1、第1课时正弦定理(1)1正弦定理(1)条件在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论2R(R是ABC外接圆的半径)文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等(2)本质：三角形中，边与其对角的正弦之间的关系(3)应用：求解三角形中的边或角；进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题2正弦定理的变形若R为ABC外接圆的半径，则(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)sin Asin Bsin Cabc；(4)2R；(5)SABCab sin Cbc sin Aac sin B1在
2、ABC中，一定成立的等式是()Aa cos Ab cos B Ba sin Bb sin ACa cos Bb cos A Da sin Ab sin B【解析】选B.选项B可化为，由正弦定理可知选项B正确2在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形【解析】选B.因为A，C是三角形ABC的内角，所以AC，又因为sin Asin C，所以AC，即ABC为等腰三角形3在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B30，b2，则的值是()A2 B3 C4 D6【解析】选C.由正弦定理可得4.4在锐角ABC中，下列不等关系总成立的是()A
3、sin Acos B Bsin Bcos ACsin Asin B Dsin Bcos A【解析】选D.因为在锐角ABC中，0AABAB0，因为sin Asin cos B，故A选项不正确，因为sin A与sin B大小不定，所以C选项不正确，所以cos A0，所以ba或0b1.6在ABC中，a10，B60，cos C，则c等于()A20(2) B20(2)C2 D20【解析】选B.由cos C得sin C，sinAsin (BC)sin B cos Ccos B sin C.由正弦定理得ca101020(2).二、填空题7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ab12，A60，
4、B45，则a_【解析】在ABC中，因为A60，B45，由正弦定理，可得，解得ba，又因为ab12，即aa12，解得a3612.答案：36128已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为_【解析】因为mn，所以(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，由正弦定理化简得(ab)(ba)c(ac)0，整理得a2c2b2ac，所以cos B，因为0B，所以B.答案：9在ABC中，AB，A45，B60，则BC_【解析】利用正弦定理，而C180(AB)75，故BC3.答案：310ABC中角A，B，C
5、的对边分别为a，b，c，已知a，b，A60，则角B_，ABC的面积是_【解析】在ABC中由正弦定理得，则sin B，又因为ba，所以BA，所以B45，则C75，则ABC的面积为ab sin Csin 75.答案：45三、解答题11在ABC中，A60，sin B，a3，求三角形中其余边与角的大小【解析】因为sin B，所以B30或150，当B30时，由A60得C90；当B150时，不合题意，舍去所以由正弦定理，得ba3，ca32.12在ABC中，已知c，A45，a2，解这个三角形【解析】因为，所以sin C.因为0C180，所以C60或C120.当C60时，B75，b1；当C120时，B15，b
6、1.所以b1，B75，C60或b1，B15，C120.一、选择题1在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin Bb，则角A等于()A B C D【解析】选A.因为2a sin Bb，由正弦定理可得：2sin A sin Bsin B，又sin B0，所以sin A.因为ABC为锐角三角形，所以A.2在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则角A为()A30 B60 C120 D150【解析】选A.因为sin C2sin B，所以c2b，结合a2b2bc，可得a27b2，所以cos A，因为0A180，所以A30.3在ABC中
7、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A60，b2，为使此三角形有两个，则a满足的条件是()A0a2B0a3C3aB，则sin Asin BC在ABC中，若，且(bca)(bca)3bc，则A120D在ABC中，sin 2Asin 2Bsin 2C2sin B sin C cos A【解析】选ABD.对于A，由正弦定理，可得abcsin Asin Bsin C，所以A正确；对于B，当AB时，ab，由正弦定理得sin Asin B，所以B正确；对于C，由(bca)(bca)3bc得b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，所以A60，故C错误；对于D，由余弦定理得a2b2c22bc cos
8、A结合正弦定理得，sin 2Asin 2Bsin 2C2sin B sin C cos A，所以D正确二、填空题5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，a，则_【解析】由cos A，得sin A，故2.答案：26已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2，B45，若三角形有两解，则a的取值范围是_【解析】方法一：根据正弦定理2，故sin A，因为三角形有两解，故sin A1，解得2a2.方法二：如图所示CDasin 45a，若三角形有两解，则a2a，解得2a2.答案：2a0，又cos A，所以cos 120，解得c2，所以SABCbc sin A42si
9、n 1202.答案：28在ABC中，D是AC的中点，且BC2BD，cos A，则_；若BCD的面积为，则BD_【解析】设BDx(x0)，则BC2x，在ABC中，由余弦定理得AB2AC22ABAC cos A4x2，在ABD中，由余弦定理得AB22ABcos Ax2，4得3ABAC，从而.将AC6AB代入中，得ABx，则ACx，在BCD中，cos CBD，则sin CBD，从而BCD的面积为x2x，得x2，因此BD2.答案：2三、解答题9在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求角A的大小；(2)若a4，b4，求ABC的面积【解析】(1)由正弦定理的边化角公式可得，因为
10、B(0，)，所以sin B0，所以2cos A1，即cos A，因为A(0，)，所以A.(2)由正弦定理得sin B.因为B，所以B，所以C，所以SABCab sin C444.10已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2，b6，A30.【解析】(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010，所以ab sin A，所以本题无解(2)a2，b6，ab，A30b sin A，所以b sin Aab，所以本题有两解由正弦定理得sin B，又因为0B180，所以B60或B120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，c2.所以当B60时，C90，c4；当B120时，C30，c2.