1、第2课时 圆内接四边形的性质与判定定理1圆内接四边形的性质定理1：圆的内接四边形的对角_2圆内接四边形的性质定理2：圆的内接四边形的外角_它的内角的对角3圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角_，那么这个四边形的四个顶点共圆4推论：如果四边形的一个外角_它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆互补等于互补等于1已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()如果AC，则A90；如果AB，则四边形ABCD是等腰梯形；A的外角与C的外角互补；如果ABCD，则四边形ABCD是矩形A1个 B2个C3个 D4个【答案】B2圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是()A4231B4312C
2、4132D以上都不对【答案】B3 若 BE 和 CF 是 ABC 的 边 AC 和 AB 边 上 的 高，则_四点共圆【答案】B，C，E，F4若圆内接四边形中3个相邻的内角比为564，则这个四边形中最大的内角为_，最小的内角为_【答案】120 60【例1】如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，点E为AB延长线上一点，CBE40，求AOC的度数【解题探究】利用圆内接四边形的性质和圆心角定理求解圆内接四边形的性质【解析】四边形ABCD为圆O的内接四边形，由圆内接四边形的性质定理，可知DCBE40.由圆心角定理，可得AOC2D80.圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的外角等于它的内角的对角涉
3、及圆的角度计算一般都要联系圆周角定理和圆心角定理1如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，过C作CEAB交AD的延长线于E，那么下列各角中与BCE互补的是()ABAD BADCCCDE DDEC【答案】C【解析】由CEAB，可知BCE与ABC互补由圆内接四边形的性质可知ABCCDE.所以CDE与BCE互补【例 2】如 图 所 示，AD 是 ABC 的 BC 边 上 的 高，DEAB，DFAC，E，F为垂足求证：E，B，C，F四点共圆【解题探究】利用圆内接四边形的判定定理或其推论证明圆内接四边形的判定【解析】方法一：如图所示，连接EF.DEAB，DFAC，AEDAFD9090180.A，E，
4、D，F四点共圆DEFDAF.BEFCBEDDEFCBEDDAFC9090180.E，B，C，F四点共圆方法二：如图所示，连接EF.DEAB，DFAC，AEDAFD9090180.A，E，D，F四点共圆DEFDAF.AEF90DEF90DAFC，E，B，C，F四点共圆 证明四点共圆的一般方法是证明四边形的对角互补或证明某一个外角等于其内对角2(2015 年兰州模拟)如图，在正ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上且 BD13BC，CE13CA，AD，BE 相交于点P.求证：四点 P，D，C，E 共圆【解析】在ABC 中，由 BD13BC，CE13CA，ABBCAC，ABCBCA60，A
5、BDBCE.ADBBEC，即ADCBEC180.四点 P，D，C，E 共圆.【例3】如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)求证：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小【解题探究】利用圆内接四边形的判定定理或其推论证明圆内接圆边形的综合问题【解析】(1)证明：如图所示，连接OP，OM.因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)由(1)知A，P，O，M四点共圆，所
6、以OAMOPM.由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部，可知 OPMAPM90，所以OAMAPM90.第(2)问往往要利用(1)的结果，只要想到同弧所对的圆周角相等，即OAMOPM即可3(2016年衡水月考)如图所示，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)求证：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径【解析】(1)证明：连接 DE，根据题意在ADE 和ACB中，ADABmnAEAC，即ADACAEAB.又DAECAB，从而ADEACB，因
7、此ADEACB，所以 C，B，D，E 四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.如图所示，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故 GHAB，HFAC所以 HFAG5，DF12(122)5.所以 DH5 2.故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2.1由圆内接四边形的判定和性质，可知不是所有的四边形都有外接圆2除圆内接四边形的判定定理及其推论外，还可以用以下方法判定圆的内接四边形：(1)如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆(2)若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆点击进入WORD链接
