1、第7章 计数原理7.1 两个计数原理7.1.1 分类加法计数原理7.1.2 分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用组数问题8张卡片上写着0,1,2，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，7共7个数中选一个，有7种选法；再排十位，从除选出的百位的数外剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外剩余的6个数中选一个，有6种选法由分步乘法计数原理知，共可以组成776294个不同的三位数互动探究 在例1中将条件“8张卡片上写着0,1，2，7共8个数字”，改为“4张卡片的正、反面分别
2、写有0与1,2与3,4与5,6与7”问可组成多少个不同的三位数？解：要组成三位数，根据百位、十位、个位应分三步第一步，百位可放817个数；第二步，十位可放6个数；第三步，个位可放4个数故由分步乘法计数原理知，共可组成764168 个不同的三位数【点评】数字问题的解决方法及注意事项解决方法：对于组数问题，可从数位入手，逐位探究可能的选取方法，再利用两个原理计算一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解注意事项：解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘，排数时要注意特殊位置、特殊元素优先的
3、原则1由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A8 B24C48D120解析：要完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，需分以下四步第一步，确定个位数字，可以从2和4中选1个，有2种选法；第二步，确定十位数字，可以从余下的4个数字中任取1个，有4种选法；第三步，确定百位数字，可以从余下的3个数字中任取1个，有3种选法；第四步，确定千位数字，可以从余下的2个数字中任取1个，有2种选法根据乘法原理知，符合题意的四位偶数共有243248个故选C答案：C简单的分给问题有四名同学参加三项不同的竞赛(1)每名学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一名学生
4、参加，有多少种不同结果？解：(1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每名学生均有3个不同的机会要完成这件事必须是每名学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步而每名学生均有3个不同机会，所以用分步乘法计数原理可得，有33333481种不同结果(2)竞赛项目可挑选学生，而学生条件限制，每一个项目可挑选4名不同学生中的一名要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步乘法计数原理可得，有4444364种不同结果【点评】此类问题是元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理解决处理此类问题的关键是明确要完成的事是什么，确定分步的依据一般情况
5、下，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据2(1)8本不同的书，任选了3本分给3名同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3名旅客到4家旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解：(1)分三步每名同学取书一本，第1、2、3名同学分别有8、7、6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有876336 种(2)完成这件事情可以分作四步第一步投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，同样有3种投法；第三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步投第四封信，仍然有3种投法由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有333381
6、 种(3)分三步每名旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有44464 种如图，用5种不同的颜料给4块区域(A，B，C，D)涂色，要求共边两块区域颜色互异求有多少种不同的涂色方案涂色问题解：方法一 按涂色种类进行分类第一类，涂4种颜色接下来分步，分四步：A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有2种涂法 共有5432120 种不同涂法第二类，涂3种颜色，则A，C颜色相同或B，D颜色相同若A，C颜色相同，有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法 共有54360 种不同涂法若B，D颜色相同，同理也有60种不同涂法 共有6060120 种不同涂法第三类，涂2种颜色，则A，C颜色相同且B，D颜
7、色也相同 A，C有5种涂色方法，B，D有4种涂色方法 共有5420 种不同涂法根据分类加法计数原理，共有12012020260 种不同涂色方案方法二 按A，C颜色相同或不同进行分类(1)若A，C颜色相同：A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法，故共有54480 种涂法(2)若A，C颜色不同：A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D有3种涂色方法，故共有5433180 种涂法 根据分类加法计数原理，共有80180260 种不同的涂色方案【点评】这里涉及的是简单的涂色问题，根据不同要求可以采用分类法或分步法，一般两种方法会同时运用，因此，一定要处理好“类中有步”“步中
8、有类”的关系3用5种不同的颜色给图中的A，B，C，D的四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同求有多少种不同的涂色方法解：(1)当A，B区域同色时，涂色方法有54360种(2)当A，B区域不同色时，涂色方法有5433180种 共有60180240种涂色方法1分类加法计数原理考虑的是完成一件事的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；分步乘法计数原理考虑的是完成一件事的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积2应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤3一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏4若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(二)谢谢观看！