1、2015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1已知集合P=x|x22x0，Q=x|1x2，则（RP）Q=（）A0，1）B（0，2C（1，2）D1，22在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，则a+b的概率为（）ABCD4已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=15函数y=e|lnx|x1|的图
2、象大致是（）ABCD6执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）Ak6Bk7Ck8Dk97已知函数f（x）=4sin（+），f（3+）=，f（3+）=，其中，0，则cos（）的值为（）ABCD8已知p：xR，mx2+20，q：xR，x22mx+10，若pq为假命题，则实数m的取值范围是（）A1，+）B（，1C（，2D1，19已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A6B3CD10一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该
3、四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）ABCD11已知f（x）=m2016x+x2+nx，若x|f（x）=0=x|f（f（x）=0，则m+n取值范围是（）A0，1）B0，2）C0，3）D0，4）12已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A0x0Bx01Cx0Dx0二填空题：本大题共四小题，每小题5分.13的展开式中x8的系数是（用数字作答）14如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB=60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是15设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx
4、+y（a0，b0）的最大值为35，则a+b的最小值为16设数列an满足：a1=，an+1=an+，其中，an、an分别表示正数an的整数部分、小数部分，则a2016=三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知等差数列an的公差大于0，且a3，a5是方程x214x+45=0的两根，数列bn的前n项的和为Sn，且（）求数列an，bn的通项公式；（）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn18已知函数f（x）=Asin（x）（0）相邻两个对称轴之间的距离是，且满足，f（）=（I）求f（x）的单调递减区间；（）在钝角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sinB=sinC，
5、a=2，f（A）=1，求ABC的面积19某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：网购金额（单位：千元）频数频率（0，0.530.05（0.5，1xp（1，1.590.15（1.5，2150.25（2，2.5180.30（2.5，3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友
6、的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望20如图所示的五面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，ABEF，AD平面ABEF，且AD=1，AB=EF=2，AF=BE=2，P、Q分别为AE、BD的中点（） 求证：PQ平面BCE；（） 求二面角ADFE的余弦值21设P为椭圆=1（ab0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|=4，离心率为（）求椭圆的标准方程；（）直线l：y=kx+m（m0）与椭圆交于P、Q两点，试问参数k和m满足什么条件时，直线OP，P
7、Q，OQ的斜率依次成等比数列；（）求OPQ面积的取值范围22已知f（x）=ex（ax1），g（x）=a（x1），aR（）讨论f（x）的单调性；（）若有且仅有两个整数xi（i=1，2），使得f（xi）g（xi）成立，求实数a的取值范围2015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1已知集合P=x|x22x0，Q=x|1x2，则（RP）Q=（）A0，1）B（0，2C（1，2）D1，2【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可【解答】
8、解：由P中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即P=（，02，+），RP=（0，2），Q=（1，2，（RP）Q=（1，2），故选：C2在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限【解答】解：复数=，复数对应的点的坐标是（，）复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A3在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，则a+b的概率为（）ABCD【分析】要找出（0，1）中随机地取出两个数所对应的平面区域的面积，及
