1、山东师大附中高一数学2020年10月学业质量检测题本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔.第I卷（共60分）一、单项选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分
2、，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1. 如果集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求，再求.【详解】因为集合，所以,，所以.故选：B【点睛】本题考查集合的交并补集，属于基础题型.2. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义直接计算.【详解】因为集合，所以.故选：D【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题型.3. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求，再求.【详解】，所以.故选：A【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.4. 命题“，”的否定形式是（ ）A. ，B. ，C. ，
3、D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定形式，直接求解.【详解】全称命题“，”的否定是“，”.故选：C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.5. 三国时期赵爽在勾股方圆图注中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）.A. 如果，那么B. 如果，那么C. 对任意实数和，有，当且仅当时等号成立D. 如果，那么【答案】C【解析】【分析】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作，分别求出正方形的面积，以及四个直角三角形的面积，即可得出结果.【详解】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作，斜边为，则外围的正方形的面积为，即；四个阴
4、影部分面积之和刚好为，对任意的正实数和，有，当且仅当时等号成立.故选：C.【点睛】本题主要考查基本不等式的推导，熟记基本不等式即可，属于常考题型.6. 已知集合，则满足条件集合的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先解出集合，再根据条件，求集合的个数.【详解】由题意可知，若满足条件，则共4个集合.故选：B【点睛】本题考查子集，子集个数，属于基础题型.7. 已知条件：或，条件，则是的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先判断两个命题中集合的包含关系，再判断充分必要条件.【详解】，解得： ，所以
5、设或，因为，所以是的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查命题是集合形式时，如何判断充分必要条件，属于基础题型.8. 若正实数，满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】正实数，满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值【详解】解：正实数，满足，设，即，故的最小值为4，故选：D【点睛】本题考查了不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下列与表示同
6、一函数的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】AC【解析】【分析】将所给表达式化简，判断定义域和化简后表达式是否相同即可【详解】对A，故与是同一函数；对B，故与不是同一函数；对C，故与是同一函数；对D，故与不是同一函数；故AC正确故选：AC【点睛】本题考查同一函数的判断，抓住函数定义域和化简后表达式相同是解题关键，属于基础题10. 对于任意实数，下列命题中的真命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则，【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【详解】解：对于A：若，则，所以，故A正确；对于B：若，则，化为，可得，故B正确；对于C：若，所以，则
7、，故，故C错误；对于D：若，则，所以，所以，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查了不等式的基本性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11. 若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABCD【解析】【分析】A.由判断；B.由判断；C.由判断；D.由判断.【详解】因为，所以，所以，故A正确；因为，所以，故B正确；因为，故C正确；因为，故D正确.故选：ABCD【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12. 下列说法正确的是（ ）A. 函数，则B. 把函数的图象向左平移个单位，向上平移个单位，得到的函数解析
8、式为C. 函数（或）的值域为D. 若函数（或）的图象与有两个交点，则实数的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数，开口向上，对称轴的方程为，因为，所以，所以不正确；对于B中，函数的图象向左平移个单位，向上平移个单位，可得，所以是正确的；对于C中，由函数，当时，；当时，所以函数的值域为，所以是正确的；对于D中，由函数上单调递减，在递增，且当时，；当时，要使得函数的图象与有两个交点，可得，所以是正确的.故选：BCD【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，逐项进行判定是解答的关键，着重考查推
