1、四川省遂宁市2019届高三第三次诊断性考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=1，2，3，B=x|x|1，则AB=（）A. (0,1B. 1,1C. 1D. 1,12. 已知复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z的模是（）A. 1B. 5C. 2D. 43. 已知函数f(x)=x+2x3(x1)lg(x2+1)(x1)，则f（f（-3）的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 若抛物线y=ax2的焦点坐标是（0，1），则a=（）A. 1B. 12C. 2D. 145. “x1”是“log2x0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.
2、 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知角在第二象限，若sin=35，则tan2=（）A. 23B. 247C. 247D. 347. 九章算术卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈现有一刍甍，其三视图如图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为2丈，那么该刍甍的体积为（）A. 5立方丈B. 20立方丈C. 40立方丈D. 80立方丈8. 执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为b，则过定点（4，2）的直线l与圆（x-b）2+y2=16截得的最短弦长为（）A. 43B. 23
3、C. 11D. 2119. 已知点P的坐标（x，y）满足x+y20xy+20x2y+60，则yx+1的最大值（）A. 2B. 12C. 43D. 810. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=3，sinC=2sinB，则ABC的周长为（）A. 3+23B. 3+26C. 3+33D. 3+3611. 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，ADBC，AB=DC=AD=2，BC=PA=4，PA面ABCD，则球O的体积为（）A. 16B. 6423C. 1623D. 16212. 设函数y=|lnx+1ax2|ax有三个零点，则实数a的取值范围
4、为（）A. (33e,e)B. (33e,0)(0,33e)C. (1e,1)33eD. (0,33e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设两个非零平面向量a与b的夹角为，则将（|a|cos）叫做向量a在向量b方向上的投影已知平面向量a=(1，1)，b=（1，0），则向量a在向量b方向上的投影为_14. 曲线y=x在点（4，2）处的切线的斜率为_15. 将函数f（x）=2cos（2x+6）的图象向左平移t（t0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为_16. 已知函数g(x)=exex+xx2+1+12，函数g（x）在区间-m，m（m0）上的最大值与最小值的和为
5、a，若函数f（x）=ax|x|，且对任意的x0，2，不等式f（x-2k）2k恒成立，则实数k的取值范围为_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=3cosxsinx在x（0，1）上的零点为等差数列an（nN*）的首项a1，且数列an的公差d=1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=(12)n(an+23)，求数列bn的前n项和Tn18. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是邻边相等的矩形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点（1）判断直线PA与EB的位置关系（不需证明）；（2）证明：PBED；（3）求三棱锥A-PBE的体积19. 2018年1月
6、22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”如表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）年份20142015201620172018线下销售额90170210280340为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%
7、的把握认为支持程度与年龄有关附：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63520. 已知直线l1：x+y+1=0与直线l2：x+y+3=0的距离为a，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22（1）求椭圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线D：y2=2px（p0）的焦点F与点(18，2)关于y轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作抛物线D