9、两数之和小于对应的平面图形的面积大小，再代入几何概型计算公式，进行解答【解答】解：由题意可得，此区域为边长为1的正方形，面积为1，而，组成的平面区域如图所示的阴影部分，B（，1），C（1，），阴影部分的面积为S=1则a+b的概率P=故选D4已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程【解答】解：双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=5
10、，即焦点坐标为（5，0），c=5，双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，=2，c2=a2+b2，a2=5，b2=20，双曲线的方程为=1故选：A5函数y=e|lnx|x1|的图象大致是（）ABCD【分析】根据函数y=e|lnx|x1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案【解答】解：由y=e|lnx|x1|可知：函数过点（1，1），当0x1时，y=elnx1+x=+x1，y=+10y=elnx1+x为减函数；若当x1时，y=elnxx+1=1，故选D6执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A
11、k6Bk7Ck8Dk9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件【解答】解：根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 log23 3第二次循环 log23log34 4第三次循环 log23log34log45 5第四次循环 log23log34log45log56 6第五次循环 log23log34log45log56log67 7第六次循环 log23log34log45log56log67log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k7故选B7已知函数f（x）=4sin（+），f（3+
12、）=，f（3+）=，其中，0，则cos（）的值为（）ABCD【分析】由条件利用诱导公式求得cos 和sin 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin和cos的值，利用两角和差的余弦公式求得cos（）=coscos+sinsin 的值【解答】解：函数f（x）=4sin（+），f（3+）=4sin（+）=4cos=，cos=f（3+）=4sin（+）=4sin=，sin=，0，sin=，cos=则cos（）=coscos+sinsin=+=，故选：D8已知p：xR，mx2+20，q：xR，x22mx+10，若pq为假命题，则实数m的取值范围是（）A1，+）B（，1C（，2D1，1【分析】已知p
13、：xR，mx2+20，q：xR，x22mx+10，分别解出命题p和q，根据pq为假命题，分类进行求解；【解答】解：p：xR，mx2+20，m0，q：xR，x22mx+10，=4m240，1m1，pq为假命题，p为假命题，q也为假命题，p为假命题，则m0，q为假命题，则m1或m1，实数m的取值范围是m1，即1，+）故选A9已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A6B3CD【分析】由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P，Q的坐标，得到向量PF，FQ的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得【解答】解：抛物线C：x2=
14、8y的焦点为F（0，2），准线为l：y=2，设P（a，2），Q（m，），则=（a，4），=（m，2），2m=a，4=4，m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6故选A10一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）ABCD【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），
15、几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A11已知f（x）=m2016x+x2+nx，若x|f（x）=0=x|f（f（x）=0，则m+n取值范围是（）A0，1）B0，2）C0，3）D0，4）【分析】利用x|f（x）=0=x|f（f（x）=0可得f（0）=0，从而求得m=0；从而化简f（f（x）=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，从而讨论求得【解答】解：设x1x|f（x）=0=x|f（f（x）=0，f（x1）=f（f（x1）=0，f（0）=0，即f（0）=m=0，故m=0；故f（x）=x2+nx，f（f（x）=（x2+nx）（x2
16、+nx+n）=0，当n=0时，成立；当n0时，0，n不是x2+nx+n=0的根，故=n24n0，故0n4；综上所述，0n+m4；故选：D12已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A0x0Bx01Cx0Dx0【分析】求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0=，lnm1=x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围【解答】解：函数y=x2的导数为y=2x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，切线方程为yx02=2x0（xx0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，ln
