1、模块素养评价(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布N(453，992)，估计这些考生成绩落在(552，651的人数约为()(附：ZN(，2)，则P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5)A36 014 B72 027 C108 041 D168 222【解析】选B.因为数学成绩近似地服从正态分布N(453，992)，所以P(552651)(0.954 50.682 7)0.135 9，所以考生成绩落在(552，651的人数约为530 0000.135 972 027.2两个变量y与x的4个不同回
2、归模型中，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是()A模型2的相关系数r为0.88B模型1的相关系数r为0.99C模型3的相关系数r为0.50D模型4的相关系数r为0.20【解析】选B.线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小，因为模型1的相关系数|r|最大，所以模拟效果最好3某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A16 B18 C24 D32【解析】选C.由题意知，剩余的4个车位连在一起，把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车
3、，所以共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有A24种4已知圆C1：x2y22x4y40与圆C2：x2y24x10y250相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为()Axy30 Bxy30Cx3y10 D3xy10【解析】选A.由题设可知线段AB垂直平分线过两圆的圆心C1(1，2)，C2(2，5)，由此可得kC1C21，故由点斜式方程可得y2(x1)，即xy30.5(2021合肥高二检测)先后掷骰子(骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6个点)两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“xy为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且xy”，则概率P(B|A)()A
4、B C D【解析】选A.事件A中“xy为偶数”，所以x，y同奇同偶，共包含23218种基本事件；事件AB同时发生，则x，y都为偶数，且xy，则包含A6个基本事件；P(B|A).6已知F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，P是以F1，F2为直径的圆与该双曲线的一个交点，且PF1F22PF2F1，则该双曲线的离心率是()A1 B1 C D【解析】选B.设|F1F2|2c，由于P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点，则F1F2P是直角三角形，F1PF290，由PF1F22PF2F1，则PF1F260，所以|PF2|c，|PF1|c，所以|PF2|PF1|cc2a，所以e1.7(2021无锡高二
5、检测)设x5a0(1x)5a1(1x)4a4(1x)a5，则a0a2a4()A32 B0 C16 D16【解析】选C.x5a0(1x)5a1(1x)4a4(1x)a5，令x0，得a0a1a2a3a4a50，令x2，得a0a1a2a3a4a532，两式相减，得2a02a22a432，所以a0a2a416.8(2021天津高二检测)某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为，且各位旅客之间互不影响设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为p(Xk)，则()Ap(X4)p(X5) Bp(X4)p(X5)Cp(X5)p(X6).二、多选题(每小题5分，共20分
6、，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9(2021南京高二检测)已知直线l：(a2a1)xy10，其中aR，下列说法正确的是()A当a1时，直线l与直线xy0垂直B若直线l与直线xy0平行，则a0C直线l过定点(0，1)D当a0时，直线l在两坐标轴上的截距相等【解析】选AC.对于A项，当a1时，直线l的方程为xy10，显然与xy0垂直，所以正确；对于B项，若直线l与直线xy0平行，可知(a2a1)(1)1(1)，解得a0或a1，所以不正确；对于C项，当x0时，有y1，所以直线过定点(0，1)，所以正确；对于D项，当a0时，直线l的方程为xy10，在两轴上的截距分别是1，1，所以
7、不正确10已知点P，Q是圆O：x2y21上的两个动点，点A是直线l：xy0上的一定点，若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是()A(0，) B(1，1)C(，0) D(1，1)【解析】选AC.设点A的坐标为(t，t)，当AP，AQ均为圆的切线时PAQ90，此时四边形PAQO为正方形，则|OA|，即t2(t)22，解得t0，t，故A(0，)，B(，0).11如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣分别为A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是()A.AB所在线路畅通的概率为BABC所在线路畅通的概率为CDE所在线路畅通的概率为D当开关合上时，整个电路畅通的概
