1、2015-2016学年山西省临汾市曲沃中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1设集合A=x|x20，B=x|x22x0，则“xA”是“xB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2双曲线的焦距为（）A3B4C3D43抛物线y=的准线方程为（）Ax=1Bx=Cy=1Dy=4命题“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在xR，x3x2+10C存在xR，x3x2+10D对任意的xR，x3x2+105双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）AB4C4D6已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且
2、动圆恒与直线x=1相切，则此动圆必过定点（）A（2，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）7与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）ABCD8AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（）A2BCD9椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为（）ABCD10椭圆mx2+ny2=1与直线x+y1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）ABC1D211设e1e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足=0，则+的值为（）AB1C2D412双曲线的虚轴长为4，
3、离心率e=分别是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交与A、B两点，且|AB|是|AF1|，|AF2|的等差中项，则|BF1|等于（）ABCD8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若双曲线经过点，且其渐近线方程为y=x，则此双曲线的标准方程14已知抛物线y2=4px（p0）与双曲线=1（a0，b0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为15点P在椭圆+=1上，点P到直线3x4y=24的最大距离和最小距离为16已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，
4、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17已知：命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆命题q：双曲线的离心率e（2，3）若pq为真，pq为假，求实数m的取值范围18已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点（1）若|AF|=4，求点A的坐标；（2）求线段AB的长的最小值19已知双曲线=1（a0，b0）的虚轴长为2，离心率为，F1，F2为双曲线的两个焦点（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线上有一点P，满足F1PF2=60，求F1PF2的面积20平面内动点P（x，y）与两定点A（2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（1，0）作斜率不为零
5、的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：ACAD21如图，倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|FP|cos2为定值，并求此定值22（文科）点M是圆x2+y2=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD的中点（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，若直线l：y=ex+m（其中e为曲线C的离心率）与曲线C有两个不同的交点A与B且（其中O为坐标原点），求m的值2015-2016学年山西省临汾市曲沃中学高二（上）
6、期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1设集合A=x|x20，B=x|x22x0，则“xA”是“xB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】探究型【分析】先化简集合B，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：A=x|x20=x|x2，B=x|x22x0=x|x2或x0，“xA”是“xB”的充分不必要条件故选A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式之间的关系进行判断即可2双曲线的焦距为（）A3B4C3D4【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】本题比
7、较简明，需要注意的是容易将双曲线中三个量a，b，c的关系与椭圆混淆，而错选B【解答】解析：由双曲线方程得a2=10，b2=2，c2=12，于是，故选D【点评】本题高考考点是双曲线的标准方程及几何性质，在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高3抛物线y=的准线方程为（）Ax=1Bx=Cy=1Dy=【考点】梅涅劳斯定理；抛物线的简单性质【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由条件利用抛物线的性质、标准方程，求得抛物线y=的准线方程【解答】解：抛物线y=的标准方程，即 x2=4y，故它的准线方程为y=1，故选：C【点评】本题主要考查抛物线的性质、标准方
8、程的应用，属于基础题4命题“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在xR，x3x2+10C存在xR，x3x2+10D对任意的xR，x3x2+10【考点】命题的否定【分析】根据命题“对任意的xR，x3x2+10”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案【解答】解：命题“对任意的xR，x3x2+10”是全称命题否定命题为：存在xR，x3x2+10故选C【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定5双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）AB4C4D【考点】双曲线的简单性质【专题
9、】计算题【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，m0，且双曲线方程为，m=，故选A【点评】本题考查双曲线性质的灵活运用，比较简单，需要注意的是m06已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=1相切，则此动圆必过定点（）A（2，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的方程可得直线x=1即为抛物线的准线方程，结合抛物线的定义得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案【解答】解：设动圆的圆心到直线x=1的距离
10、为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=1，所以动圆圆心到直线x=1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）故选B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题7与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）ABCD【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P在双曲线上，根据定义求出a，从而求出b，则双曲线方程可得【解答】解：由题设知：焦点为a=，c=，b=1与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是故选B【点评】本题主要考查了双曲
