1、章末综合测评(二)圆锥曲线(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1椭圆1的右焦点到直线yx的距离是()ABC1DB右焦点F(1，0)，d2椭圆1的焦点为F1，F2，AB是过椭圆焦点F1的弦，则ABF2的周长是()A20B12C10D6A由椭圆的定义知：ABF2的周长为45203若双曲线过点(m，n)(mn0)，且渐近线方程为yx，则双曲线的焦点()A在x轴上B在y轴上C在x轴或y轴上D无法判断是否在坐标轴上Amn0，点(m，n)在第一象限且在直线yx的下方，故焦点在x轴上4双曲线y21的焦点坐标为
2、()A(，0)B(0，)C(，0)D(0，)C依题意a2，b1，所以c ，又因为双曲线y21的焦点在x轴上，所以，其焦点坐标为5在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A直线B抛物线C双曲线D圆 B易知点P到直线C1D1的距离为PC1由C1是定点， BC是定直线据题意，动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离由抛物线的定义，知轨迹为抛物线故选B6方程5|3x4y6|表示的曲线为() A抛物线B椭圆C双曲线D圆A由已知得 ，根据抛物线的定义，方程5|3x4y6|表示的曲线为抛物线7已知抛物线yx2
3、3上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A3B4C3D4C设直线AB的方程为yxb，A，B由，得x2xb30，所以x1x21，所以AB的中点M(，b)，又由M(，b)在直线xy0上可求出b1，x2x20，由弦长公式可求出38双曲线C：1(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：xyc0相切于点N，设l与C交点为P，Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为()ABC2D2C由直线方程可得直线l：xyc0过双曲线的左焦点，倾斜角为30，直线与圆相切，则ANl，即ANF1是直角三角形，又AF1ac，可得yN(ac)，联立直线l：
4、xyc0与双曲线C：1(a0，b0)的方程可得(3b2a2)y22b2cyb2c2b2a20，则yN，因此(ac)，结合b2c2a2，整理可得c33ac24a30，因此关于离心率的方程为e33e240，即(e1)(e2)20，双曲线中e1，e2二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9若椭圆1的离心率e，则m的值可以是()A3BCDAB当焦点在x轴上时，由，得m3；当焦点在y轴上时，由，得m10下列关于二次曲线1与1的说法正确的是()A当0k3时，它们分别是双曲线与椭圆B当k0时，它们都是椭圆
5、C当0k3时，它们的焦点不同，但焦距相等D当k0时，它们的焦点相同ABC当0k3时，则03k3，所以1表示实轴在x轴上的双曲线，又因为c2a2b23，所以，两曲线焦点不同，但焦距相等当k0且3kk，所以1表示焦点在x轴上的椭圆又因为c2a2b2(3k)(k)3，所以，两曲线焦点不同，但焦距相等11抛物线yx2的准线方程是()A其焦点坐标是 B其焦点坐标是C其准线方程是y2D其准线方程是yAC由yx2，得x28y，故准线方程为y2，其焦点坐标是(0，2)12双曲线1的离心率为e1，双曲线1的离心率为e2，则e1e2的值不可能是()A3B2CDCD(e1e2)2ee2e1e2 222()22228
6、当且仅当ab时取等号故选CD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13如图，椭圆，与双曲线，的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为_e1e2e4e3椭圆，的b值相同，椭圆的a值小于椭圆的a值，由e可得e1e21同理可得1e4e3，故e1e2e40得k；由0得k；由0得k所以当k(，1)(1，1)(1，)时，直线l与双曲线C相交于两点；当k时，直线l与双曲线C相切于一点；当k1时，直线l与双曲线C相交于一点；当k(，)(，)时，直线l与双曲线C没有公共点，直线l与双曲线C相离19(本小题满分12分)已知过点(2，0)的动直线l与椭圆C：1交于A，B两
7、点，问：在x轴上是否存在定点D，使得2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由解当直线l的斜率存在时，设l：yk(x2)，由 消去y得(13k2)x212k2x12k260，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，根据题意，假设x轴上存在定点D(m，0)，使得2()为定值，则有(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x12)(x22)(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)(k21)(2k2m)(4k2m2)，要使上式为定值，即与k无关，则3m212m103(m26)，即m，此时m26为常
8、数，定点D的坐标为当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，易求得直线l与椭圆C的两个交点坐标分别为，此时综上所述，存在定点D，使得2为定值20(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A，B两点(1)写出C的方程；(2)若，求k的值；解(1)设P，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴b1，故曲线C的方程为x21(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y并整理得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2若，即x1x2y1y20而y1y2k2
9、x1x2k(x1x2)1，于是x1x2y1y210，化简得4k210，所以k21(本小题满分12分)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，则，解得a4，故椭圆C2的方程为1(2)设点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x将ykx代入1中，得(4k2)x216，所
10、以x由2，得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx22(本小题满分12分)已知抛物线C：y22px经过点P过点Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解(1)因为抛物线y22px经过点P，所以42p，解得p2，所以抛物线的方程为y24x由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2，直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标为yM22同理得点N的纵坐标为yN2由，得，1yM，1yN所以2所以为定值