1、2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1两直线axy+2a=0和（2a1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（） A 1 B C 1或0 D 或2已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（） A xy+1=0 B xy1=0 C x+y1=0 D x+y+1=03已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A B （12+4） C D （13+4）4
2、下面说法正确的是（） A 命题“xR，使得x2+x+10”的否定是“xR，使得x2+x+10” B 实数xy是x2y2成立的充要条件 C 设p，q为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq”也为假命题 D 命题“若cos1，则0”的逆否命题为真命题5若，是两个不同的平面，下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a，b，a，b，a，b；存在两条异面直线a，b，a，b，a，b那么可以是的充分条件有（C） A 4个 B 3个 C 2个 D 1个6正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为60，则该三棱柱的侧棱长为（） A 2或 B C
3、D 27已知命题p：函数f（x）=lg（ax2x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式1+ax对一切正实数x均成立如果，命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，则实数a的取值范围为（） A a1 B 1a2 C a2 D 无解8已知抛物线y=x21上的一定点B（1，0）和两个动点PQ、，当BPPQ时，点Q的横坐标的取值范围是（） A （，31，+） B 3，1 C （，31，）（，+） D 1，+）9椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（） A B C D 10过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点
4、A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则POQ面积的最小值为（） A B C 1 D 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置）11直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于12已知双曲线的方程为x2=1，点A的坐标为（0，），B是圆（x）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为13在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为14已知平面内一点P（x，y）|（x2cos）2+（y
5、2sin）2=16，R，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是15已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）若点P（1，1），线段l：xy3=0（3x5），则d（P，l）=；设l是长为2的定线段，则集合D=P|d（P，l）1所表示的图形面积为4；若A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D=P|d（P，l1）=d（P，l2）=（x，y）|x=0；若A（1，0），B（1，0），C（0，1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距
6、离相等的点的集合D=P|d（P，l1）=d（P，l2）=（x，y）|x2y2=0其中正确的有三、解答题：（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内）16在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求ABC的面积17如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AD平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AE平面BFD；（2）求三棱锥CBGF的体积18已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并
7、求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直求四边形ABCD面积的最大值；求|AC|+|BD|的最大值19椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P（1）求椭圆T的离心率；（2）设ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki0，i=1，2，3若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：+为定值20如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE平面ABED，F为BE的中点图2所示（1）求证：
8、AE平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由21椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+=0相切（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M（，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=，=，且+=4，求抛物线C的标准方程2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项
9、是符合题目要求的）1两直线axy+2a=0和（2a1）x+ay+a=0互相垂直，则a=（） A 1 B C 1或0 D 或考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系专题： 直线与圆分析： 利用直线与直线垂直，两直线中x、y的系数积之和为0的性质求解解答： 解：两直线axy+2a=0和（2a1）x+ay+a=0互相垂直，a（2a1）a=0，解得a=1或a=0故选：C点评： 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线垂直的性质的合理运用2已知圆C：x2+2x+y2=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（） A xy+1=0 B xy1=0 C
10、x+y1=0 D x+y+1=0考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系专题： 直线与圆分析： 由与l1垂直的直线l2平分该圆，得到l2的斜率k=1，且过圆心C（1，0），由此能求出直线l2的方程解答： 解：圆C：x2+2x+y=0的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2平分该圆，l2的斜率k=1，且过圆心C（1，0），l2的方程为：y=（x+1），整理，得x+y+1=0故选：D点评： 本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用3已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（） A B （12+4） C D （1