8、的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积21. 已知函数f（x）=axlnx+b，g（x）=x2+kx+3，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=x-1（1）求f（x）在xm，n（0mn）上的最小值；（2）若存在x(1e，e)使关于x的不等式2f（x）+g（x）0成立，求k的取值范围22. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2=32+cos2，又在直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为y=7tx=1+t（t为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）已知点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，若|PQ|=22，
9、求此时点P的直角坐标23. 已知函数f(x)=x24x+4|x1|（1）解不等式f（x）12；（2）若正数a，b，c，满足a+2b+4c=f（12）+2，求1a+2b+4c的最小值答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A=1，2，3， B=x|x|1=x|-1x1， AB=1 故选：C分别求出集合A，B，由此能求出AB本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】B【解析】解：（1+i）z=3+i，z=，则|z|=故选：B把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础
10、题3.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，f（-3）=lg（32+1）=lg10=1，则f（f（-3）=f（1）=1+-3=0，故选：A根据题意，由函数的解析式求出f（-3）的值，即可得f（f（-3）=f（1），由解析式计算可得答案本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题4.【答案】D【解析】解：抛物线y=ax2的标准方程为x2=y，抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，1），=1，a=故选：D先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质属基础题5.【答案】B【解析】解：由log2x0得0x1， 则“x1”是“
11、log2x0”的必要不充分条件， 故选：B根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础6.【答案】C【解析】解：角在第二象限，若，cos=-=-，tan=-，tan2=-故选：C由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，进而可求tan，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题7.【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，如图：直三棱柱的侧棱长为8，底面三角形的底边长为6，底边上的高为2，消去的三棱锥
12、的高为2，几何体的体积V=628-2622=40故选：C几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长及底面三角形的相关几何量的数据，判断消去三棱锥的高，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键8.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1S=1，不满足条件S6，执行循环体，k=2，S=2，不满足条件S6，执行循环体，k=3，S=6，不满足条件S6，执行循环体，k=4，S=15，满足条件S6，退出循环，输出k的值为4，由题意，b=4，由题意过圆内定点P（4，
13、2）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，定点P（4，2）是弦|AB|的中点，由勾股定理得，|AB|=2=4故选：A模拟程序的运行，可得输出的k的值为4，可求b=4，由题意过圆内定点P（4，2）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，解三角形即可得解本题考查程序框图的应用问题，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直线恒过定点是关键，属于中档题9.【答案】A【解析】解：由点P的坐标（x，y）满足，作出可行域如图，A（0，2）z的几何意义为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率，kDA=2，z=的最大值是：2故选：A由约束条件作出可行域，由z=的几
14、何意义可知，z为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率，求出DO的斜率得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10.【答案】C【解析】解：在ABC中，sinC=2sinB，由正弦定理可得：c=2b，又a=3，由余弦定理可得：9=b2+c2-bc=b2+（2b）2-b2b，解得：b=，c=2，ABC的周长为a+b+c=3+2=3+3故选：C由已知利用正弦定理可得：c=2b，利用余弦定理可得9=b2+c2-bc，联立解得b，c的值，即可得解ABC的周长本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题11.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD为