11、线的标准方程考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握8AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（）A2BCD【考点】抛物线的定义【专题】计算题【分析】先设出A，B的坐标，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p求得x1+x2的值，进而求得AB的中点的横坐标【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4，=，故选C【点评】本题主要考查了抛物线的定义在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决9椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为（）ABCD【考点】
12、椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据条件结合正方形的性质，得到a，b，c的关系，即可得到结论【解答】解：设椭圆的方程为，A，B是短轴上的两个三等分点，|AB|=，|EF|=2c，椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，正方形的对角线满足|AB|=|EF|，即=2c，则b=3c，则a2=b2+c2=9c2+c2=10c2，即a=c，则离心率e=，故选：A【点评】本题主要考查椭圆离心率的计算，根据条件求出a，c的关系是解决本题的关键10椭圆mx2+ny2=1与直线x+y1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）ABC1D2【考点】
13、直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题【分析】（法一）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）由，及M，N在椭圆上，可得利用点差法进行求解（法二）M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），联立方程，利用方程的根与系数的关系可求x1+x2，进而可求y1+y2=2（x1+x2），由中点坐标公式可得，由题意可知，从而可求【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），kMN=，由AB 的中点为M可得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0由M，N在椭圆上，可得，两式相减可得m（x1x2）（x1+x2）+n（y1y2）（y1+y2）=0，把代入可得m（x1x2）
14、2x0n（x1x2）2y0=0，整理可得故选A（法二）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）联立方程可得（m+n）x22nx+n1=0x1+x2=，y1+y2=2（x1+x2）=由中点坐标公式可得， =， =M与坐标原点的直线的斜率为=故选A【点评】题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：联立直线与椭圆，根据方程求解；利用“点差法”，而第二种方法可以简化运算，注意应用11设e1e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足=0，则+的值为（）AB1C2D4【考点】圆锥曲线的共同特征【专题】计算
15、题【分析】椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设PF1=m，PF2=n，mn，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，mn=2a2，写出两个曲线的离心率，代入要求的式子得到结果【解答】解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设PF1=m，PF2=n，mn，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1mn=2a2解得m=a1+a2，n=a1a2又PF1PF2，由勾股定理得PF12+PF22=F1F22（a1+a2）2+（a1a2）2=（2c）2化简可得a12+a22=2c2+=2故选C【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，本题解题的关键是得到两个
16、曲线的参数之间的关系，本题是一个基础题12双曲线的虚轴长为4，离心率e=分别是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交与A、B两点，且|AB|是|AF1|，|AF2|的等差中项，则|BF1|等于（）ABCD8【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意及双曲线的方程知双曲线的虚轴长为4，即2b=4，利用离心率的知求解出a的值，再利用|AF1|，|AF2|的等差中项，得到|AB|，即可求出|BF1|【解答】解：由题意可知2b=4，e=，于是a=2，|AB|是|AF1|，|AF2|的等差中项，2|AB|=|AF1|+|AF2|，2|AF1|
17、+2|BF1|=|AF1|+|AF2|，2|BF1|=|AF2|AF1|=2a=2，|BF1|=2故选：C【点评】此题重点考查了双曲线方程的虚轴的概念及离心率的概念，还考查了利用双曲线的第一定义求解出|AB|的大小二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若双曲线经过点，且其渐近线方程为y=x，则此双曲线的标准方程【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题；转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知设双曲线方程为=，（0），利用待定系数法能求出此双曲线的标准方程【解答】解：双曲线经过点，且其渐近线方程为y=x，设双曲线方程为=，（0）把点代入，得：，解得=1此双曲线的标
18、准方程为：故答案为：【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用14已知抛物线y2=4px（p0）与双曲线=1（a0，b0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为+1【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AFx轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=c，b2=c2a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e【解答】解：抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，p=cA是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵
19、坐标大于0，|AF|=2p，A（p，2p），点A在双曲线上，=1，p=c，b2=c2a2，=1，化简得：c46c2a2+a4=0，e46e2+1=0，e21，e2=3+2e=+1故答案为： +1【点评】本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率15点P在椭圆+=1上，点P到直线3x4y=24的最大距离和最小距离为；【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设点P的坐标为（4cos，3sin），可得点P到直线3x4y=24的d的表达式，再根据余弦函数
20、的值域求得它的最值【解答】解：设点P的坐标为（4cos，3sin），可得点P到直线3x4y=24的d=，当时，d取得最大值为，当时，最小值为故答案为：；【点评】本题主要考查椭圆的参数方程，点到直线的距离公式的应用，余弦函数的值域，属于中档题16已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为1，+）【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，可得=0即可得到a的取值范围【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），该抛物线上存在点C