11、3+4）考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，结合圆柱和圆台的相关面积公式，可得答案解答： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和圆台的组合体，圆台的上底面半径，即圆柱的底面半径为：，圆台的下底面半径为，圆柱的高为1，圆台的高为2，故圆台的母线长为：=，该几何体的表面积相当于圆台的表面积与圆柱侧面积的和，故S=+=，故选：A点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状4下面说法正确的是（） A 命题“xR，使得x2+x+10”的否定是“xR，使得x2+x+10” B 实数
12、xy是x2y2成立的充要条件 C 设p，q为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq”也为假命题 D 命题“若cos1，则0”的逆否命题为真命题考点： 命题的真假判断与应用专题： 阅读型；简易逻辑分析： 由命题的否定的形式，即可判断A；运用充分必要条件的定义，即可判断B；运用复合命题的真假和真值表，即可判断C；运用原命题和逆否命题互为等价命题，即可判断D解答： 解：对于A命题“xR，使得x2+x+10”的否定是“xR，使得x2+x+10”，则A错误；对于B实数xy不能推出x2y2，反之，也不能推出，则为既不充分也不必要条件，则B错误；对于C设p，q为简单命题，若“pq”为假命题，则p，q均为假命
13、题，p，q均为真命题，pq”为真命题，则C错误；对于D命题“若cos1，则0”的逆否命题为”“若=0，则cos=1”为真命题，则D正确故选D点评： 本题考查命题的否定、充分必要条件的判断、复合命题的真假以及四种命题的关系，考查判断推理能力，属于基础题和易错题5若，是两个不同的平面，下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a，b，a，b，a，b；存在两条异面直线a，b，a，b，a，b那么可以是的充分条件有（C） A 4个 B 3个 C 2个 D 1个考点： 平面与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离分析： 根据垂直于同一直线的两平面平行，判断是否正确；根据垂直于
14、同一平面的两平面位置关系部确定来判断是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，判断的正确性；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，判断是否正确解答： 解：当、不平行时，不存在直线a与、都垂直，a，a，故正确；对，、可以相交也可以平行，不正确；对，ab，a，b，a，b时，、位置关系不确定，不正确；对，异面直线a，ba过上一点作cb；过b上一点作da，则 a与c相交；b与d相交，根据线线平行线面平行面面平行，正确故选C点评： 本题考查面面平行的判定通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定6正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为2，若异面直线AB1与BC1所成的角为6
15、0，则该三棱柱的侧棱长为（） A 2或 B C D 2考点： 棱柱的结构特征专题： 空间位置关系与距离分析： 由题意画出图形，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，设出正三棱柱的高，然后通过解三角形求得答案解答： 解：如图，分别取AB，B1C1，A1B1，BB1的中点为E，F，G，H，连接EF，EH，FH，EG，FG，设正三棱柱的高为2h，又底面边长为2，则，在三角形EHF中，由余弦定理可得：EF2=EH2+FH22EHFHcos120，则，解得：h=正三棱柱的高为故选：D点评： 本题考查了棱柱的结构特征，考查了异面直线所成角的概念，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是
16、中档题7已知命题p：函数f（x）=lg（ax2x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式1+ax对一切正实数x均成立如果，命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，则实数a的取值范围为（） A a1 B 1a2 C a2 D 无解考点： 复合命题的真假专题： 简易逻辑分析： 由于命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，可得命题p与q必然一真一假，解答： 解：命题p：函数f（x）=lg（ax2x+a）的定义域为R，当a=0时，函数f（x）的定义域不为R；当a0时，由题意可得：，解得a2命题q：q：不等式1+ax对一切正实数x均成立，当a0时，可得x（a2x+2a2）0，当a1时，上述不等式对
17、一切正实数x均成立；当0a1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立可得：实数a的范围是a1命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，命题p与q必然一真一假，或，解得1a2则实数a的取值范围为1a2故选：B点评： 本题考查了简易逻辑的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8已知抛物线y=x21上的一定点B（1，0）和两个动点PQ、，当BPPQ时，点Q的横坐标的取值范围是（） A （，31，+） B 3，1 C （，31，）（，+） D 1，+）考点： 抛物线的简单性质专题：
18、不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先设P，Q的坐标，利用BPPQ，可得斜率之积为1，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，注意检验t=1的情况，即可求得Q点的横坐标的取值范围解答： 解：设P（t，t21），Q（s，s21）BPPQ，=1，即t2+（s1）ts+1=0，tR，P，Q是抛物线上两个不同的点，必须有=（s1）2+4（s1）0即s2+2s30，解得s3或s1由t=1，代入t2+（s1）ts+1=0，可得t=，此时P，B重合，则有sQ点的横坐标的取值范围是 （，31，）（，+）故选C点评： 本题重点考查取值范围问题，解题的关键是利用两直线垂直的条件：
19、斜率之积为1构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解9椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（） A B C D 考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 分等腰三角形F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围解答： 解：当点P与短轴的顶点重合时，F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰F1F2P；当F1
20、F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，F1F2=F1P，点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰F1F2P，在F1F2P1中，F1F2+PF1PF2，即2c+2c2a2c，由此得知3ca所以离心率e当e=时，F1F2P是等边三角形，与中的三角形重复，故e同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e时也存在2个满足条件的等腰F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e（，）（，1）点评： 本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P
21、使得F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题10过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则POQ面积的最小值为（） A B C 1 D 考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由点H在椭圆上，知H（3cos，2sin），由过椭圆上一点H（3cos，2sin）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cos）x+（2sin）y=2，由此能求出POQ面积最小值解答： 解：点H在椭圆上，H
