1、模块综合测评(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB4，则点B的坐标为()A(2，0)或(0，4)B(2，0)或(0，8)C(2，0)D(0，8)B设点B的坐标为(0，y)或(x，0)A(3，4)，kAB4或4，解得y8，x2点B的坐标为(0，8)或(2，0)2在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()ABCDC以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间
2、直角坐标系，如图所示由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以(1，0，)，(1，1，)，则由向量夹角公式，得cos，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C3已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为A(3，4)，则此双曲线的方程为()A1B1C1D1C由已知可得交点A(3，4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r5，故c5，所以a2b225，又双曲线的一条渐近线yx过点A(3，4)，故3b4a联立解得故选C4设x，yR，向量a(x，1，1)，b(1，y，1)，c(2，4，2)，且
3、ac，bc，则xy的值为()A1B1C2D3Aac，ac2x420，解得x1，又bc，所以，解得y2，所以xy1，故选A5若圆x2y22x4ym0截直线xy30所得弦长为6，则实数m的值为()A1B2C4D31C由圆x2y22x4ym0，即(x1)2(y2)25m，圆心为(1，2)，圆心在直线xy30上，此圆直径为6，则半径为3，5m32，m4，故实数m的值为46如图，在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM2MC，点N是棱AD的中点若xyz，其中x，y，z为实数，则xyz的值是()ABCDCBM2MC，点N是棱AD的中点，又，()，又xyz，比较两式，则x，y，z，xyz7九章算术是我
4、国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”设点F是抛物线y22px的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若RtABC的“勾”|AB|3，“股”|CB|3，则抛物线方程为()Ay22xBy23xCy24xDy26xB由题意可知，抛物线的图形如图：AB3，BC3，可得AC6，所以CAB60，ABF是正三角形，并且F是AC的中点，所以AB3，则p，所以抛物线方程为：y23x故选B8阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，
5、z0)且一个法向量为n(a，b，c)的平面的方程为a(xx0)b(yy0)c(zz0)0；过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为d(u，v，w)(uvw0)的直线l的方程为利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为3x5yz70，直线l是平面x3y70与4y2z10的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为()ABCDA平面的方程为3x5yz70，平面的一个法向量为m(3，5，1)，同理，可得平面x3y70的一个法向量为a(1，3，0)，平面4y2z10的一个法向量为b(0，4，2)设平面x3y70与平面4y2z10的交线的方向向量为d1(x，y，z)，则取y1，则d1(3，1，2)设直
6、线l与平面所成的角为，则sin |cosm，d1|故选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9下列说法中正确的是()A平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果向量a，b与平面共面，且向量n满足na，nb，那么n就是平面的一个法向量ABC选项A，B，C的命题显然正确对于D选项，只有当a，b不共线时，才能得出结论依据是线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直10设有一组
7、圆C：(x1)2(yk)2k4(kN*)，下列四个命题正确的是()A存在k，使圆与x轴相切B存在一条直线与所有的圆均相交C存在一条直线与所有的圆均不相交D所有的圆均不经过原点ABD对于A：存在k，使圆与x轴相切kk2(kN*)有正整数解k1，故A正确；对于B：因为圆心(1，k)恒在直线x1上，故B正确；对于C：当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D：将(0，0)代入得1k2k4，即1k2(k21)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段C
8、D1上的一个动点以下四个命题正确的为()A异面直线AC1与B1F夹角为60B异面直线AC1与B1F所成的角是定值C三棱锥BA1EF的体积是定值D直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值BC以A点为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，设F(t，1，1t)(0t1)，可得(1，1，1)，(t1，1，t)，可得0，故异面直线AC1与B1F所成的角是定值，故B正确，A错误三棱锥FA1B
9、E的底面A1BE的面积为定值，且CD1BA1，点F是线段CD1上的一个动点，可得F点到底面A1BE的距离为定值，故三棱锥FA1BE的体积是定值，即三棱锥BA1EF的体积为定值，故C正确易得(t，1，t)，(0，1，1)，(1，1，0)，可得平面B1CD1的一个法向量为n(1，1，1)，可得cos，n不为定值，故D错误12设椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是()A当点P不在x轴上时，PF1F2的周长是6B当点P不在x轴上时，PF1F2面积的最大值为C存在点P，使PF1PF2D|PF1|的取值范围是1，3ABD由椭圆方程可知，a2，b，从而c1据椭圆
