1、第二讲 坐标系与参数方程(选修 44)1(2014新课标全国卷)已知曲线 C：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数)(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值 解：(1)曲线 C 的参数方程为x2cos，y3sin(为参数)直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin)到 l 的距离为 d 55|4cos 3sin 6|.则|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan 43.当 sin(
2、)1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55.当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.2(2014新课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos，0，2.(1)求 C 的参数方程；(2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标 解：(1)C 的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得 C 的参数方程为x1cos t，ysin t(t 为参数，0t)(2)设 D(1cos t，sin t)，由(1)知 C 是以 G(1
3、,0)为圆心，1 为半径的上半圆因为 C 在点 D处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同，tan t 3，t3.故 D 的直角坐标为1cos3，sin3，即32，32.3(2013新课标全国卷)已知曲线 C1 的参数方程为x45cos t，y55sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin.(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(0,02)解：(1)将x45cos t，y55sin t消去参数 t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即 C1：x2y28x10y1
4、60.将xcos，ysin 代入 x2y28x10y160，得 28cos 10sin 160.所以 C1 的极坐标方程为 28cos 10sin 160.(2)C2 的普通方程为 x2y22y0.由x2y28x10y160，x2y22y0，解得x1，y1或x0，y2.所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为2，4，2，2.4(2013福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点 A 的极坐标为2，4，直线 l 的极坐标方程为 cos4 a，且点 A在直线 l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为x1cos，ys
5、in(为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 解：(1)由点 A2，4 在直线 cos4 a 上，可得 a 2.所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r1，因为圆心 C 到直线 l 的距离 d 12 22 b0)的参数方程是xacos，ybsin，其中 是参数 椭圆x2b2y2a21(ab0)的参数方程是xbcos，yasin，其中 是参数(3)直线 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程是xx0tcos，yy0tsin，其中
6、 t 是参数 热点一极坐标方程及其应用 例 1(1)(2014江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段 y1x(0 x1)的极坐标方程(2)(2014东北三校联考)已知点 P(1cos，sin)，参数 0，点 Q 在曲线 C：92sin4上 求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程；求点 P 与点 Q 之间距离的最小值 师生共研(1)因为 xcos，ysin，且 y1x，所以 sin 1cos，所以(sincos)1，1sin cos.又 0 x1，所以 0y1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则 02，即所求线段的极坐标方程为
7、 1sin cos 02.(2)由x1cos，ysin，消去，得点 P 的轨迹方程为(x1)2y21(y0)，又由 92sin4，得 9sin cos，所以 sin cos 9.所以曲线 C 的直角坐标方程为 xy9.因为半圆(x1)2y21(y0)的圆心(1,0)到直线 xy9 的距离为 4 2，所以|PQ|min4 21.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大方便 1在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin4 22.(0,00，得 cos sin，故 0，4，|PM1|PM2|t1t2|6417si
8、n2 1289，64.热点三极坐标方程与参数方程的综合应用 例 3(2014辽宁高考)将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 师生共研(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上点(x，y)，依题意，得xx1，y2y1.由 x21y211 得 x2 y221，即曲线 C 的方程为 x2y241.故 C 的参数方程为xcos t，y2sin t
9、(t 为参数)(2)由x2y241，2xy20，解得x1，y0或x0，y2.不妨设 P1(1,0)，P2(0,2)，则线段 P1P2 的中点坐标为12，1，所求直线斜率为 k12，于是所求直线方程为 y112x12，化为极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3，即 34sin 2cos.对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解 3极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴已知直线 l 的参数方程为x2tcos，ytsin(t 为参数)曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos.(1)求曲线 C 的直角坐标
10、方程；(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与 x 轴的交点为 F，求 1|AF|1|BF|的值 解：(1)由 sin28cos 得 2sin28cos，曲线 C 的直角坐标方程为 y28x.(2)易得直线 l 与 x 轴的交点为 F(2,0)，将直线 l 的方程代入 y28x，得(tsin)28(2tcos)，整理得 t2sin2 8tcos 160.由已知 sin 0，(8cos)24(16)sin2 640，t1t28cos sin2，t1t2 16sin20)，曲线 C 的参数方程为x2cos，y22sin (为参数)，点 M 是曲线 C 上的一动点(1)求线段 OM 的中
11、点 P 的轨迹方程；(2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值 解：(1)设中点 P 的坐标为(x，y)，依据中点公式有xcos，y1sin (为参数)这是点 P 轨迹的参数方程，消参得点 P 的普通方程为 x2(y1)21.(2)直线 l 的直角坐标方程为 xy10，曲线 C 的普通方程为 x2(y2)24，表示以(0,2)为圆心，以 2 为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线 l 的距离减去半径，设所求最小距离为 d，则 d|121|1123 22 2.因此曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为3 22 2.5(2014沈阳模拟)已知曲线 C1 的极坐标方程为 2co
12、s 28，曲线 C2 的极坐标方程为 6，曲线 C1、C2 相交于 A、B 两点(1)求 A、B 两点的极坐标；(2)曲线 C1 与直线x1 32 t，y12t(t 为参数)分别相交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度 解：(1)由2cos 28，6得：2cos38，所以 216，即 4.所以 A、B 两点的极坐标为：A4，6，B4，6 或 B4，76.(2)由曲线 C1 的极坐标方程得其直角坐标方程为 x2y28，将直线x1 32 t，y12t代入x2y28，整理得 t22 3t140，所以|MN|2 3241412 17.6(2014昆明模拟)在直角坐标系 xOy 中，l 是过定点 P(
13、4,2)且倾斜角为 的直线，在极坐标系(以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线 C 的极坐标方程为 4cos.(1)写出直线 l 的参数方程，并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线 C 与直线 l 相交于不同的两点 M、N，求|PM|PN|的取值范围 解：(1)直线 l 的参数方程：x4tcos，y2tsin(t 为参数)4cos，24cos，曲线 C 的直角坐标方程为 x2y24x.(2)直线 l 的参数方程：x4tcos，y2tsin(t 为参数)，代入 x2y24x，得 t24(sin cos)t40，16sin cos 2160，t1t24sin cos，t1t24，sin cos 0，又 0，0，2，且 t10，t20.|PM|PN|t1|t2|t1t2|4(sin cos)4 2sin4，由 0，2，得 44，34，22 sin4 1，故|PM|PN|的取值范围是(4,4 2