22、（3cos，2sin），过椭圆上一点H（3cos，2sin）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，直线AB的方程为：（3cos）x+（2sin）y=2，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，P（，0），Q（0，），POQ面积S=，1sin21，当sin2=1时，POQ面积取最小值点评： 本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置）11直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1
23、=2，BAC=120，则此球的表面积等于20考点： 球内接多面体专题： 计算题；压轴题分析： 通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积解答： 解：在ABC中AB=AC=2，BAC=120，可得由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径，故此球的表面积为4R2=20故答案为：20点评： 本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力12已知双曲线的方程为x2=1，点A的坐标为（0，），B是
24、圆（x）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为+3考点： 双曲线的简单性质专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得|MA|MD|=2a=4于是|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|4+|BD|，再利用|BD|CD|r即可解答： 解：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|MD|=2a=4|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|4+|BD|，又B是圆（x）2+y2=1上的点，则圆的圆心为C（，0），半径为1，故|BD|CD|1=1=1，从
25、而|MA|+|MB|4+|BD|+3，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+3故答案为：+3点评： 熟练掌握双曲线的定义和性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键13在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为考点： 棱柱的结构特征专题： 计算题；转化思想分析： 在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长解答： 解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：，所以r=，设正方体的最大
26、棱长为a，所以，a=故答案为：点评： 本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力14已知平面内一点P（x，y）|（x2cos）2+（y2sin）2=16，R，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是32考点： 圆方程的综合应用专题： 计算题分析： 先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可解答： 解：（x2cos）2+（y2sin）2=16，则圆心为（2cos，2sin）半径为4圆心为以（0，0）为圆心，半径为2的圆上动点满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以
27、6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积即364=32故答案为：32点评： 本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题15已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）若点P（1，1），线段l：xy3=0（3x5），则d（P， l）=；设l是长为2的定线段，则集合D=P|d（P，l）1所表示的图形面积为4；若A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，0），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D=P|d（P，l1）=d（P，l2）=（x，y）|x=0；若A（1，0），
28、B（1，0），C（0，1），D（0，1），线段l1：AB，l2：CD，则到线段l1，l2距离相等的点的集合D=P|d（P，l1）=d（P，l2）=（x，y）|x2y2=0其中正确的有考点： 集合的表示法专题： 综合题；集合分析： 根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式由题意知集合D=P|d（P，l）1所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果解答： 解：点
29、P（1，1）到线段l：xy3=0（3x5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=，故正确；由题意知集合D=P|d（P，l）1所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，S=22+=4+，故错误；A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，0）利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合=P|d（P，l1）=d（P，l2），根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，到两条直线距离相等的点的集合是y轴，故正确A（1，0），B（1，0），C（0，1），D（0，1），线段l1：y=0，l2：x=0，则到线段
30、l1，l2距离相等的点的集合D=P|d（P，l1）=d（P，l2）=（x，y）|x2y2=0，故正确故答案为：点评： 本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目三、解答题：（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内）16在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求ABC的面积考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系专题： 直线与圆分析： 由方程组，得顶点A（1，0），从而AC所在的直线方程为y=（
31、x+1），BC所在的直线方程为y2=2（x1），进而求出顶点C的坐标为（5，6）和点A到直线BC的距离，由此能求出ABC的面积解答： 解：由方程组，解得顶点A（1，0）（2分）又AB的斜率为kAB=1，且x轴是A的平分线，故直线AC的斜率为1，AC所在的直线方程为y=（x+1）（6分）已知BC边上的高所在的直线方程为x2y+1=0，故BC的斜率为2，BC所在的直线方程为y2=2（x1）（8分）解方程组，得顶点C的坐标为（5，6）（10分）|BC|=4，点A到直线BC的距离d=，（12分）点评： 本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用17如图所示的几何
