1、云南省昆明市寻甸县民族中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理（含解析）（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1.若函数在区间内可导，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由函数在某一点处的定义可知，.考点：函数在某一点处导数的定义.2.一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A. 5米/秒B. 6米/秒C. 7米/秒D. 8米/秒【答案】A【解析】【分析】由物体的运动方程为，得，代入，即可求解，得到答案【详解】由题意，物体的运动方程为，则，所以物
2、体在3秒末的瞬时速度是米/秒，故选A【点睛】本题主要考查了导数的计算，以及瞬时速度的计算，其中解答中熟悉导数的计算公式和瞬时速度的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题3.函数yx3x的递增区间是()A. (0，)B. (，1)C. (，)D. (1，)【答案】C【解析】y3x210对于任何实数都恒成立4.设函数f(x)，若f(1)4，则a的值为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数的导函数，因为f(1)4，即，解得 故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题.5.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A. B
3、. C. D. 【答案】A【解析】与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A6.如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论【详解】解：若函数单调递减，则， 由图象可知，时， 故选B【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键7.设，当时，（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题可知，故当时，于是有；考点：函数数列表示形式8.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在
4、弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为( )A. 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18J【答案】D【解析】【分析】先根据已知条件求出弹性系数，再根据定积分可求得结果.【详解】设弹力为，弹簧离开平衡位置的距离为，弹性系数为，则，因为时，所以，所以，所以在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功为：.故选：D【点睛】本题考查了利用定积分求变力所做的功，考查了微积分基本定理，要注意距离的单位是米，属于基础题.9.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点以上
5、推理中（ ）A. 小前提错误B. 大前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】B【解析】【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断【详解】大前提：对于可导函数，如果，那么是函数极值点，错误，极值点的定义中除要求，还需要在两侧的导数的符号相反虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，故选：B【点睛】本题考查三段论推理，三段论推理的结论是正确的前提条件是大前提、小前提、推理形式都正确10.已知直线是的切线，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：,设切点为,则切线方程为,代入,解得,所以.考点：导数与切线方程.11.在复平面内,复数与分别对应向量和,其中O
6、为坐标原点,则=（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案【详解】因为复数与分别对应向量和，所以向量和，所以，则，故选C【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题12.若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题可知，因为函数的导数为，故，因为倾斜角的范围是，解得或；考点：导数的几何意义二、填空题（每小题5分，共20分）13._【答案】【解析】【分析】利用微积分基本定理即可
7、求解.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了微积分基本定理，属于基础题.14.已知f(x)=sinx，则=_【答案】sin1+cos1；【解析】分析】根据f(x)=sinx，利用导数的乘法法则得到，然后将1代入求解即可.【详解】因为f(x)=sinx，所以，所以故答案为：sin1+cos1；【点睛】本题主要考查导数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.已知为一次函数，且，则=_.【答案】【解析】设，则.即，所以.16.函数在区间内单调递减，则的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】对参数进行分类讨论，利用导数，由函数单调性，即可容易求得参数范围【详解】当时，其在区间单调递减，
8、显然满足题意；当，其恒成立.令，故可得，当时，故在区间单调递增，显然不满足题意；当时，故在区间单调递减，在单调递增，在单调递减.要满足题意，只需，即，整理得，解得或，又，故可得.综上所述：或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用导数由函数的单调区间求参数范围，属综合中档题.三、解答题（每小题12分，共70分）17.，求复数【答案】或【解析】【分析】设，根据复数运算法则结合共轭复数定义计算得到答案.【详解】设，则，即，由得或，.【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.18.设（1）求的单调区间；（2）求函数在上的最值【答案】(1) 函数的单调增区间是，单调递减区间是. (2
9、)-6, .【解析】试题分析：(1)根据定积分的运算法则可得， 求出，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2)根据单调性求出极值，比较极值与区间端点函数值的大小即可得到函数在上的最值.试题解析：依题意得F(x)=(t2+2t-8)dt=x3+x2-8x,定义域是(0,+).(1)F(x)=x2+2x-8,令F(x)0,得x2或x-4,令F(x)0,得-4x0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1.【答案】（）在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）当x1时，恒有xln2x2al
10、nx1.【解析】解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有20. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价增加10元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用房间定价多少时，宾馆利润最大？【答案】每天的定价为350元时,宾馆利润最大；【解析】试题分析：由题可知，设出每天房价的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，对其求导，利用导数判断单调性，
11、由单调性可知，当时，函数取得最大值，即当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大；试题解析：设每个房间每天的定价为元，那么宾馆利润，令，解得，当时，当时，因此,时是函数的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大考点：运用二次函数解决实际问题21.证明：【答案】证明见解析；【解析】【分析】利用分析法即可证明.【详解】证明：要证，只需证即证即证即证，即该式显然成立，所以.【点睛】本题考查了分析法证明不等式，需掌握分析法证明不等式从结论证明，属于基础题.22.已知数列的前项和（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论【答案】（1）， ；（2）,证明见解析.,【解析】【详解】（1）依题设可得，当时，即，即，故，；（2）猜想：证明：当时，猜想显然成立假设时，猜想成立，即那么，当时，即又，所以，从而即时，猜想也成立故由和，可知猜想成立