1、学科网（北京）股份有限公司数学答案一、单选题1、C2、B3、B4、D5、C6、C7、B8、D二、多选题9、BCD10、ABC11、BC12、BC四、填空题13、2814、2715、3616、，e24.答案详解一、单选题1（1-1）已知集合2,1,0,1,2M ，260Nx xx，则 MN（）A2,1,0,1B0,1,2C2D2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 N，即可根据交集的运算解出方法二：将集合 M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出【详解】方法一：因为260,23,Nx xx，而2,1,0,1,2M ，所以 MN 2故选：C方法二：因为2,1,0,1,2M ，将
2、 2,1,0,1,2代入不等式260 xx，只有 2 使不等式成立，所以MN 2故选：C2（187-4）82xx的展开式中含5x 项的系数是（）A112B112C28D28【答案】B【分析】根据题意，得到二项式的通项公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，其通项公式为38821882C2C,08,rrrrrrrTxxrrx N，试卷第 2页，共 18页令3852 r，可得2r，所以含5x 项的系数是2282C112故选:B3（203-4）某单位为了了解办公楼用电量 y（度）与气温 x（C）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程
3、2yxa，当气温为 3 C 时，预测用电量为（）气温 x（C）1813101用电量 y（度）24343864A68 度B66 度C28 度D12 度【答案】B【分析】根据样本中心满足回归方程 2yxa 即可解决.【详解】由表中数据可知18 13 10 1104x，24343864404y，所以回归方程 2yxa 过10,40，得402 10a ，即 60a，则回归方程为 260yx，当3x 时，623660y ，故选：B.4（185-4）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（）种不同的排法A 24
4、B144C 48D96【答案】D【分析】先安排数学，将物理和化学捆绑，与其余三门课程进行排序，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有 2 种，物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，与语文、英语、生物三门课程进行排序，有2424A A48种排法.由分步乘法计数原理可知，共有 2 4896种不同的排法.故选：D.5(109-3)已知正方体1111ABCDABC D的棱长为1,E F 是线段11B D 上的动点且1EF ，则三棱锥 ABEF的学科网（北京）股份有限公司体积为（）A24B26C212D无法确定【答案】C【分析】确定 AO 平面1
5、1BDD B，再计算体积得到答案.【详解】如图所示：连接 AC 与 BD 交于点O，1BB 平面 ABCD，AO 平面 ABCD，故1AOBB，AOBD，1BDBBB，故 AO 平面11BDD B.111221 1332212BEFA BEFVSAO .故选：C6（195-4）若随机变量 X 服从两点分布，其中103P X，E X，D X 分别为随机变量 X 的均值与方差，则下列结论不正确的是（）A1P XE XB324EX C324DX D29D X 答案 C【分析】根据随机变量 X 服从两点分布推出2(1)3P X，根据公式先计算出E X、D X，由此分别计算四个选项得出结果【详解】随机变
6、量 X 服从两点分布，其中1(0)3P X，2(1)3P X，122()01333E X ，2221222()(0)(1)33339D X，在 A 中，(1)()P XE X，故 A 正确；在 B 中，2(32)3()23243EXE X，故 B 正确；在 C 中，2(32)9()929DXD X，故 C 错误；在 D 中，2()9D X，故 D 正确试卷第 4页，共 18页7（电子 4-1）例 1(2023苏州质检)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)f(x)，且当 x(，0时，f(x)xf(x)bcBcbaCacbDcab答案B解析因为函数 f(x)在 R 上满足 f(x)f(x)，
7、所以函数 f(x)是偶函数，令 g(x)xf(x)，则 g(x)是奇函数，g(x)f(x)xf(x)，由题意知，当 x(，0时，f(x)xf(x)1,0ln 21，log21830，所以 log2180ln 21ba.思维升华(1)出现 nf(x)xf(x)形式，构造函数 F(x)xnf(x)；8（193-7）已知随机事件 A，B，C 满足 01P A，01P B，01P C，则下列说法错误的是（）A不可能事件 与事件 A 互斥B必然事件 与事件 A 相互独立C P A CP AB CP AB CD若|P A BP A B，则 12P AP A【答案】D【分析】根据事件的概念，以及实践之间的关
8、系，和条件概率的运算求解.【详解】因为不可能事件 与事件 A 不会同时发生，所以互斥，A 正确；因为()1,()(),()()()1()PP AP A P A PP AP A ,所以()()()P AP A P ，所以必然事件 与事件 A 相互独立，B 正确；因为 ABABA，且,AB AB 不会同时发生，所以P A CP AB CP AB C，C 正确；学科网（北京）股份有限公司例如，抛掷一枚骰子 1 次的试验，设事件 B 为出现点数小于等于 4，事件 A 为出现点数小于等于 2，则|P A BP A B，但()()P AP A，D 错误，故选:D.二、多选题9（电子 3-1）1(多选)已知
9、函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()Af(x)在区间(2,3)上有 2 个极值点Bf(x)在 x1 处取得极小值Cf(x)在区间(2,3)上单调递减Df(x)在 x0 处的切线斜率小于 0答案BCD解析根据 f(x)的图象可得，在(2,3)上，f(x)0，f(x)在(2,3)上单调递减，f(x)在区间(2,3)上没有极值点，故 A 错误，C 正确；由 f(x)的图象易知 B 正确；根据 f(x)的图象可得 f(0)0)，f(x)x2xexx2k，令 f(x)0 得 x2 或 kexx2，令(x)exx2(x0)，(x)exx2x3，(x)在(0,2)上单调递
