1、第 15 讲导数在函数中的应用【学习目标】了解函数的单调性及在某点取得极值的必要条件和充分条件与导数的关系，会利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值【基础检测】1已知二次函数 f(x)的图象如图所示，则其导函数 f(x)的图象大致形状是()B【解析】从图上可以看出，二次函数 f(x)在(，0)上递增，f(x)0，f(x)在(0，)上递减，f(x)0)，f(x)2x21x.由 f(x)0 解得 x2.当 x(0，2)时，f(x)0，f(x)为增函数 x2 为 f(x)的极小值点3设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值
2、，则函数 yxf(x)的图象可能是()C【解析】利用导函数与原函数的图象关系求解 f(x)在 x2 处取得极小值，当 x2 时，f(x)单调递减，当 x0；当 x2 时，yxf(x)0；当2x0 时，yxf(x)0 时，yxf(x)0.结合选项中图象知选 C.4函数 yxln x 的递减区间为()A(0，e1)B(，e1)C(e1，)D(e，)A【解析】yln x1，由于求递减区间，所以 yln x10，解得 0 x0，解得 a6.B【知识要点】1函数的单调性与导数设函数 yf(x)在某区间(a，b)内可导，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.若 x(a，b)，f(x)0，则 f(
3、x)在区间(a，b)内为；若 x(a，b)，f(x)0，则 f(x)在区间(a，b)内为2函数的极值与导数(1)函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在 xa附近的其他点的函数值都小，f(a)0，且在点 xa 附近的左侧，右侧，则点 a叫做函数 yf(x)的，f(a)叫做函数 yf(x)的增函数减函数f(x)0f(x)0极小值点极小值(2)函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在 xa附近的其他点的函数值都大，f(a)0，且在点 xa 附近的左侧，右侧，则点 a叫做函数 yf(x)的，f(a)叫做函数 yf(x)的3函数的最值与导数若函数 yf(x)在闭区间a，b上的图
4、象是一条连续不断的曲线，则 yf(x)在闭区间a，b上必存在最大值和最小值，且 f(x)maxmaxf(a)，f 极大值(x)，f(b)，f(x)minminf(a)，f 极小值(x)，f(b)f(x)0f(x)0极大值点极大值一、利用导数研究函数的单调性例1已知函数 f(x)lnxkex(k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间；(3)设 g(x)(x2x)f(x)，其中 f(x)为 f(x)的导函数证明：对任意 x0，g(x)1e2.【解析】(1)f(x)1xlnxkex，由已
5、知，f(1)1ke0，k1.(2)由(1)知，f(x)1xlnx1ex.设 k(x)1xlnx1，则 k(x)1x21x0，即 k(x)在(0，)上是减函数，由 k(1)0 知，当 0 x0，从而 f(x)0，当 x1 时，k(x)0，从而 f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，)(3)由(2)可知，当 x1 时，g(x)xf(x)01e2，故只需证明 g(x)1e2 在 0 x1 时成立 当 0 x0，g(x)（1x）（1xln xx）ex.设 F(x)1xlnxx，x(0，1)，则 F(x)(lnx2)，当 x(0，e2)时，F(x)0，当 x(e2
6、，1)时，F(x)0，所以当 xe2 时，F(x)取得最大值 F(e2)1e2.所以 F(x)1e2.设 G(x)x1ex，则 G(x)ex（x1）exe2xxex.当 x(0，1)时，G(x)0，G(x)在(0，1)上单调递减 G(1)G(x)G(0)，即2eG(x)1.g(x)0，g(x)0 或 f(x)0；若已知 f(x)的单调性求参数，则转化为不等式 f(x)0 或 f(x)0 在单调区间上的恒成立问题求解二、利用导数研究函数的极值例2已知函数 f(x)(xa)ln x，aR.(1)当 a0 时，求函数 f(x)的极小值；(2)若函数 f(x)在(0，)上为增函数，求 a 的取值范围【
7、解析】(1)定义域为(0，)当 a0 时，f(x)xln x，f(x)ln x1.令 f(x)0，得 x1e.当 x0，1e 时，f(x)0，f(x)为增函数 函数 f(x)的极小值为 f1e 1e.(2)由已知，得 f(x)ln xxax.函数 f(x)在(0，)上是增函数，f(x)0 对 x(0，)恒成立 由 f(x)0，得 ln xxax 0，即 xln xxa 对 x(0，)恒成立 设 g(x)xln xx，要使“xln xxa 对 x(0，)恒成立”，只要 ag(x)min.g(x)ln x2，令 g(x)0，得 x1e2.当 x0，1e2 时，g(x)0，g(x)为增函数；g(x)
8、在(0，)上的最小值是 g1e2 1e2.故函数 f(x)在(0，)上是增函数时，实数 a 的取值范围是，1e2.【点评】利用导数研究函数极值的一般步骤：(1)确定定义域；(2)求导函数 f(x)；(3)若求极值，则先求方程 f(x)0 的根，再检验 f(x)在方程根左右侧值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)；若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况，从而求解三、利用导数研究函数的最值例3已知函数 f(x)xln x，g(x)x2ax2.(1)求函数 f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)若函数 yf(x)g(x)有两个不同