8、率为【解析】选BD.由题意知，A，B，C，D，E保险闸被切断的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(E)，所以A，B两只箱子畅通的概率为，因此A错误；D，E两只箱子并联后畅通的概率为11，因此C错误；A，B，C三只箱子混联后畅通的概率为11，因此B正确；根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为，因此D正确12如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是()AAC16BAC1DBC向量与的夹角是60DBD1与AC所成角的余弦值为【解析】选AB.因为以顶点A为端点的三条棱长均为
9、6，且它们彼此的夹角都是60，所以66cos 6018，()22222223636363218216，则| |6，所以A正确；()()1220，所以B正确；显然AA1D为等边三角形，则AA1D60.因为B1CA1D，且向量A1D与AA1的夹角是120，所以B1C与AA1的夹角是120，所以C不正确；因为BD1，所以|BD1|6，|6，BD1(AA1)()36，所以cos BD1，所以D不正确三、填空题(每小题5分，共20分)13某单位招聘新员工考试，考试分为笔试和面试，只有笔试合格的考生才有资格进行面试，面试合格者就算应聘合格现有甲、乙、丙三人，他们笔试合格的概率分别是，面试合格的概率分别是，
10、那么甲、乙两人中恰有一人应聘合格的概率为_甲、乙、丙三人中应聘合格人数的数学期望是_【解析】计算发现甲、乙、丙应聘合格的概率都是，甲、乙恰有一人合格的概率是C，三人中应聘合格人数X服从二项分布XB，所以X的数学期望是31.答案：114(2021绵阳高二检测)已知双曲线的渐近线方程为3x4y0，焦点坐标为(5，0)，则双曲线的方程为_【解析】设以0为渐近线的双曲线的方程为，又因为该双曲线的焦点为(5，0)，所以16925，解得1，即双曲线方程为1.答案：115如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60，当的值等于_时，能使A1C平面C1BD.【
11、解析】不妨设x，CC11，若A1C平面C1BD，则A1CC1B，A1CC1D，而C1DC1C，A1CA1D1D1C1C1CC1C，由A1CC1D0，得(C1C)(C1C)C1C22C1C0，由C1C，可得方程1x20，解得x1或x(舍)，因此，当1时，能使A1C平面C1BD.答案：116已知函数f(x)ln (axx2)的定义域是(1，2)，则的展开式中x2的系数是_【解析】因为f(x)ln (axx2)的定义域为(1，2)，即axx20的解集为(1，2)，所以1和2是方程axx20的两根，将1，2代入方程axx20可得a2，则二项式为，根据二项式定理的通项公式Tr1C6rr(1)r26rCx
12、3r，令3r2，得r1，所以x2的系数为(1)1261C192.答案：192四、解答题(共70分)17(10分)某高校为了解玩手机游戏对个人心理健康的影响，用随机抽样的形式对在校学生100人进行了抽样调查，结果显示被抽查的100人中，日均玩游戏3小时以上人数为20人，其中出现心理问题人数为14人，日均玩游戏3小时以下的学生中，出现心理问题的人数是未出现心理问题人数的.(1)经过计算完成以下22列联表出现心理问题未出现心理问题总计日均玩游戏3小时以上日均玩游戏3小时以下总计(2)据上表，判断是否有99.9%的把握认为“日均玩游戏3小时以上”和“出现心理问题”有关？附：参考公式：2，附表：P(2k
13、)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(3)以本次调查得到的频率为概率，在校园里随机调查3人，设日均玩游戏3小时以上人数为X，求X的分布列和数学期望【解析】(1)在日均玩游戏3小时以上的20人中，出现心理问题14人，未出现心理问题：20146(人)，日均玩游戏3小时以下80人，其中出现心理问题人数8016(人)，未出现心理问题人数801664(人).完成表格：出现心理问题未出现心理问题总计日均玩游戏3小时以上14620日均玩游戏3小时以下166480总计3070100(2)219.0510.828，所以有99.9%的把握认为“日均玩游戏3小时以上”和“出现心理问题”
14、有关(3)由题意知日均玩游戏3小时以上的概率为：p0.2，X可取0，1，2，3，P(X0)C(1p)30.512，P(X1)Cp1(1p)20.384，P(X2)Cp2(1p)10.096，P(X3)Cp30.008，所以X的分布列为：X0123P0.5120.3840.0960.008EX00.51210.38420.09630.0080.6.18(12分)(2021沈阳高二检测)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，ABBD2，BB12，BD与AC相交于点E，A1D与AD1相交于点O.(1)求证：AC平面BB1D1D；(2)求直线OB与平面OB1D1所成的角的正弦值