21、，使得ACB为直角，=化为m2a+（m2a）2=0m，m2=a10，解得a1a 的取值范围为1，+）故答案为1，+）【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17已知：命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆命题q：双曲线的离心率e（2，3）若pq为真，pq为假，求实数m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用；椭圆的定义；双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0m5、由pq为真，pq为假得p真q假，或p假q真，进而求出
22、答案即可【解答】解：若p为真，则，得到0m5； 若q为真，则，即4a2a2+b29a2，得到3a2b28a2，于是63m16，可得， 由由题pq为真，pq为假，可知p真q假，或p假q真 p真q假时，得到0m2； p假q真时，得到； 综上所述，实数m的取值范围为【点评】解决错啦问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法，由复合命题的真假判断出简单命题的真假结合有关的基础知识进行判断解题即可18已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点（1）若|AF|=4，求点A的坐标；（2）求线段AB的长的最小值【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与
23、方程【分析】（1）由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=1，焦点F（1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2）由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，从而x1=3由此能得到点A的坐标（2）分类讨论，设直线l的方程为y=k（x1），代入y2=4x整理得x26x+1=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=6由抛物线的定义可知线段AB的长【解答】解：由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=1，焦点F（1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，从而x1=3代入y2=4x，解得y1=点A的坐标为（3，2）或（3，2）（2）斜率存在时，设直线l的方程为y=k
24、（x1），代入y2=4x整理得：k2x2（2k2+4）x+k2=0再设B（x2，y2），则x1+x2=2+|AB|=x1+x2+2=4+4斜率不存在时，|AB|=4，线段AB的长的最小值为4【点评】本题考查了抛物线的定义及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系问题，一般是将直线方程代入抛物线方程消元得到关于x的一元二次方程，然后借助于韦达定理解决后续问题19已知双曲线=1（a0，b0）的虚轴长为2，离心率为，F1，F2为双曲线的两个焦点（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线上有一点P，满足F1PF2=60，求F1PF2的面积【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的
25、关系【专题】规律型；数形结合；转化思想；解题方法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用双曲线的离心率，以及虚轴长，求解a，b，得到双曲线的方程（2）利用双曲线的简单性质以及定义，结合余弦定理三角形的面积公式求解即可【解答】解：（1）2b=2b=1又=，a2=4，双曲线的方程为（2）由双曲线方程可知，由双曲线定义有|PF1|PF2|=4两边平方得由余弦定理，有，由可得|PF1|PF2|=2016=4，【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力20平面内动点P（x，y）与两定点A（2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于，若点P的轨
26、迹为曲线E，过点Q（1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：ACAD【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设动点P坐标为（x，y），当x2时，由条件得： =，化简得曲线E的方程；（2）设CD方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明ACAD【解答】（1）解：设动点P坐标为（x，y），当x2时，由条件得： =，化简得+=1，故曲线E的方程为： +=1（x2）（2）证明：CD斜率不为0，所以可设CD方程为my=x+1，与椭圆联立得：（m2+3）y22my3=0，设C（x1，y1），D（x2
27、，y2），所以y1+y2=，y1y2=（x1+2，y1）（x2+2，y2）=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=（m2+1）（）+m+1=0，所以ACAD【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21如图，倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|FP|cos2为定值，并求此定值【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据抛物线的标准方程，可求
28、抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）作ACl，BDl，垂足为C，D，求出|FA|，|FB|，即可得到结论【解答】（1）解：设抛物线C：y2=2px（p0），则2p=8，从而p=4因此焦点F（2，0），准线方程为x=2；（2）证明：作ACl，BDl，垂足为C，D则由抛物线的定义，可得|FA|=|AC|，|FB|=|BD|设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|=|AC|=|FA|cos+4，同理记直线m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|AE|=|FA|=|FP|=|FP|FP|cos2=（1cos2）=8【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的
29、能力，属于中档题22（文科）点M是圆x2+y2=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD的中点（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，若直线l：y=ex+m（其中e为曲线C的离心率）与曲线C有两个不同的交点A与B且（其中O为坐标原点），求m的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】综合题【分析】（1）由题意点M是圆x2+y2=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD的中点，可得点M的坐标与点P的坐标的关系，用中点P的坐标表示出点M的坐标，然后再代入圆的方程求出点P的轨迹方程（2）由点P的轨迹是椭圆x2+4y2=4，知由直线l：y=
30、x+m与曲线C：x2+4y2=4有两个不同的交点A与B，知有两个解，所以2m2设A（x1，y1），B（x2，y2），x1x2=m21，由，知x1x2+y1y2=2，由此能求出m【解答】解：（1）由题意，令P（x，y），则由中点坐标公式知：D（x，0），M（x，2y），点M是圆x2+y2=4上的一个动点，点P的轨迹方程为x2+4y2=4（2）由（1）点P的轨迹是椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m与曲线C：x2+4y2=4有两个不同的交点A与B，有两个解，=m2+40，2m2设A（x1，y1），B（x2，y2），x1x2=m21，（其中O为坐标原点），x1x2+y1y2=2，5m2=7，【点评】本题考查直线与圆方程的应用，解答本题关键点有二，一是熟练掌握代入法求轨迹方程，二是合理进行等价转化本题考查了推理判断的能力及代入法求轨迹方程技巧
