1、21椭圆21.1椭圆的定义与标准方程1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程2掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形1椭圆的定义平面上到两个定点F1，F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫作椭圆的焦距2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点(c，0)(0，c)a、b、c的关系c2a2b21判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆()(2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关()(3
2、)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2.()答案：(1)(2)(3)2设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8 D10答案：D3已知两焦点坐标分别为(2，0)和(2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案：C4椭圆1的焦点坐标是_答案：(0，12)求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)【解】(1)由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(a
3、b0)所以2a10，所以a5.又c4，所以b2a2c225169.故所求椭圆的方程为1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以故所求椭圆的方程为x21.求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可即“先定位，后定量”当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，mn
4、)的形式有 两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26，2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c225916.设所求椭圆的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点P(3，)在所求椭圆上，所以1，即1.由
5、得a236，b220，所以所求椭圆的标准方程为1.椭圆定义的应用已知P为椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，F1PF260，求F1PF2的面积【解】在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.由椭圆的定义得|PF1|PF2|4，即48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|.由得|PF1|PF2|4.所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 60.1若将本例中“F1PF260”变为“F1PF290”，求F1PF2的面积解：由椭圆1知|PF1|PF2|4，|F1F2|6，因为F1PF290，所以|
6、PF1|2|PF2|2|F1F2|236，所以|PF1|PF2|6，所以SF1PF2|PF1|PF2|3.2若将本例中“F1PF260”变为“PF1F290”，求F1PF2的面积解：由已知得a2，b，所以c3.从而|F1F2|2c6.在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|236，又由椭圆定义知|PF1|PF2|224，所以|PF2|4|PF1|.从而有(4|PF1|)2|PF1|236，解得|PF1|.所以PF1F2的面积S|PF1|F1F2|6，即PF1F2的面积是.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|
7、2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解 已知AB是过椭圆x2y21的左焦点F1的弦，且|AF2|BF2|4，其中F2为椭圆的右焦点，则|AB|_解析：由椭圆定义知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以|AF1|AF2|BF1|BF2|4a6.所以|AF1|BF1|642，即|AB|2.答案：2求与椭圆有关的轨迹方程如图所示，已知动圆P过定点A(3，0)，并且在定圆B
8、：(x3)2y264的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程【解】设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左，右焦点的椭圆，其中c3，a4，b2a2c242327，其轨迹方程为1.利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 已知B，C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示由|BC|8，可知点B(4，0)，C(4，0)由|AB|AC|BC|
9、18，|BC|8，得|AB|AC|10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，c4，但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0)1对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量(3)定值(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件2对椭圆标准方程的两点认识(1)标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上(2)标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母
10、为不相等的正值注意焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同3解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法注意求轨迹方程时注意求得的方程中的自变量的取值范围1已知F1，F2为两定点，|F1F2|4，动点M满足|MF1|MF2|4，则动点M的轨迹是()A椭圆B直线C圆D线段解析：选D.虽然动点M
11、到两定点F1，F2的距离之和为常数4，由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2.2已知椭圆1长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A4 B5 C7 D8解析：选D.由题意，得m210m0，于是6m10，再由(m2)(10m)，得m8.3已知椭圆ax2by2ab0(ab0)，其焦点坐标为_解析：由ax2by2ab0，得1，因为abb0.所以椭圆的焦点在y轴上，c2ab，c，故焦点坐标为(0，)答案：(0，) A基础达标1已知椭圆的焦点为(1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.1B.y21C.1 D.x21解析：选A.由题意得，c1，a2，所以b2a
12、2c23.所以椭圆的方程为1.2椭圆1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则ABF2的周长是()A20 B12C10 D6解析：选A.因为AB过F1，所以由椭圆定义知所以|AB|AF2|BF2|4a20.3椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A5 B6C7 D8解析：选D.设到另一焦点的距离为x，则x210，x8.4已知椭圆1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是()A.1 B.1Cx21 D.1解析：选D.由题意知a224，所以a26.所以所求椭圆的方程为1.5焦点在坐标轴上，且a213，c212的椭圆的标准方程为()A.1 B.1或1C.y21
13、D.y21或x21解析：选D.b2a2c21，分焦点在x轴上或y轴上两种情况，故答案有2个，即y21或x21，且这两个椭圆的形状完全相同6椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_解析：因为2a8，所以a4，因为2c2，所以c，所以b21.即椭圆的标准方程为x21.答案：x217椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_解析：由|PF1|PF2|6，且|PF1|4，知|PF2|2.在PF1F2中，cosF1PF2.所以F1PF2120.答案：21208已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且ac，过F1的直
14、线l交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆的标准方程为_解析：根据椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，根据ABF2的周长为16得4a16，则a4，因为ac，所以c2，则b2a2c21688.故椭圆的标准方程为1.答案：19已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是
15、以M，N为左，右焦点的椭圆(点x2除外)，其方程为1(x2)10已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4，3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程解：设所求椭圆的标准方程为1(ab0)设焦点F1(c，0)，F2(c，0)因为F1AF2A，所以0，而(4c，3)，(4c，3)，所以(4c)(4c)320，所以c225，即c5.所以F1(5，0)，F2(5，0)所以2a|AF1|AF2| 4.所以a2，所以b2a2c2(2)25215.所以所求椭圆的标准方程为1. B能力提升11已知椭圆1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|MF2|1，则MF1F2是()A钝角三角形
16、B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形解析：选B.由椭圆定义知|MF1|MF2|2a4，因为|MF1|MF2|1，所以|MF1|，|MF2|.又|F1F2|2c2，所以|MF1|2|MF2|2|F1F2|2，即MF2F190，所以MF1F2为直角三角形12已知椭圆C1：mx2y28与椭圆C2：9x225y2100的焦距相等，则m的值为_解析：将椭圆C1化成标准方程为1，C2化成标准方程为1.设椭圆C2的焦距为2c，则c24.当椭圆C1的焦点在x轴上时，因为椭圆C1与椭圆C2的焦距相等所以8，解得m.当椭圆C1的焦点在y轴上时，因为椭圆C1与椭圆C2的焦距相等所以8，解得m9.综上可知，m9或m
17、.答案：9或13如图所示，F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，若POF2为面积是的正三角形，试求椭圆的标准方程解：由POF2为面积是的正三角形得，|PO|PF2|OF2|2，所以c2.连接PF1，在POF1中，|PO|OF1|2，POF1120，所以|PF1|2.所以2a|PF1|PF2|22，所以a1，所以b2a2c24242.所以所求椭圆的标准方程为1.14(选做题)已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|d.(1)证明：d，b，a成等比数列；(2)若M的坐标为，求椭圆C的方程解：(1)证明：由条件知M点的坐标为，其中|y0|d，所以1，db，所以，即d，b，a成等比数列(2)由条件知c，d1，所以所以所以椭圆C的方程为1.