1、第5课时 与圆有关的比例线段(一)1相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的_相等2割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的_相等3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这一点到割线与圆交点的两条线段长的_4切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长_，圆心和这一点的连线_两条切线的夹角积积比例中项相等平分1如图，圆内的两条弦 AB，CD 相交于圆内一点 P，已知PAPB3，PC 3，则 PD_.【答案】3 3【解析】根据相交弦定理，PAPBPCPD，即33 3PD，解得 PD3 3.2如图，从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD
2、，PCD过圆心O，已知PA1，AB2，PO3，则圆O的半径等于_【答案】6【解析】根据割线定理，PCPDPAPB，即(3r)(3r)3，解得 r 6.3(2015年龙川县校级模拟)如图，已知AC切O于A，AC6，BD5，则线段DC的长为_【答案】4【解 析】AC 切 O 于 A，AC 6，BD 5，62 CD(CD5)，CD4.4(2015年辉县市校级月考)如图，AB，AC为O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BDOB，连接AD如果DAC78，那么ADO等于()A70 B 64C 62 D 51【答案】B【解析】AB，AC 为O 的切线，B 和 C 是切点，CAOOAB，ABD90.又 B
3、DOB，OABBADDAC78，BAD13DAC26.ADO902664.故选 B【思路分析】用PC表示PD的值，代入相交弦定理解出PC即可求出CD的值相交弦定理【例 1】如图，圆内的两条弦 AB，CD 相交于圆内一点P，已知 PAPB6，PC14PD，求 CD 的长【解析】由相交弦定理可得PCPDPAPB，即4PC266，解得PC3.所以CDPCPD5PC15.故CD的长是15.本题是一个典型的相交弦定理的应用问题，需要熟练应用相交弦定理1圆 O 的半径为 5，点 P 是弦 AB 的中点，OP3，弦 CD过点 P 且CPCD13，则 CD 的长为_【答案】6 2【解析】连接 OA，因为 P
4、为 AB 中点，OA5，OP3，所以AOP 为直角三角形且 AP4.由相交弦定理，得 APPBCPPD，即 AP213CD23CD，解得 CD6 2.【例2】已知ABC中ABAC，D为ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F.求证：ABACDFADFCFB割线定理【思路分析】根据割线定理，得FCFBFDFA，于是要证的结论可转化 为 ABACDF ADFDFA，即ABACADFA，可构造相似三角形来证明【证明】ABAC，ABCACB又ACBADB，ADBABC又BADFAB，BADFAB.AB2ADAF.ABAC，ABACADAF.ABACDFA
5、DAFDF.根据割线定理，得DFAFFCFB ABACDFADFCFB 本题的结论中是三条线段的乘积，需要进行转化，使等式两边都是两条线段的乘积的形式，需要利用割线定理和相似三角形的性质从结论入手分析，根据所学知识构造条件是解决复杂的几何证明问题的关键，这是一个难点2(2016年衡阳校级模拟)如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA4，PC5，则CBD_.【答案】30【解析】由题可知 PB10，PAPBPCPD 解得 PD8，DCPDPC3，故DCO 为正三角形，DBC12DOC30.【例3】如图所示，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交
6、于点E，BAC的平分线与BC交于点D求证：ED2EBEC切割线定理【解题探究】由切割线定理有EA2EBEC，只要证明EAED即可【证明】如图，AE是圆的切线，ABCCAE.又AD是BAC的平分线，BADCAD，从而ABCBADCAECAD ADEABCBAD，DAECADCAE，ADEDAE，故EAED EA是圆的切线，由切割线定理知，EA2EBEC而EAED，ED2EBEC 不仅要熟练运用切割线定理，而且要运用弦切角定理3如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线且BC3PB，则ABAC_.【答案】12【解析】由切割线定理可知 PA2PBPC，又 BC3PB，可得 PA2PB在P
7、AB 与PCA 中，PP，PABPCA(同弧上的圆周角与弦切角相等)，可得PABPCA，所以ABACPBPA PB2PB12.【例4】如图所示，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和O分别相切于点L，M，N，P，求证：ABCDADBC切线长定理【解题探究】过圆外一点引圆的两条切线，自然想到切线长相等【证明】因为AB，BC，CD，DA都与O相切，L，M，N，P为切点，所以ALAP，BLBM，CMCN，DNDP.所以ABCDALBLCNDNAPBMCMDPADBC，即ABCDADBC 在多边形的内切圆问题中，经常可利用切线长定理实现线段的转换4(2016年贵州联考)如图所示，PC切O于A，PO
8、的延长线交O于B，BC切O于B，若ACCP12，则POOB等于()A21 B11C12 D14【答案】A【解析】连接 OA，则 OAPC，PAOPBCPOAOPCBC.又 AOOB，ACBC，所以POOBPCAC21.故选 A1相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理统称为圆幂定理，是用来计算与圆有关的线段长的重要依据2相交弦定理、割线定理、切割线定理都可以用相似三角形的性质加以证明，以相交弦定理为例如图所示，圆的弦 AB，CD 相交于点 P，易得PACPDB，PCAPBD，于是PACPDB，所以 PAPDPCPB，PAPBPCPD同理，也可以通过证明PADPCB 来得到相交弦定理从以上的证明过程，我们可以发现几何证明方法具有多样性，并且通过证明三角形相似我们还可以得到更多有关线段的比例关系，如PAPDPCPBACDB.点击进入WORD链接