9、理与运算能力，属于基础题.第卷（共90分）三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 已知函数，则_.【答案】【解析】【分析】根据换元法，令得，代入题中条件，即可得出结果.【详解】令，则，代入可得，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查换元法求函数解析式，属于基础题.已知的解析式求，常用换元法求解析式，一般步骤为：（1）先令，用表示，即得到关于的表达式；（2）将（1）中所得表达式代入所给函数，化简整理，得到，根据相等函数的概念，即可得出结果.14. 如果关于的不等式的解集为或，则等于_【答案】【解析】【分析】由题可得和是方程的两个根，利用韦达定理即可求得，即可求出.【详解】
10、由题可得和是方程的两个根，且，解得，.故答案为：.【点睛】本题考查已知一元二次不等式的解集求参数，属于基础题.15. 某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离和汽车车速有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为_【答案】【解析】【分析】利用函数关系式，根据在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，建立不等关系，解不等式即可求得结论【详解】因为这种车的刹车距离不小于，所以，移项、整理、化简得不等式即 ，因为所以可得这辆汽车刹车前的车速至少为80故答案为：80【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查解不等式，属于基础题16. 已知集合，若“”是
11、“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】分析】由题判断，再由端点值建立不等式即可求解【详解】化简得，由“”是“”的充分不必要条件得，故满足，解得，故答案为：【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数取值范围，属于基础题四、解答题：本大题共6小题，共70分17. 已知函数的定义域为，的值域为，设全集（1）求，；（2）求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数的特征求函数的定义域，再利用二次函数的形式直接求值域；（2）根据（1）的结果直接求.【详解】（1）由题意得：，解得，所以函数的定义域.因为对任意，所以，所以函数的值域；.（2）由（1）知，所以，所以.【点
12、睛】本题考查具体函数的定义域和值域，以及集合的交并补集的运算，属于基础题型.18. （1）解关于的不等式；（2）解关于的不等式（3）若命题“，”为真，求的取值范围【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）（2）直接由一元二次不等式的解法求解即可；（3）对命题分析可知，对应，解不等式可求的取值范围详解】（1），所以，解得或所以不等式的解集为或； （2）不等式，所以且，解得，所以不等式的解集为；（3）“，”命题为真，即不等式有解，所以，解得或所以的取值范围为【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由命题为真求解参数取值范围，属于基础题19. （1）设，求的最大值（2）当时，求的最小值【
13、答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由基本不等式得，化简即可求解；（2）将变形为，再化简结合基本不等式即可求解【详解】（1），当且仅当，即时，等号成立，的最大值为；（2），当且仅当，即时，上式等号成立，的最小值为.【点睛】本题考查由基本不等式求积的最大值与和的最小值，熟练使用形如是解题关键，属于中档题20. 已知函数（1）求，的值；（2）设，试比较，的大小，并说明理由；（3）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值【答案】（1），；（2），答案见解析；（3）.【解析】【分析】（1）代值即可求解；（2）采用作差法得，分析正负即可判断；（3）将条件化简得对一切恒成立，即恒成立，解不等式即可【详
14、解】（1）因为，所以，；（2），理由如下：.因为，则，所以，即，所以，即；（3）因为函数，则不等式可化为，化简可得对一切恒成立，所以，解得所以的取值范围为.所以实数的最大值为.【点睛】本题考查函数值的求解，作差法比较大小，由不等式恒成立求解参数取值范围，属于中档题21. 已知二次函数（，为常数），其图象的对称轴为直线，且方程有两个相等的实数根（1）求函数的解析式；（2）已知函数的最大值为，解关于的不等式：【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）由对称轴可求出，再由方程有两个相等的实数根，利用求出，即得解析式；（2）求出最大值，可得不等式为，讨论的范围可解出不等式.【
15、详解】（1）二次函数的对称轴为直线，即.方程有两个相等的实数根，一元二次方程有两个相等的实数根，.；（2），即，当时，解得.当时，解得，当时，解得，综上，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是.【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，考查含参一元二次不等式的求解，属于基础题.22. 为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，有市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部售完（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析
16、式（利润=销售额-成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元.【解析】【分析】（1）根据题中条件，分，两种情况，由条件条件，即可得出利润关于年产量的解析式；（2）根据（1）的结果，分别求出，对应的函数最值，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）因为投入成本，由题意，当时，；当时，.（2）若，当时，万元若，当且仅当，即时，万元.2020年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元.【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数模型的应用，考查利用基本不等式与二次函数的性质求最值，属于常考题型.函数模型的问题，一般分为利用给定函数模型解决实际问题，和建立拟合函数模型解决实际问题，考查函数与方程的思想，以及学生的计算能力.