9、的极值点 x1，x2(x1ln 2，求实数 a 的取值范围【解析】(1)由 f(x)ln x10，可得 x1e，当 0t0)上的最小值为 f1e 1e.当 t1e时，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tln t，f(x)min1e，0t1e，tln t，t1e.(2)yf(x)g(x)xln xx2ax2，则 yln x2x1a，题意即为 yln x2x1a0 有两个不同的实根x1，x2(x1x2)，即 aln x2x1a0 有两个不同的实根 x1，x2(x1G(x)minG12 ln 2 时，x1，x2 存在，且 x2x1 的值随着a 的增大而增大 而当 x2x1ln 2
10、时，由题意，得ln x12x11a0，ln x22x21a0，两式相减，得 lnx1x22(x2x1)2ln 2，x24x1，代入上述方程可得 x24x143ln 2，此时 a23ln 2lnln 231，实数 a 的取值范围为23ln 2lnln 231，.【点评】定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点 1求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 2当连续函数在开区间内的极值点只有一个
11、时，相应的极值点必为函数的最值点 3求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般利用导数法判断1利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几个方面：f(x)0 是 f(x)递增的充分条件而非必要条件(f(x)0 亦是如此)；求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f(x)0(或 f(x)0)解出 x 的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明2求函数的极值可分为以下几步：求出可疑点，即 f(x)0 的解 x0 与不可导的点；用求极值的方法确定极值；计算求值3函数的最值连续函数 f(x)在闭区间a，b上必有最大值与最小值；最值的求法：先求 f(
12、x)在(a，b)上的极值，再将各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值4极值与最值的区别和联系函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较；函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值；如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是(a，b)上的最大值，极小值即是(a，b)上的最小值(2014 湖南)已知函数 f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求 f(x)的单调区间；(2)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(
13、iN*)个零点，证明：对一切 nN*，有 1x21 1x22 1x2n23.【解析】(1)f(x)cos xxsin xcos xxsin x.令 f(x)0，得 xk(kN*)当 x(2k，(2k1)(kN)时，sin x0，此时 f(x)0；当 x(2k1)，(2k2)(kN)时，sin x0，此时 f(x)0.故 f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减 又 f2 0，故 x12.当 nN*时，因为 f(n)f(n1)(1)nn1(1)n1(n1)10，且函数 f(x)的图象是连续不
14、断的，所以 f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一个零点又 f(x)在区间(n，(n1)上是单调的，故nxn1(n1).因此，当 n1 时，1x21 4223；当 n2 时，1x21 1x22 12(41)23；当 n3 时，1x21 1x22 1x2n 1241 1221（n1）2 125 1121（n2）（n1）125112 1213 1n2 1n1 126 1n1 6223.综上所述，对一切 nN*，1x21 1x22 1x2n23.【点评】本题主要考查了导数、三角函数、零点、函数的单调性的应用、不等式等问题在求函数的零点时要注意利用函数的单调性1函数 f(x)的定义域为区间(a，b)
15、，导数 f(x)在(a，b)内的图象如图，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极值点()A1 个B2 个C3 个D4 个C【解析】由 f(x)在(a，b)上的图象可知 f(x1)0，f(x2)0，f(0)0，f(x3)0，又 x(a，x1)时，f(x)0，x(x1，x2)时，f(x)0，x(x2，x3)时，f(x)0，x(x3，b)时，f(x)0，故 xx1，xx2，xx3 是函数的极值点，应选 C.2函数 y4x21x的单调增区间为()A(0，)B.12，C(，1)D.，12【解析】由 y4x21x得 y8x 1x2.令 y0，即 8x 1x20，解得 x12，函数 y4x21x在12，上