10、定义，PF1PF22a4，又F1F22c2，所以PF1F2的周长是6，A项正确设点P(x0，y0)(y00)，因为|F1F2|2，则S|F1F2|y0|y0|因为0|y0|b，则PF1F2面积的最大值为，B项正确由椭圆可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，F1PF2为最大此时，PF1PF2a2，又F1F22，则PF1F2为正三角形，F1PF260，所以不存在点P，使PF1PF2，C项错误当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|ac3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|ac1，所以|PF1|1，3，D项正确，故选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题
11、5分，共20分把答案填在题中横线上13斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_法一：在抛物线y24x中，2p4，斜率为的直线倾斜角，过焦点的弦长|AB|法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知可得抛物线y24x的焦点为F(1，0)，过点F且斜率k的直线方程为y(x1)，联立消去y得3x210x30，|AB|14已知空间四个点A(1，1，1)，B(4，0，2)，C(3，1，0)，D(1，0，4)，则直线AD与平面ABC所成的角的度数为_，点D到平面ABC的距离是_(本题第一空2分，第二空3分)30A(1，1，1)，B(4，0，2)，C(3，1，0)，D
12、(1，0，4)，(2，1，3)，(5，1，1)，(4，2，1)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则取x1，得n(1，3，2)设直线AD与平面ABC所成的角为，则sin 又090，30，直线AD与平面ABC所成的角为30点D到平面ABC的距离d|sin 15在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45的平面截这个圆锥，得到的曲线是_抛物线因为圆锥的高和底
13、面半径都为2，因此有tan SAO1SAO45，所以母线SA与底面所成的角为45，因为用与底面呈45的平面截这个圆锥，所以该平面一定会与圆锥的某条母线(如SA)平行，由题中所给的结论可知：用与底面呈45的平面截这个圆锥，得到的曲线是抛物线故答案为抛物线16已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点若PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点 F1，则椭圆的离心率为_可设PF2Q的内切圆的圆心为I，M为切点，且为中点，可得PF2Q为等腰三角形，设|PF1|m，|PF2|n，可得mn2a，由切线的性质可得mn，解得m，n，设|QF1|t，|
14、QF2|2at，由t2at，解得t，则PF2Q为等边三角形，即有2c，即有e四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知圆C1：x2y24x2y0与圆C2：x2y22y40(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程解(1)证明：圆C1：x2y24x2y0与圆C2：x2y22y40化为标准方程分别为圆C1：(x2)2(y1)25与圆C2：x2(y1)25，则圆心坐标分别为C1(2，1)与C2(0，1)，半径都为，故圆心距为2，又020)的焦点为F，点P(x0，y0)在抛物线C上，且_(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l：
15、xy20与抛物线C交于A，B两点，求ABF的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解(1)若选：由抛物线的性质可得PFx0因为PFx01，所以x0x01，解得p2故抛物线C的标准方程为y24x若选：因为y02x02，所以y02，x01，因为点P(x0，y0)在抛物线C上，所以y2px0，即2p4，解得p2，故抛物线C的标准方程为y24x若选：因为PFx轴，所以PFp，因为PF2，所以p2故抛物线C的标准方程为y24x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0)联立整理得y24y80，则y1y24，y1y28，y1y24，故AB|y1y2|44，因为点F到直线
16、l的距离d，所以ABF的面积为|AB|d4221(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD1，CE2，M为棱A1B1的中点(1)求证：C1MB1D；(2)求二面角BB1ED的正弦值；(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值解依题意，以C为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，3)，A1(2，0，3)，B1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3)(1)证
17、明：依题意，(1，1，0)，(2，2，2)，从而2200，所以C1MB1D(2)依题意，(2，0，0)是平面BB1E的一个法向量，(0，2，1)，(2，0，1)设n(x，y，z)为平面DB1E的法向量，则即不妨设x1，可得n(1，1，2)因此有cos，n，于是sin，n所以，二面角BB1ED的正弦值为(3)依题意，(2，2，0)由(2)知n(1，1，2)为平面DB1E的一个法向量，于是cos，n所以，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为22(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率是，抛物线E：x24y的焦点F是椭圆C的一个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)设直线
18、l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线FA与FB的斜率之和为1，证明：l过定点解(1)抛物线E：x24y的焦点F(0，1)是椭圆C的一个顶点，可得b1，由e，解得a2，则椭圆方程为y21(2)证明：当斜率不存在时，设l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，直线FA与直线FB的斜率的和为1，kFAkFB1，解得m2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足；当斜率存在时，设l：ykxt(t1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理，得(14k2)x28ktx4t240，x1x2，x1x2，直线FA与直线FB的斜率的和为1，kFAkFB1，代入得1，t2k1，此时64k，存在k，使得0成立，直线l的方程为ykx2k1，当x2时，y1，l过定点(2，1)