32、体中，四边形ABCD为矩形，AD平面，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AE平面BFD；（2）求三棱锥CBGF的体积考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （1）由题意可得G为AC中点，再由已知可得F是EC中点，连接FG，由三角形中位线性质可得FGAE，再由线面平行的判定得答案；（2）把三棱锥CBGF的体积转化为GBFC的体积，然后通过解三角形求得三棱锥GBFC的底面积和高，则三棱锥的体积可求解答： （1）证明：如图，由题意可得G是AC的中点，连接FG，BF平面ACE，则CEBF，而BC=BE，F是EC中点，在AEC
33、中，FGAE，AE平面BFD；（2）解：AE平面BFD，AEFG，由题可得AE平面BCE，FG平面BCEG是AC的中点，F是CE中点，AEFG且FG=，BF平面ACE，BFCE，RtBCE中，BF=，=点评： 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题18已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直求四边形ABCD面积的最大值；求|AC|+|BD|的最大值考点： 直线和圆的方程的
34、应用专题： 直线与圆分析： （1）代入M，解方程可得a，由切线的性质，可得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）运用弦长公式，由四边形的面积公式可得SABCD=|AC|BD|，结合重要不等式，即可得到最大值；运用弦长公式可得|AC|+|BD|，平方后结合基本不等式，即可得到最大值解答： 解：（1）由条件知点M在圆O上，所以1+a2=4，则a=，由a0，则a=，点M为（1，），kOM=，切线的斜率为，此时切线方程为y=（x1），即x+y4=0；（2）设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|OM|2=3，于是|AC|=2，|BD|=2，SABCD=|AC|BD|
35、=24d12+4d22=83=5，当且仅当d1=d2=时取等号，即四边形ABCD面积的最大值为5；|AC|+|BD|=2+2，则（|AC|+|BD|）2=4（4d12+4d22+2）=4（5+2）=4（5+2）因为2d1d2d12+d22=3，所以d12d22，当且仅当d1=d2=时取等号，所以，所以（|AC|+|BD|）24（5+2）=40，所以|AC|+|BD|2，即|AC|+|BD|的最大值为2点评： 本题考查直线和圆相交的性质，主要考查弦长公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题19椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）AB
36、C的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P（1）求椭圆T的离心率；（2）设ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki0，i=1，2，3若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：+为定值考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）设出椭圆T的方程，由椭圆定义求得a，则椭圆的离心率可求；（2）由（1）求出椭圆T的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由A，B在椭圆上，把A，B坐标代入椭圆方程，两式相减得到，同理，作和后证得答案解答： （1）解：设椭圆T的方程为，由
37、题意知：左焦点为F（2，0），2a=|EF|+|EF|=，解得：故椭圆T的离心率为；（2）证明：由（1）知椭圆T的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由：，两式相减，得到（x1x2）（x1+x2）+2（y1y2）（y1+y2）=0，即，同理，又直线OM、ON、OP的斜率之和为0，+=0为定值点评： 本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形中位线定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口，是中档
38、题20如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE平面ABED，F为BE的中点图2所示（1）求证：AE平面BCE；（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （1）根据线面垂直的判定定理即可证明AE平面BCE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可得到结论解答： （1）证明：在直角梯形ABCD中易求得AB=2，AE=，
39、BE=（2分）AE2+BE2=AB2，故AEBE，且折叠后AE与BE位置关系不变（4分）又面BCE面ABED，且面BCE面ABED=BE，AE面BCE（6分）（2）解：在BCE中，BC=CE=2，F为BE的中点CFBE又面BCE面ABED，且面BCE面ABED=BE，CF面ABED，故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则A（，0），C（0，0，），E（0，0），易求得面ACE的法向量为=（0，1）（8分）假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，所成角的余弦值为，且，（R），B（0，0），=（，0）， 故=（，0），又=（，），=（1），（21），），又 =（0，0，）， 设面
40、PCF的法向量为=（x，y，z），即，令x=21得=（21，（1），0）（10分）|cos|=|=，解得 （12分）因此存在点P且P为线段AB上靠近点B的三等分点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为（13分）点评： 本题主要考查空间线面垂直的判定以及空间二面角的计算和应用，建立空间坐标系利用向量法是解决本题的关键21椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+=0相切（1）求椭圆E的方程；（2）已知直线l过点M（，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=，=，且+=4，求抛
41、物线C的标准方程考点： 椭圆的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）利用离心率计算公式、以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+=0相切，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a0），直线与抛物线C切点为N（x0，ax02）利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线方程，即可得到切点N，进一步简化切线方程，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式=，=，且+=4，即可得到a及抛物线C的标准方程解答： 解：（1）由题意知e=，即a=b（1分）又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+=0
42、相切，b=1，（2分）a=，故椭圆的方程为（4分）（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a0），直线l与抛物线的切点为N（x0，ax02）y=2ax，切线l的斜率为2ax0，切线方程为yax02=2ax0（xx0），直线l过点M（，0），ax02=2ax0（x0），点N在第二象限，x00，解得x0=1N（1，a）直线l的方程为y=2axa（8分）代入椭圆方程整理得（1+8a2）x2+8a2x+2a22=0设A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=，x1x2=（10分）由=，=，得=，=+=+=4，a0，a=抛物线的标准方程为x2=y（13分）点评： 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、直线与抛物线相切问题、导数的几何意义、向量的运算等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力