15、等腰梯形，作AEBC，DFBC与E，F，则BE=CF=1，可得AE=，取BC中点M，连接AM，易得AM=2，故M到A，B，C，D距离相等，为球小圆的圆心，取PA中点N，则ANOM为矩形，在等腰直角三角形AMO中，得球半径OA=2，故球O的体积为：=，故选：B利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM中，求得半径OA，得解此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中12.【答案】D【解析】解：函数的定义域为（0，+），由函数有三个零点，得=ax，有三个根，则必有a0，即=ax，则=a2，有三个根，设h（x）=，则当x时，h（x）=，由h（x）0得-2-3
16、lnx0得lnx，得x，此时为增函数，由h（x）0得-2-3lnx0得lnx，得x，此时为减函数，此时x=取得极大值，极大值为h（）=，当x+，f（x）0，h（）=0，当0x时，h（x）=-，则h（x）=-=-=-（）=，当0x时，lnx-1，则2+3lnx2-3=-10，即此时h（x）0，且h（）=0，作出函数h（x）的图象如图：要使=a2，有三个根，即h（x）=，与y=a2，有三个不同的交点，则满足0a2，即0a，即实数a的取值范围是（0，）故选：D由题意知a0，x0，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可本题主
17、要考查函数与方程的应用，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度13.【答案】1【解析】解：两个非零平面向量与的夹角为，则将（）叫做向量在向量方向上的投影平面向量，=（1，0），则向量在向量方向上的投影为：=1故答案为：1利用平面向量的数量积转化求解即可本题考查向量的数量积的应用，向量在向量方向上的投影是求法，考查计算能力14.【答案】14【解析】解：曲线的导数为y=，可得曲线在点（4，2）处的切线的斜率：k=，故答案为：运用函数的导数运算法则，可得曲线的导数，再由导数的几何意义，代入
18、x=4，即可得到所求斜率本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题15.【答案】6【解析】解：将函数f（x）=2cos（2x+）的图象向左平移t（t0）个单位长度，可得y=2cos（2x+2t+）的图象，再根据所得图象对应的函数为奇函数，可得2t+=k+，求得t=+，kZ，则t的最小值为，故答案为：利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出t的最小值本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题16.【答案】（12，2）【解析】解：令，则有y=h（x）在-m，m上为奇函数h（x）
19、max+h（x）min=0又函数g（x）在区间-m，m（m0）上的最大值与最小值的和为a，a=1，y=f（x）在x0，2上为增加的又对任意的x0，2，不等式f（x-2k）2k恒成立，f（2-2k）2k，即（2-2k）22k，解得故答案为：（）可用奇函数的几何性质，先求a的值，再利用函数的单调性来解答不等式恒成立问题，从而求出k的取值范围本题考查了函数的奇偶性，不等式恒成立问题；判断函数的单调性来求最值，从而解答不等式恒成立问题17.【答案】（本小题满分12分）解：（1）因为f(x)=3cosxsinx=2cos(x+6)（1分）所以，由题意有x+6=k+2(kZ)x=k+13(kZ)（3分）由
20、于x（0，1），所以an是以13为首项，1为公差的等差数列（4分）所以an=n23(nN*)（6分）（2）bn=(12)n(an+23)=n(12)n（7分）Tn=1(12)1+2(12)2+3(12)3+(n1)(12)n1+n(12)n（8分）12Tn=1(12)2+2(12)3+3(12)4+(n1)(12)n+n(12)n+1（9分）则-得：12Tn=12+(12)2+(12)3+(12)nn(12)n+1=12(12)n12112n(12)n+1=1(n+2)(12)n+1，所以Tn=2(n+2)(12)n=2n+22n（12分）【解析】（1）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式
21、，利用函数在x（0，1）上的零点为等差数列an（nN*）的首项a1，求出首项，然后求解通项公式（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列得和即可本题考查数列求和，数列与函数相结合，考查发现问题解决问题的能力18.【答案】（本小题满分12分）解：（1）直线PA与EB是异面直线（2分）（2）证明：PD平面ABCD，DC平面ABCD，PDDC同理可证PDBC（3分）PD=DC可知PDC是等腰直角三形，而E是斜边PC的中点，DEPC底面ABCD是邻边相等的矩形，即四边形ABCD为正方形BCDC，又PDBC，PDDC=D，BC平面PDC，又DE平面PDC（5分）BCDE，又DEPC，且PCBC=C
22、，DE平面PBC，又PB平面PBCPBED（7分）（3）因为E为PC中点，所以VAPBE=12VAPBC=12VPABC（8分）又PD底面ABCD，而底面ABCD是邻边相等的矩形，即底面ABCD是正方形（9分）故VAPBE=12VAPBC=12VPABC=121312222=23（12分）【解析】（1）真假判断直线PA与EB是异面直线；（2证明PDDCPDBC，说明BCDC，又PDBC，推出BC平面PDC，得到BCDE，又DEPC，证明DE平面PBC，即可证明PBED（3）通过转化求解即可本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力19.