17、m），0m1，即有y=lnx的导数为y=，可得2x0=，切线方程为ylnm=（xm），令x=0，可得y=lnm1=x02，由0m1，可得x0，且x021，解得x01，由m=，可得x02ln（2x0）1=0，令f（x）=x2ln（2x）1，x1，f（x）=2x0，f（x）在x1递增，且f（）=2ln210，f（）=3ln210，则有x02ln（2x0）1=0的根x0（，）故选：D二填空题：本大题共四小题，每小题5分.13的展开式中x8的系数是（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数【解答】解：由于的展开式的通项公式为 Tr
18、+1=，令15=8，求得r=2，故开式中x8的系数是=，故答案为：14如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB=60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是【分析】根据题意，可以得到OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1x，（0x1），利用向量加法的三角形法则，将则向已知向量转化，运用向量数量积的定义，即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案【解答】解：OA=OB=1，AOB=60，OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1x，（0x1），=（+）=+=|cos+|cos，=1+（1x）xcos=（x）2，0x1，当x=时，取得最小值为故答
19、案为：15设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a0，b0）的最大值为35，则a+b的最小值为8【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a0，b0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3ab=16，a+b2=8，在a=b=4时是等号成立，a+b的最小值为8故答案为：816设数列an满足：a1=，an+1=a
20、n+，其中，an、an分别表示正数an的整数部分、小数部分，则a2016=3023+【分析】由已知求出数列的前几项，得到数列的项呈现的规律得答案【解答】解：an+1=an+，且a1=1+（），=，=，=，=，=，=a2016=2016+1007+=3023+故答案为：3023+三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知等差数列an的公差大于0，且a3，a5是方程x214x+45=0的两根，数列bn的前n项的和为Sn，且（）求数列an，bn的通项公式；（）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【分析】（）由已知可得，且a5a3，联立方程解得a5，a3，进一步求出数列an通项
21、，数列bn中，利用递推公式（）用错位相减求数列cn的前n和【解答】解：（）a3，a5是方程x214x+45=0的两根，且数列an的公差d0，a3=5，a5=9，公差an=a5+（n5）d=2n1又当n=1时，有当，数列bn是首项，公比等比数列，（）由（）知，则（1）=（2）（1）（2）得： =化简得：18已知函数f（x）=Asin（x）（0）相邻两个对称轴之间的距离是，且满足，f（）=（I）求f（x）的单调递减区间；（）在钝角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sinB=sinC，a=2，f（A）=1，求ABC的面积【分析】（）根据题意求得函数的最小周期，进而利用周期公式求得，根据f
22、（）=求得A，进而可得函数f（x）的解析式，进而利用三角函数的性质求得其单调递减区间（）利用正弦定理把已知等式的角转化成边，进而求得sin（2A），进而求得A，最后利用余弦定理求得b和c，利用面积公式求得三角形面积【解答】解：（）由题意知周期T=，=2，A=2，时，函数单调减，即时，函数单调减，所以f（x）的单调递减区间为（）sinB=sinC，由正弦定理知，因为ABC为钝角三角形，所以舍去，故，a2=b2+c22bccosA，19某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：网购金额（单位：千
23、元）频数频率（0，0.530.05（0.5，1xp（1，1.590.15（1.5，2150.25（2，2.5180.30（2.5，3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望【分析】（1）由频数之和为60与“非
24、网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2，列出关于x，y的方程组，由此能求出x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（2）由题设知的可能取值为0，1，2，3，利用已知条件结合排列组合知识分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据题意，有解得p=0.15，q=0.10补全频率分布直方图如图所示 （2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人 故的可能取值为0，1，2，3；，所以的分布列为：0123p20如图所示的五面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，ABEF，AD平面ABEF，且AD=1，AB=EF=2