15、【解析】(1)因为底面ABCD为菱形，所以ACBD.因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以DD1平面ABCD.因为AC平面ABCD.所以ACDD1.又因为BDDD1D.所以AC平面BB1D1D.(2)如图，取B1D1的中点F，连接EF，以E为原点，分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系：因为AE，BE1，所以点B(0，1，0)，B1(0，1，2)，D1(0，1，2)，A(，0，0)，O，设平面OB1D1的法向量为n(x，y，z)，D1B1(0，2，0)，OB1，有，令x2，y0，z得n(2，0，).又，n2，|n|，|2，设直线OB与平面OB1D1所成的角为，所以sin |c
16、os n，|，故直线OB与平面OB1D1所成的角的正弦值为.19(12分)(2021北京高二检测)已知抛物线y22px(p0)经过点(1，2).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)过抛物线C的焦点F的直线l交C于A，B两点，设O为原点()当直线l的斜率为1时，求AOB的面积；()当|FA|3|FB|时，求直线l的方程【解析】(1)因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1.(2)由(1)知：F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，()由题意得：直线l的方程为yx1，联立得：y24y40，所以，因为|OF|1，|y1|y
17、2|y1y2|，所以SAOBSOFASOFB|OF|y1|OF|y2|OF|(|y1|y2|)|OF|y1y2|2，所以AOB的面积为2.()易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：yk(x1)，联立得：k2x2(2k24)xk20，所以.因为|FA|3|FB|，所以x113(x21)，即x13x22联立，解得代入得k23，所以k，所以直线l的方程为y(x1).20(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布
18、直方图如图： 等级不合格合格得分20，40)40，60)60，80)80，100频数6a24b(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；(2)其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；(3)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望E.【解析】由题意知，样本容量为60，b60(0.0120)12，a606122418，c0.015.(1)平均数为(300.005500
19、.015700.02900.01)2064，设中位数为x，因为0.005200.015200.40.5，所以x60，80)，则0.005200.01520(x60)0.020.5，解得x65.(2)由题意可知，分数在60，80)内的学生有24人，分数在80，100内的学生有12人设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B，则P(A)，P(AB)，所以P(B|A).(3)在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为104，“合格”的学生人数为1046.由题意可得的所有可能取值为0，5，10，15，20，
20、P(0)，P(5)，P(10)，P(15)，P(20).所以的分布列为05101520PE0510152012.21(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB底面ABCD，H为棱AB的中点，E为棱DC上任意一点，且不与D点、C点重合AB2，ADPA1，PH.(1)求证：平面APE平面ABCD；(2)是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由【解析】(1)由于H为AB的中点，AHAB1.又PH，PA1，故PH2AP2AH2，所以PAH为直角三角形且PAH90，即PAAB.又因为PA平面PAB，平面PAB平面AB
21、CDAB，平面PAB平面ABCD，故AP平面ABCD，又PA平面PAE，所以平面PAE平面ABCD.(2)由(1)知AP平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，则AP，AD，AB两两垂直以A为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，P(0，0，1)，H(0，1，0)，C(1，2，0)，设E(1，2，0)，(0，1)，则(0，0，1)，(1，2，0)，(0，1，1)，(1，1，0)，设平面APE的法向量为m(x，y，z)，则有，令x2，则y1，则平面APE的一个法向量为m(2，1，0)，同理可得平面PHC的一个法向量为n(1，1，1)，设平面APE与平面PHC所成角为，则由题意可得cos ，解得，所以点E为DC中点22(12分)(2020长沙高二检测)已知椭圆C：y21(a1)的离心率为，直线l：xty(tR)与x轴的交点为P，与椭圆C交于M，N两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)证明：是定值【解析】(1)由题意知，b1，又e，所以e21，所以a，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由条件可得P，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立，消去x得(t22)y2y0，t2(t22)8t20恒成立，由根与系数的关系得y1y2，y1y2，因此，3，综上所述，3.