1、课时跟踪检测（十九） 抛物线的简单几何性质层级一学业水平达标1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是()Ay211xBy211xCy222x Dy222x解析：选C在方程2x4y110中，令y0得x，抛物线的焦点为F，即，p11，抛物线的方程是y222x，故选C2过点(2,4)作直线l，与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线l有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y28x上，过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的
2、焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2 ) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：选B设A(x，y)，则y24x，又(x，y)，(1x，y)，所以xx2y24由可解得x1，y24过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2 D2解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1)，即y2x2由得x24x10，x1x24，x1x21|AB|25设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A BC D解析：选D易知抛物线中p，焦点F，
3、直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin 30，所以OAB的面积S|AB|d6直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_解析：将yx1代入y24x，整理，得x26x10由根与系数的关系，得x1x26，3，2所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2)7过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1
4、由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为因此，点M到抛物线准线的距离为1答案：8过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则_解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为yx，与x22py联立得A，B两点的横坐标为xAp，xBp，故Ap，p，Bp，p，所以|AF|p，|BF|2p，所以答案：9已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，y6x1
5、，y6x2两式相减得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入得k3直线的方程为y13(x4)，即3xy11010已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413代入y24x，解得y12点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20直线与抛物线相交于A，B
6、两点，则k0，并设其两根为x1，x2，x1x22由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4层级二应试能力达标1边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()Ay2xBy2xCy2x Dy2x解析：选C设抛物线方程为y2ax(a0)又A(取点A在x轴上方)，则有a，解得a，所以抛物线方程为y2x故选C2过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条
7、 B有两条C有无穷多条 D不存在解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|x1x2p527又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min2p4，所以这样的直线有两条故选B3直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k()A2或2 B1或1C2 D3解析：选C由得k2x24(k2)x40又由16(k2)216k20，得k1则由4，得k2故选C4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k()A BC D2解析：选D由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直
8、线AB的方程为yk(x2)，将其代入y28x，得k2x24(k22)x4k20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由0，(x12，y12)(x22，y22)0(x12)(x22)(y12)(y22)0，即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40由解得k2故选D项5已知抛物线C：y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，则p_；若抛物线C上一点A到其准线的距离与到原点距离相等，则A点到x轴的距离为_解析：抛物线C：y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，1，即p2.点A到其准线的距离与到原点距离|OA|相等，且点A到准线的距离等于|AF|，|OA|AF|，A点的横坐标为，y42，
9、解得|yA|，即A到x轴的距离为.答案：26顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2xy10所得的弦长为，则抛物线方程为_解析：设所求抛物线方程为y2ax(a0)，联立得4x2(4a)x10，则(4a)2160，得a8或a0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程解：(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0所以|PQ|，|QF|x0由题设得，解得p2(舍去)或p2所以C的方程为y24x(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24故AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故MN的中点为E，|MN|y3y4|由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)222化简得m210，解得m1或m1所求直线l的方程为xy10或xy10