1、第4课时 相似三角形的性质1相似三角形的性质定理：(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_；(2)相似三角形周长的比等于_；(3)相似三角形面积的比等于_相似比相似比相似比的平方2两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系：两 个 相 似 三 角 形 的 外 接 圆 的 直 径 比、周 长 比 等 于_，外接圆的面积比等于_3两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系：两 个 相 似 三 角 形 的 内 切 圆 的 直 径 比、周 长 比 等 于_，内切圆的面积比等于_相似比相似比的平方相似比相似比的平方【答案】C1如果两个相似三角
2、形对应边的比为 23，那么这两个相似三角形面积的比是()A23 B 2 3C49 D827【答案】C2已知ABCABC且ABAB12，则 SABCSABC为()A12 B21C14 D41【答案】43如图，AE，AB12BE，BD8，则 BC_.4如图，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，则 DE_，CE_.【答案】5 2 7【例1】如图所示，在ABC和DEF中，AB2DE，AC2DF，AD，ABC的周长是24，面积是48，求DEF的周长和面积相似三角形的周长和面积【解题探究】由已知可证明ABCDEF，然后利用相似三角形的性质求解【解析】在ABC 和DEF 中，AB2DE，AC2DF，D
3、EABDFAC12.又AD，ABCDEF 且相似比为12.根据相似三角形周长的比等于相似比，得lDEFlABC12，又 lABC24，lDEF12.同理，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，得SDEFSABC12214，又 SABC48，SDEF14SABC144812.在求面积时，应注意相似三角形面积的比等于相似比的平方而非相似比，同时应注意比的顺序1(2014 年广东)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E在 AB 上且 EB2AE，AC 与 DE 交于点 F，则 CDF的面积AEF的面积_.【答案】9【例2】如图所示，在ABC中，AB5，AC4，BC3，在ABC中，最长边AB12且
4、ABCABC.试求：(1)ABC的内切圆和外接圆的面积；(2)ABC的内切圆和外接圆的面积相似三角形的外接圆和内切圆【解题探究】因为两个三角形相似，故可利用相似三角形的性质解之【解析】(1)在ABC 中，因为 AB5，AC4，BC3，所以 AB2AC2BC2.所以 ACBC设ABC 的内切圆半径为 r，外接圆半径为 R，则SABC12(345)r12BCAC6r1234r1，R12AB52，设ABC 的内切圆和外接圆的面积分别为 S 内切圆，S 外接圆，则 S 内切圆r2，S 外接圆R2522254.(2)因为ABCABC，且ABC的最长边为 AB12，所以相似比为ABAB 512.设ABC的
5、内切圆和外接圆的面积分别为 S内切圆，S外接圆，则S内切圆S内切圆5122S内切圆S 内切圆125214425，S外接圆S外接圆5122S外接圆S 外接圆1252254 14425 36.在涉及相似三角形有关元素的计算时，利用相似三角形的性质定理往往可使解题过程简化2如图，在ABC 和DBE 中，ABDBBCBEACDE53，则ABC 与DBE 外接圆面积比是_【答案】259【例3】如图所示，已知D是ABC中AB边上一点，DEBC且交AC于点E，EFAB且交BC于点F，且SADE1，SEFC4，试求四边形BFED的面积相似三角形性质的应用【解题探究】本题由题意显然有ADEEFC，由面积比能得出
6、相似比，再由相似比转化为面积比，从而得到四边形BFED的面积【解析】因为 DEBC，EFAB，所以AEDC，ACEF.所以ADEEFC因为 SADE1，SEFC4，所以SADESEFC14AEEC2.所以相似比为AEEC12.所以AEAC13.又因为 DEBC，所以ADEABC所以SADESABCAEAC213219.又 SADE1，所以 SABC9.所以 SBFEDSABCSADESEFC9144.转化的思想在数学解题中有着广泛的应用本题的关键是利用转化的思想把三角形的面积比与相似比进行相互转化3(2016 年重庆模拟)如图，在ABC 中，BEEA12，F 是 AC 的中点，线段 CE 与
7、BF 交于点 G，则BEG 的面积与ABC 的面积之比是_【答案】1121相似三角形的性质定理常用于：(1)计算边长、周长、面积等；(2)用来证明线段成比例、角相等应用相似三角形的性质求周长、边长、面积等，常常结合方程的思想进行2在研究相似三角形的性质的时候，切记从相似入手即可，涉及线段的比均等于相似比，只有面积的比等于相似比的平方3在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比例获得线段的长或三角形的面积4利用相似三角形的性质，可以解决某些实际问题，如测量物体的高度、余料的利用、材料的最优利用等问题5利用相似三角形性质解题时，关键在于求出相似比，具体的论证过程往往是相似三角形的判定定理和性质定理的综合运用点击进入WORD链接