10、减，在(2，)上单调递增，试卷第 10页，共 18页(x)min(2)e24，又当 x时，(x)，若(x)k 无实数根，则 ke24，当 ke24时，(x)k 的解为 x2，实数 k 的取值范围是，e24.三、解答题17.已知集合12324xAx，22440,Bx xxmm R（1）若3m，求 AB；（2）若存在正实数 m，使得“xA”是“xB”成立的，求正实数 m 的取值范围从“充分不必要条件，必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答【答案】（1）2,5AB U（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分别求解两个集合，再求并集；（2）若选，则 A 是 B 的真子集
11、若选，则 B 是 A 的真子集,根据集合的包含关系，列不等式，即可求解 m 的取值范围.【小问 1 详解】12322,54xAx 因0m，则 220,2,2Bx xmxmmRmm 当3m 时，1,5B ，所以 2,5AB U【小问 2 详解】选因“xA”是“xB”成立的充分不必要条件，则 A 是 B 的真子集所以002244,253mmmmmmm 经检验“=”满足学科网（北京）股份有限公司所以实数 m 的取值范围是4,)选因为“xA”是“xB”成立的必要不充分条件所以 B 是 A 的真子集所以002240,3253mmmmmmm ，经检验“=”满足所以实数 m 的取值范围是(0,3 18(电子
12、 2-9)已知函数 f(x)aexx，aR.(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)试讨论函数 f(x)的单调性解(1)因为 a1，所以 f(x)exx，则 f(x)ex1，所以 f(1)e1，f(1)e1，所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是 y(e1)(e1)(x1)，即 y(e1)x.(2)因为 f(x)aexx，aR，xR，所以 f(x)aex1，当 a0 时，f(x)aex10 时，令 f(x)0，得 xln a，当 xln a 时，f(x)ln a 时，f(x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递
13、增，综上，当 a0 时，f(x)在(，)上单调递减；当 a0 时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增19某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对 200 名青少年展开了调查，得知这 200 个人中共有 120 个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有 30 人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有 50 人.有 22 列联表：有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食试卷第 12页，共 18页不爱吃甜食总计(1)根据已知条件完成如图所给的 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；(2)若从“无蛀牙”的青少
14、年中用分层抽样的方法随机抽取 8 人作进一步调查，再从这抽取的 8 人中随机抽取2 人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的 2 人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率.附：22n adbcKabcdacbd，nabcd.2P Kk0.050.010.005k3.8416.6357.879【答案】(1)见解析(2)514【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解.【详解】（1）由题意可知，22 列联表：有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食9030120不爱吃甜食305080总计1208020022200(9
15、0 5030 30)28.1257.879120 80 120 80K有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；（2）若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取 8 人作进一步调查，则爱吃甜食占 3 人，设为,x y z，不爱吃甜食占 5 人，设为,a b c d e，从中随机选取 2 人，所有情况为：,x yx zy zx ax bx cx dx e ,y ay by cy dy ez az bz cz dz ea ba ca da eb c ,b db ec dc ed e，共 28 种，其中抽取的 2 人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年为：学科网（北京）股份有限
16、公司 ,a ba ca da eb cb db ec dc ed e，共 10 种，故抽取的 2 人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率为1052814P.20(134-9)如图，在三棱柱111ABCA B C-中，1AA 平面 ABC，D 为线段 AB 的中点，4CB，4 3AB，118AC，三棱锥1AA DC的体积为 8(1)证明：1A D 平面11B C D；(2)求平面1ACD 与平面1A BC 夹角的余弦值【答案】(1)见解析(2)6 5555【分析】（1）证明出11B C 平面11ABB A，利用线面垂直的性质可证得111C BA D，再由三棱锥1AA DC的体积为 8，求
17、出12 3AA，可证得11A DB D，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以点 B 为坐标原点，BA、1BB、BC 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面1DAC 与平面1ACB 夹角的余弦值.【详解】（1）证明：因为1AA 平面 ABC，CB 平面 ABC，所以1AABC，在三棱柱111ABCA B C-中，四边形11AAC C 为平行四边形，则118ACAC，因为4 3AB，4CB，所以222ABCBAC，所以CBAB，又因为1ABAAA，1AA 平面11ABB A，AB 平面11ABB A，所以CB 平面11ABB A，因为11/CBC B，所以1