16、单调递增B3当 x2，1时，不等式 ax3x24x30恒成立，则实数 a 的取值范围是()A5，3 B6，98C6，2 D4，3【解析】讨论 x 的取值情况并分离字母 a，利用不等式恒成立求解 a 的取值范围 当 x0 时，ax3x24x30 变为 30 恒成立，即aR.当 x(0，1时，ax3x24x3，ax24x3x3，ax24x3x3max.C设(x)x24x3x3，(x)（2x4）x3（x24x3）3x2x6 x28x9x4（x9）（x1）x40，(x)在(0，1上递增，(x)max(1)6.a6.当 x2，0)时，ax24x3x3，ax24x3x3min.仍设(x)x24x3x3，(
17、x)（x9）（x1）x4.当 x2，1)时，(x)0.当 x1 时，(x)有极小值，即为最小值 而(x)min(1)14312，a2.综上知6a2.4已知函数 f(x)x3bx2cxd(b，c，d 为常数)，当 x(0，1)时取极大值，当 x(1，2)时取极小值，则b122(c3)2 的取值范围是()A.372，5 B(5，5)C.374，25 D(5，25)D【解析】因为函数 f(x)x3bx2cxd 的导数为 f(x)3x22bxc.又由于当 x(0，1)时取极大值，当 x(1，2)时 取 极 小 值，所 以f（1）0，f（2）2，即2bc30，4bc120.因为b122(c3)2 表示点
18、(b，c)到点12，3 的距离的平方通过图形可得过点 A 最大，过点 B 最小，通过计算可得b122(c3)2 的取值范围为(5，25)故选 D.5设函数 f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若 x1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则下列图象不可能为 yf(x)的图象是()D【解析】令 F(x)f(x)ex，得 F(x)f(x)exf(x)(ex)exax2(2ab)xbc，x1 是 F(x)的极值点，F(1)0，得 ca.f(x)ax2bxa.f(x)2axb.f(1)2ab，f(1)2ab.由 f(1)0，得 b2a，f(1)0，故 A、B 选项可能成立；由 f(1)0，得2ab0
19、，f(1)0，故 C 选项也可能成立；D 不成立，故选 D.6已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是0，12【解析】f(x)ln xaxx1xa ln x2ax1，a0显然不合题意，假设直线 y2ax1 与曲线 yln x 相切设切点为(x0，ln x0)，则切线方程为 yln x0 1x0(xx0)，即 y 1x0 xln x01.又切线方程为 y2ax1，对比得2a 1x0，1ln x01，解得a12，x01.故若要使直线 y2ax1与曲线 yln x 相交于两个不同点，即函数 f(x)x(ln xax)有 2 个极值点，需满足 0a0时f（x）xf(x)
20、，则函数 yf（x）x的单调减区间是_；若 m0，k1，则 kf(m)与 f(km)的大小关系是【解析】由于 yf（x）xf（x）xf（x）x2，又因为f（x）xf(x)，所以 x0 时，f(x)xf(x)，则xf（x）f（x）x20，即 yf(km)又 k1，m0，则 kmm，从而f（km）kmf(km)8已知函数 f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值【解析】(1)f(x)ex(axab)2x4，由已知得 f(0)4，f(0)4，故 b4，ab8，从而 a4，b
21、4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)ex12.令 f(x)0 得，xln 2 或 x2，从而当 x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当 x(2，ln 2)时，f(x)0，故 f(x)在(，2)，(ln 2，)单调递增，在(2，ln 2)单调递减，当 x2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(2)4(1e2)【点评】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性求极值利用导数判断函数的单调性，一般求导后令 f(x)0，解方程得到 f(x)的零点，分区间讨论 f(x)的符号，从而确定单调区间，解方程要易于解不等式9设函数
22、f(x)x3kx2x(kR)(1)当 k1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 k0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0，1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值【解析】(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令 f(x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，x1x2，所以 f(x)3(xx1)(xx2)当 xx1 或 xx2 时，f(x)0；当 x1xx2 时，f(x)0.故 f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为 a0，所以 x10，x20.当 a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值 当 0a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，所以 f(x)在 xx21 43a3处取得最大值 又 f(0)1，f(1)a，所以 当 0a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值；当 a1 时，f(x)在 x0 处和 x1 处同时取得最小值；当 1a4 时，f(x)在 x0 处取得最小值