1、课后素养落实(二十三)棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(建议用时：40分钟)一、选择题1已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A48(3)B48(32)C24() D144A由题意，知侧面积为664144，两底面积之和为242648，所以表面积S48(3)2已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为()A4BC2D4B设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则可得体对角线的长为3若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为()A26 B28 C30 D32B所求棱台的体积V(416)3284如图，ABCABC是体积为1的三棱柱，则四棱锥CAAB
2、B的体积是()A BC DCV三棱锥CABCV三棱柱ABCABC，V四棱锥CAABB15将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的()A B C DC将正方体ABCDABCD截去四个角后得到一个四面体BDAC设正方体的棱长为a，则V三棱锥B BACV三棱锥AABDV三棱锥CBCDV三棱锥D ACDaaa，四面体B DAC的体积VV正方体ABCD ABCD4V三棱锥B BACa3，这个四面体的体积是原正方体体积的故选C二、填空题6已知一个长方体的三个面的面积分别是，则这个长方体的体积为_设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)26，故长
3、方体的体积Vabc7已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是_，体积是_S表412，V体12 8如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，则此正三棱锥的表面积_27如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点O作OEAB，与AB交于点E，连接SE，则SEAB，SEhS侧2S底，3aha22ahSOOE，SO2OE2SE232h2h2，ah6S底a2629，S侧2S底18S表S侧S底18927三、解答题9已知四面体ABCD中，ABCD，BCAD2，BDAC5，求四面体ABCD的体积解以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图设长方体的长、宽、高分别为x
4、，y，z，则VDABEDESABEV长方体，同理，VCABFVDACGVDBCHV长方体，V四面体ABCDV长方体4V长方体V长方体而V长方体23424，V四面体ABCD810在四棱锥EABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD,2AB3CD，M为AE的中点，设EABCD的体积为V，那么三棱锥MEBC的体积为多少？解设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，连接MD，因为M是AE的中点，所以VMABCDV，连接MB，MC，利用等体积法可知VEMBCVVEMDC，而VEMBCVBEMC，VEMDCVDEMC，所以又B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而ABCD,2A
5、B3CD，所以，即，所以VEMBCVMEBCVV1我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABCA1B1C1，其中ACBC，若AA1AB1，当“阳马”即四棱锥B A1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABCA1B1C1的表面积为()A1B1C DCVACAA1BCACBCAA1V，VACBCAA1ACBC(AC2BC2)AB2，当且仅当ACBC时取等号，即当ACBC时，V取得最大值，此时四棱锥B A1ACC1的体积最大则
6、此时三棱柱ABCA1B1C1的表面积为21故选C2鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装图1是一个鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为()图1图2A8(66) B6(88)C8(66) D6(88)A由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2(1)的正方体截去了8个正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该鲁班锁玩具的表面积为64(1)24828(66)故选A3如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_6显然正六棱锥PABC
7、DEF的底面的外接圆是球的直径所在的圆，由已知，可得该圆的半径为2易得其内接正六边形的边长为2又正六棱锥PABCDEF的高为2，则斜高为，所以该正六棱锥的侧面积为6264已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是_，表面积是_90138该几何体的体积V46343390，表面积S2(464363)33432334138有两个相同的直三棱柱，高为(a0)，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实数a的取值范围解由题意，知这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有如下四种情况：边长为5a，的面重合在一起，拼成一个四棱柱，表面积为24a228；边长为4a，的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为24a232；边长为3a，的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为24a236；两个直三棱柱的底面重合在一起，拼成一个三棱柱，表面积为12a248因为表面积最小的是一个四棱柱，所以24a22812a248，即12a220，解得0a，即实数a的取值范围为