Cc cos Bb，则ABC是等腰三角形D若，则ABC是等边三角形【解析】选CD.若a2b2c2，即a2b2c20，可得cos C0，即只知C为锐角，故A不正确；若a
5、 cos Ab cos B，则sin A cos Asin B cos B，则2sin A cos A2sin B cos B，则sin 2Asin 2B，则AB或AB90，ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；若b cos Cc cos Bb，sin Bsin B cos Csin C cos Bsin (BC)sin A，即AB，则ABC是等腰三角形，故C正确；若，则，则tan Atan Btan C，ABC，即ABC是等边三角形，故D正确二、填空题(每小题5分，共20分)9在ABC中，若A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2a4a sin20.则下列结论正确的是_(填序号)角
6、C一定为锐角；a22b2c20；3tanAtan C0；tan B的最小值为.【解析】b2a4asin 20，所以b2a4asin 20，所以b2a4a cos20，所以b2a4a0，所以b2a cos C0，故cos C0，所以角C一定为钝角，错误；由b2a cos C0得b2a0，所以a22b2c20，正确；由b2a cos C0得sin B2sin A cos C0，所以3sin A cos Ccos A sin C0，所以3tan Atan C0，正确；tan Btan (AC)，当且仅当A时“”成立，错误答案：10(2021苏州高一检测)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五
7、里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为_km2.【解析】设在ABC中，BC13(里)，AC14(里)，AB15(里)，所以cos C，所以sin C，故ABC的面积为13140.5221.答案：2111在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bca，2sin B3sin C，则cos A的值为_【解析】因为2sin B3sin C，所以2b3c，所以bc，代入bca，得a2c，由余弦定理得cos A.答
8、案：12在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a2，sin A，则A_，若角A为钝角，则bc的取值范围为_【解析】由sin A及0A，得A或A.由角A为钝角得A.由正弦定理得，所以bsin B，csin C.由A，ABC，得CB.所以bcsin Bsin Csin Bsin sin Bsin Bcos B2sin ，又0B，所以B.所以sin 1，所以bc2sin .故bc的取值范围为.答案：或三、解答题(每小题10分，共40分)13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin Aa cos .(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin 的值【解析
9、】(1)在ABC中，由正弦定理，可得b sin Aa sin B，又由b sin Aa cos 得a sin Ba cos ，即sin Bcos ，可得tan B.又因为B，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22ac cos B7，故b.由b sin Aa cos ，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin A cos A，cos 2A2cos 2A1. 所以sin sin 2A cos Bcos 2A sin B .14在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A.(1)若ABC的面积为3，求的值；(2)设m，n，且m
10、n，求sin 的值【解析】(1)因为0A0，则sin A，ABC的面积为SABCbc sin Abc3，所以bc.因此cb cos A；(2)因为m，n，且mn，所以2sin cos cos B，即sin Bcos B，所以tan B1，因为0B，所以B，所以sin 2Csin sin cos 2A12cos 2A122，cos 2Ccos cos sin 2A2sin A cos A2，因此sin sin .15在条件(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，a sin Bb cos ，b sin a sin B中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答在ABC中，角A，B，C的
11、对边分别为a，b，c，bc6，a2，_求ABC的面积【解析】若选：由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cos A，因为A(0，)，所以A.又a2b2c2bc(bc)23bc，a2，bc6，所以bc4，所以SABCbc sin A4sin .若选：由正弦定理得sin A sin Bsin B cos .因为0B，所以sin B0，所以sin Acos ，所以sin Acos Asin A，可得tan A，因为0A，所以A.又因为a2b2c22bc cos ，所以bc，即bc2412， 所以SABCbc sin A(2412)63.若选：由正弦定理得sin B sin
12、sin A sin B，因为0B，所以sin B0，所以sin sin A，又因为BCA，所以cos 2sin cos ，因为0A，0ac，且acb，所以这样的ABC存在，其面积Sbc sin A.若选条件.由3sin B3sin C4sin (BC)，得3b3c4a.又a3，所以bc4，因为B，所以b29c23c.解得易知abc，且bca，所以这样的ABC存在，其面积Sac sin B3.若选条件.由3sin B3sin C4sin (BC)，得3b3c4a，又a3，所以bc4，因为AB，所以a2b2c2，即9b2c2，解得易知cab，且abc，所以这样的ABC存在，其面积Sab sin C3.综上所述，这样的三角形存在，选条件时，S；选条件时，S；选条件时，S.