18、1C B 平面11ABB A，又1A D 平面11ABB A，所以111C BA D试卷第 14页，共 18页18 32ABCSAB BC，D为 AB 的中点，则14 32ACDABCSS，因为1AA 平面 ABC，1111114 3833A A CDAACDACDVVSAAAA，所以12 3AA，所以在11A DB中，112 6A DB D，114 3A B，所以2221111A DB DA B，所以11A DB D，1111C BB DB，111,C B B D 平面11B C D，所以1A D 平面11B C D；（2）因为1BB 平面 ABC，BCAB，以点 B 为坐标原点，BA、1B
19、B、BC 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,4C、2 3,0,0D、1 4 3,2 3,0A、1 0,2 3,0B，设平面1DAC 的法向量为111,mx y z，12 3,2 3,0DA，2 3,0,4DC ，则111112 32 302 340m DAxym DCxz，取12x，可得2,2,3m，设平面1ACB 的法向量为222,xny z，14 3,2 3,0BA，0,0,4BC，则12224 32 3040n BAxyn BCz，取21x ，可得1,2,0n，所以，66 55cos,55115m nm nm n ，所以平面1DAC 与平面1ACB
20、夹角的余弦值为 6 5555.学科网（北京）股份有限公司21(209-10)某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于 3 次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为 p1，p2(1)若112p，223p，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；(2)已知1265pp，则：12,p p 取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；在第问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得 297 次“
21、神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？【答案】(1)49(2)当1235pp时，最大概率为 297625；625【分析】（1）先罗列出“神投小组”的可能情况，然后利用独立事件的乘法公式进行求概率即可；（2）先求出获得“神投小组”称号的概率，结合1265pp可得221221123,5pp ppp令12mp p，19,5 25m，利用二次函数的性质即可求解；利用二项分布的知识即可求解【详解】（1）每小组投进的次数之和不少于 3 次的称为“神投小组”,则可能的情况有甲投中一次,乙投中两次;甲投中两次,乙投中一次;甲投中两次,乙投中两次,1212,23pp，他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号
22、的概率为22112211212CC223232211243239（2）由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率1221222112122212C1C1ppppppppp2212122123,p ppppp1265pp，221221123,5pp ppp又1212601,01,5pppp,则1115p，令22121116395525mp pppp ,则19,5 25m,试卷第 16页，共 18页2212212()33,5525py mmmm 21235pmm 在 19,5 25 上单调递增,则max929725625py,此时1235pp.他们小组在 n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数
23、 满足297,625B n,297np,则297625297625n,平均要进行 625 轮游戏.22已知函数 21ln102f xaxxax a(1)讨论函数 fx 的单调性；(2)设函数 3g xa xfx有两个极值点1x，212xxx（i）求实数 a 的取值范围；（ii）证明：1210lng xg xa【答案】(1)答案见解析；(2)（i）04a，（ii）证明见解析.【分析】（1）由题设 1xxafxx且0,x，讨论1,a 研究导数的符号，即可确定函数单调性；（2）（i）将问题转化为240 xxa在0,上有两个不等实根，结合对应二次函数性质求参数范围；（ii）由（i）并应用韦达定理得 1
24、2g xg xln8aaa，分析法转化为 1ln20m aaaa在0,4a上恒成立，利用导数研究单调性并确定值域范围，即可证结论.【详解】（1）由()f x 定义域为0,x，且 2111xaxaxxaafxxaxxx，令 0fx得，1x 或 xa，当 01a 时，0,xa，()0fx，fx 单调递增，,1xa，()0fx，fx 单调递减，学科网（北京）股份有限公司1,x，()0fx，fx 单调递增，当1a 时，()0fx，fx 在0,单调递增，当1a 时，0,1x，()0fx，fx 单调递增，1,xa，()0fx，fx 单调递减，,xa，()0fx，fx 单调递增，综上：当 01a 时，fx
25、的单调递增区间为0,a、1,，fx 的单调递减区间为,1a；当1a 时，fx 的单调递增区间为0,；当1a 时，fx 的单调递增区间为0,1、,a ，fx 的单调递减区间为1,a.（2）（i）由已知，214ln2g xxaxx，则 22444axaxxxagxxxxx，函数 g x 有两个极值点1x，212xxx，即240 xxa在0,上有两个不等实根，令 24h xxxa，只需 00240haha，故 04a，（ii）由（i）知，124xx，12x xa，且 04a，2212111222114ln4ln22g xg xxaxxxaxx2212121214lnln2xxaxxxxln8aaa，
26、要证1210lng xg xa，即证ln810lnaaaa，只需证1ln20aaa，令 1ln2m aaaa，0,4a，则 11ln1lnam aaaaa ，因为 2110maaa 恒成立，所以 m a在0,4a上单调递减，又 110m，12ln 202m，由零点存在性定理得，01,2a使得00m a，即001ln aa，所以00,aa时，0m a，m a 单调递增，0,4aa时，0m a，m a 单调递减，则 0000max1ln2m am aaaa0000011123aaaaa，试卷第 18页，共 18页0013yaa在01,2a 上显然单调递增，00111323022aa ，0m a，即 1210lng xg xa，得证【点睛】关键点点睛：第二问二小问，由12g xg xln8aaa，综合应用分析法、函数思想转化为证明 0m a 在0,4a上恒成立，再利用导数研究单调性判断即可.
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