25、，AF=BE=2，P、Q分别为AE、BD的中点（） 求证：PQ平面BCE；（） 求二面角ADFE的余弦值【分析】（）连接AC，推导出PQEC，由此能证明PQ平面BCE（）取EF的中点M，则AFAM，以A为坐标原点，以AM，AF，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ADFE的余弦值【解答】证明：（）连接AC，四边形ABCD是矩形，且Q为BD的中点，Q为AC的中点，又在AEC中，P为AE的中点，PQEC，EC面BCE，PQ面BCE，PQ平面BCE解：（）如图，取EF的中点M，则AFAM，以A为坐标原点，以AM，AF，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标
26、系则A（0，0，0），D（0，0，1），M（2，0，0），F（0，2，0）=（2，0，0），=（2，2，0），=（0，2，1）设平面DEF的法向量为n=（x，y，z），则，令x=1，则y=1，z=2，故=（1，1，2）是平面DEF的一个法向量AM面ADF，=（2，0，0）为平面ADF的一个法向量cosn，=由图可知所求二面角为锐角，二面角ADFE的余弦值为21设P为椭圆=1（ab0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|=4，离心率为（）求椭圆的标准方程；（）直线l：y=kx+m（m0）与椭圆交于P、Q两点，试问参数k和m满足什么条件时，直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数
27、列；（）求OPQ面积的取值范围【分析】（）运用椭圆的定义可得a=2，由离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和等比数列的中项的性质，化简整理可得k，m的关系；（III）设点O到直线PQ的距离为d，运用点到直线的距离公式，以及弦长公式，三角形的面积公式，化简整理点到m的式子，再由基本不等式即可得到最大值，检验，进而得到所求范围【解答】解：（）由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，可得a=2，由e=，可得c=，b=1，则椭圆方程为；（）设点P（x1，y1），Q
28、（x2，y2），由，消y，得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以=64k2m216（m21）（4k2+1）0，解得4k2+1m2，由韦达定理得，由题意知，k2=kOPkOQ，即，即为，即有+m2=0，即，即k=，0m22；（III）设点O到直线PQ的距离为d，则， =4，由（）可得1+4k2=2，所以，则=1，由m2=1时，k=0，仅有一个交点，则最大值1取不到则OPQ面积的取值范围是（0，1）22已知f（x）=ex（ax1），g（x）=a（x1），aR（）讨论f（x）的单调性；（）若有且仅有两个整数xi（i=1，2），使得f（xi）g（xi）成立，求
29、实数a的取值范围【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）法一：分别求出f（x）和g（x）的特殊值，通过a的范围，通过观察f（x），g（x）的图象求出a的范围即可；法二：分离参数，问题转化为有两个整数解，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（）因f（x）=ex（ax+a1）所以，当a=0时，f（x）0在R上恒成立，即f（x）在（，+）上单调递减；当a0时，f（x）0的解为，即f（x）在上单调递增，在上单调递减；当a0时，f（x）0的解为，即f（x）在上单调递增，在上单调递减（）法一：当a=0时，f（x）=ex，g（x）=0，此时f（x）g（x）的解集为R，
30、所以此情况舍去；当a0时，f（0）=1g（0）=a，f（1）=e（a1）g（1）=0，f（2）=e2（2a1）g（2）=a可见f（x）g（x）的解集不仅仅两个整数解，此情况舍去；当a0时，由（）可知f（x）的极值点为，又f（0）=1，g（1）=0，而且，f（x）仅有一个零点若，即a1时，由（）知f（x）的单调性，以及，有f（x）与g（x）的草图如下：因，所以在（，1上f（x）单调递减，g（x）单调递增，所以g（x）max=g（1）=2a，所以在（，1上f（x）g（x）恒成立又f（0）=1g（0）=a，在x1，+）上，又a1，所以，ex1，ax10，所以f（x）=ex（ax1）ax1=a（x1）
31、+a1a（x1）=g（x）所以在a1时，在R上没有使得f（x）g（x）的整数解存在；若，即oa1时，f（x）与g（x）的草图如下：因为f（0）=1a=g（0），f（1）=e（a1）0=g（1），若，解得而由上知在（，1）上f（x）g（x）恒成立，下证明在x2，+）上，时，f（x）g（x）恒成立，令函数h（x）=f（x）g（x），x2，+），则h（x）=ex（ax1+a）a，因为x2，+），所以，所以，即h（x）0在x2，+）上恒成立，所以函数h（x）在2，+）上单调递增，所以h（x）h（2）=（2e21）ae20所以在x2，+）上，时，f（x）g（x）恒成立综上：法二：若有且仅有两个整数xi（i=1，2），使得f（xi）g（xi）成立，则a（xexx+1）ex有两个整数解因为y=x（ex1）+1，当x0时，ex10，x（ex1）+10；当x0时，ex10，x（ex1）+10，所以，有两个整数解设g（x）=，则，令h（x）=2xex，则h（x）=1ex0，又h（0）=10，h（1）=1e0，所以x0（0，1），使得h（x0）=0，g（x）在为增函数，在（x0，+）为减函数，有两个整数解的充要条件是：，解得：2016年8月18日