23、【答案】解：（1）分别记“2014年、2015年、2016年、2017年、2018年”为“a，b，c，d，e”从以上5年中任选2年，其基本事件为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）（c，d）（c，e）（e，f）；（4分）其中销售额均超过200万元的有：（c，d）（c，e）（e，f）；（5分）故所求的概率为p=310；（6分）（2）根据题意，整理数据得如下22列联表；年轻市民老年市民合计支持151025很支持253055合计404080计算K2=80(15301025)2404025551.4552.072，所以没有85%的把握认为支持程度与年龄有关【解析】（
24、1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； （2）根据列联表，计算观测值，对照临界值得出结论本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题20.【答案】解：（1）两平行直线间的距离d=2，a2=2，（2分）离心率e=ca=22，故c=1，b=1，（4分）椭圆C的标准方程为x22+y2=1；（5分）（2）由题意，抛物线D焦点为F(18，0)，故其方程为y2=x2（7分）联立方程组y2=x2x22+y2=1，解得x=1或x=-2（舍去），Q(1，22)（8分）设抛物线y2=x2在Q(1，22)点处的切线为y=k(x1)22，联立方程组y2=x2y=k(x1)2
25、2，整理得2ky2y22k=0，由=0，解之得k=24，所求的切线方程为y=24(x1)22即是x+22y+1=0（10分）令x=0，得y=24；令y=0，得x=-1（11分）故所求三角形的面积为S=12241=28（12分）【解析】（1）求出两平行直线间的距离，得到a2=2，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b则椭圆C的标准方程可求；（2）由抛物线D焦点，可得抛物线方程，联立抛物线方程与椭圆方程，求得Q的坐标，写出抛物线在点处的切线为，再与抛物线方程联立求得切线斜率，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案本题是圆锥曲线综合题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与抛
26、物线、椭圆与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21.【答案】解（1）f（x）=a（lnx+1），根据题意得f(1)=1f(1)=0，计算得出：b=0a=1（2分）故f（x）=lnx+1，当f（x）0，即x1e时，f（x）递增，当f（x）0，即0x1e时，f（x）递减，（3分）当n1e时，函数f（x）在m，n上单调递减，此时f（x）最小值为f（n）=nlnn；当m1en时，函数f（x）在m，1e上递减，在1e，n上递增，此时f（x）最小值为f(1e)=1e；当m1e时，函数f（x）在m，n上递增，此时f（x）最小值为f（m）=mlnm（6分）（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）0存
27、在x(1e，e)成立等价于不等式k2xlnx+x2+3x在x(1e，e)有解（7分）设h(x)=2xlnx+x2+3x，x(1e，e)，h(x)=x2+2x3x2（8分）当h（x）0即1ex1时，h（x）递增，当h（x）0，即1xe时，h（x）递减（9分）又h(1e)=3e22e+1e，h(e)=e2+2e+3e，h(1e)h(e)0（10分）k3e22e+1e（12分）【解析】根据导数的几何意义以及切线方程可得a=1，b=0；（1）先用导数的符号求出f（x）在0，+）上的单调性，再对n进行讨论可得f（x）在m，n上的单调性，根据单调性求得最小值；（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）0存在
28、成立等价于不等式在有解，再构造函数求得最小值即可本题考查了利用导数研究函数的最值，属难题22.【答案】解：（1）由2=32+cos2得2=32cos2+1，即2+2（cos）2=3，把x=cos，y=sin，2=x2+y2，得x2+y23=1，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y23=1；因为曲线C2的参数方程为y=7tx=1+t（t为参数）消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0（4分）（2）由题意，曲线C1的参数方程为x=cosy=3sin（为参数），可设点P的直角坐标为(cos，3sin)，因为曲线C2是直线，又|PQ|=22|PQ|即为点P到直线x+y-6=0的距离（6分）易得点P
29、到直线x+y-6=0的距离为d=|cos+3sin6|2=2|sin(+6)3|=22，（7分）所以sin(+6)=1，所以=2k+3(kZ)，此时点P的直角坐标为(12，32)（10分）【解析】（1）由得，即2+2（cos）2=3，把x=cos，y=sin，2=x2+y2，得，故曲线C1的直角坐标方程为；因为曲线C2的参数方程为（t为参数）消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0（2）利用椭圆的参数方程设P的坐标，根据点到直线距离求得|PQ|的最小值列等式可解得本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.【答案】解：（1）因为f(x)=x24x+4|x1|，所以f（x）=|x-2|-
30、|x-1|，当x1时，f（x）=2-x-（1-x）=1，由f(x)12，解得x1；当1x2时，f（x）=3-2x，由f(x)12，即32x12，解得x54，又1x2，所以1x54；当x2时，f（x）=-1不满足f(x)12，此时不等式无解综上，不等式f(x)12的解集为(，54)（2）由题意得a+2b+4c=f(12)+2=3，所以1a+2b+4c=(1a+2b+4c)a+2b+4c3=13(1+4+16)+2ba+2ab+4ca+4ac+8cb+8bc13(21+22ba2ab+24ca4ac+28cb8bc)=493当且仅当a=b=c=37时等号成立所以1a+2b+4c的最小值为733【解析】（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集， （2）由题意可得a+2b+4c=3，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题