1、专题16一次函数中的存在性综合问题1、如图直线ykx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB（BQOP），求此时直线PQ的解析式解：（1）对于直线ykx+k，令y0，可得x1，A（1，0），OA1，AB2，OB，k（2）如图，tanBAO，BAO60，PQAB，APQ90，AQP30，AQ2AP2t，当0t时，SOQPy（12
2、t）tt2+t当t时，SOQPy（2t1）tt2t（3）OQ+AB（BQOP），2t1+2（），2t+1，4t2+4t+17t27t+7，3t211t+60，解得t3或（舍弃），P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为ykx+b，则有，解得，直线PQ的解析式为yx+2、在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的任意一点P，图形M上的任意一点Q，作OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”已知直线yx+b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是中心为坐标原点，且边长为2的正方形（1）如图1，当b
3、2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是 （请直接写出答案）；（2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围；（3）如图3，当b6时，图形S沿直线yx平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围解：（1）如图1中，由题意b2时，直线yx+2，A（4，0），B（0，2），点A和点B关于原点O的“中位形”是AOB的中位线EF，EFAB故答案为（2）如图2中，当AOB的中位线EF经过点（1，1）时，直线EF 的解析式为yx+，E（0，），OEEB，B（0，3），当AOB的中位线E
4、F经过点（1，1）时，直线EF 的解析式为yx，E（0，），OEEB，B（0，3），观察图象可知满足条件的b的值为3b1或1b3（3）如图3中，设平移后的正方形T的中心的坐标为（t，t），则C（t1，t+1），OC的中点E（，），OB的中点F（0，3），直线EF的解析式为yx3，当直线经过（1，1）时，13，解得t9，观察图形可知，t9时，图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，如图4中，设平移后的正方形T的中心的坐标为（t，t），则C（t1，t+1），OC的中点E（，），O的中点F（6，0），此时直线EF的解析式为yx，当直线经过（1，1）时，1，解得t观察图形可知
5、，t时，图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，综上所述，满足条件的t的值为t9或t3、如图，直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B处（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）当x0时，y8，B（0，8），当y0时，x+80，x6，A（6，0）；（2）在RtAOB中，AOB90，OA6，OB8，AB10，由折叠得：ABAB10，OB1064，设OMa，则
6、BMBM8a，由勾股定理得：a2+42（8a）2，a3，M（0，3），设AM：ykx+b，则，解得：，直线AM的解析式为：yx+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰二角形，如图M（0，3），B（4，0），BM5，当PBBM时，P1（9，0），P2（1，0）；当BMPM时，P3（4，0），当PBPM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交BM与Q，易证得P4BQMBO，则，即，P4B，OP44，P4（，0），综上，P点的坐标为（9，0）或（1，0）或（4，0）或（，0）4、如图，一次函数y1x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1x+b，与y2x的图象交于
7、第二象限的点C，且点C横坐标为3（1）求b的值；（2）当0y1y2时，直接写出x的取值范围；（3）在直线y2x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1x+b于点Q，当PQOC时，求点P的坐标解：（1）将x3代入y2x，可得C（3，4），再将C点代入y1x+b，b7；（2）7x3；（3）点P为直线y2x上一动点，设P（a，a），PQx轴，Q（a7，a），PQ|a+7|，C（3，4），OC5，PQOC14，|a+7|14，a3或a9，P（3，4）或P（9，12）5、如图，在平面直角坐标系中，直线yx+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线yx+2交于点D（3，m），直线yx+2交x轴于点C，交
8、y轴于点E（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PCPD|取最大值时，P点的坐标（2）在（1）问的条件下，将COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当PMA是等腰三角形时，求BM的长解：（1）当x3时，m3+25，D（3，5），把D（3，5）代入yx+b中，3+b5，b8，yx+8，当y0时，x+20，x2，C（2，0），如图1，取C关于y轴的对称点C（2，0），P1是y轴上一点，连接P1C、P1C、P1D，则P1CP1C，|P1DP1C|P1DP1C|CD，当P与C、D共线时，|PCPD|有最大值是CD，设直线CD的解析式为：ykx+b，把C（2，0）和D（
9、3，5）代入得：，解得：，直线CD的解析式为：y5x10，P（0，10）；（2）分三种情况：当APAM时，如图2，由（1）知：OP10，由勾股定理得：AP2，AB8，BMAB+AM8+2；同理得：BM128；当APPM时，如图3，过P作PNAB于N，BNP90，NBP45，BNP是等腰直角三角形，PB18，BN9，AB8，AN98，APPM，PNAM，AM2AN2，BM8+210；当AMPM时，如图4，过P作PNAB于N，AN，PN9，设MNx，则PMANx+，由勾股定理得：PN2+MN2PM2，解得：x40，BMAB+AN+MN8+4049；综上，当PMA是等腰三角形时，BM的长是8+2或2
10、8或10或496、如图，已知一次函数y3x+3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且ACBC（1）求直线AC的解析式（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；ADBG（3）在（2）的条件下，若AFD2BAO，求点D坐标解：（1）当x0时，y3，A（0，3）令y0得：3x+30，解得：x1，B（1，0）设OCx，则ACBCx+1在RtAOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2AC2，即32+x2（x+1）2，解得：x4，C（4，0）设直线AC的解析式为ykx+b，则 ，解得：，直线AC的解析式为yx+3（2）如图1所示：过点D作DHx轴，则HDFBGFHDEFCG，E为CD的中点，F为DG的中点FGDF在BGF和HDF中，BGFHDF（ASA）HDBGACBC，CABABCHDCG，AHDABC，HADAHDADDH，ADBG（3）如图2所示：连接AG，过点C作CHAB，垂足为H，过D作DMx轴于M，在RtABO中，依据勾股定理可知AB，