1、23.2 & 2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算预习课本P9498，思考并完成以下问题(1)怎样分解一个向量才为正交分解？ (2)如何由a，b的坐标求ab，ab，a的坐标？ 1平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量2平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得axiyj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标(3)坐标表示：a(x，y)(4)特殊向量的坐标：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)点睛(1)平面向量的正交分解实
2、质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即abx1x2且y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)3平面向量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有下表：文字描述符号表示加 法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和ab(x1x2，y1y2)减 法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差ab(x1x2，y1y2)数 乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标a(x1，y1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的
3、坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)点睛(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()答案：(1)(2)(3)(4)2若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是()A(5,3)B(4,3)C(8,3) D(0，1)答案：
4、C3若向量(1,2)，(3,4)，则()A(4,6) B(4，6)C(2，2) D(2,2)答案：A4若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量_.答案：(1，4)平面向量的坐标表示典例如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B和点D的坐标和与的坐标解由题知B，D分别是30，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，B.x2cos 120，y2sin 120，D.，.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先
5、求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标活学活用已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60，(1)求向量的坐标；(2)若B(，1)，求的坐标解：(1)设点A(x，y)，则x4cos 602，y4sin 606，即A(2，6)，(2，6)(2)(2，6)(，1)(，7).平面向量的坐标运算典例(1)已知三点A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，则向量32_，2_.(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab,3a,2a3b的坐标解析(1)A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，(1,5)，(4，1)，(5，4)323(1,
6、5)2(4，1)(38,152)(11,13)2(5，4)2(1,5)(52，410)(7，14)答案(11,13)(7，14)(2)解：ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)，3a3(1,2)(3,6)，2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行活学活用1设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b()A(7,3)B(
7、7,7)C(1,7) D(1,3)解析：选A2b2(2,1)(4,2)，a2b(3,5)(4,2)(7,3)2已知M(3，2)，N(5，1)，则P点坐标为_解析：设P(x，y)，(x3，y2)，(8,1)，(8,1)，答案：向量坐标运算的综合应用典例已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？解因为t(1,2)t(3,3)(13t,23t)，若点P在x轴上，则23t0，所以t.若点P在y轴上，则13t0，所以t.若点P在第二象限，则所以t.一题多变1变条件本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP
8、的中点”试求t的值解：由典例知P(13t,23t)，则解得t2.2变设问本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由解：(1,2)，(33t,33t)若四边形OABP为平行四边形，则，所以该方程组无解故四边形OABP不能成为平行四边形向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的层级一学业水平达标1如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，
9、B(4,2)，则可以表示为()A2i3jB4i2jC2ij D2ij解析：选C记O为坐标原点，则2i3j，4i2j，所以2ij.2已知a，且A，B，又，则a等于()A BC D解析：选Aa，aa.3已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则b()A(1，2) B(1,2)C(5,6) D(2,0)解析：选Ab(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2)4在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则()A(2,4) B(3,5)C(1,1) D(1，1)解析：选C()(1,1)5已知M(2,7)，N(10，2)，点P是线段MN上的点，且2，则P点的坐标为()A(14,16
10、) B(22，11)C(6,1) D(2,4)解析：选D设P(x，y)，则(10x，2y)，(2x,7y)，由2得所以6(江苏高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：37若A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，则2_.解析：A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，(2,3)，(3,3)2(2,3)2(3,3)(2,3)(6,6)(4,9)答案：(4,9)8已知O是坐标原点，点A在第二象限，|6，xOA150，向量的坐标为_解析：设点A(x，y)，则x|cos 1506cos 1
11、503，y|sin 1506sin 1503，即A(3，3)，所以(3，3)答案：(3，3)9已知a，B点坐标为(1,0)，b(3,4)，c(1,1)，且a3b2c，求点A的坐标解：b(3,4)，c(1,1)，3b2c3(3,4)2(1,1)(9,12)(2,2)(7,10)，即a(7,10).又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则(1x,0y)(7,10)，即A点坐标为(8，10)10已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标(2)若点P(2，y)满足 (R)，求与y的值解：(1)设B(x1，y1)，因为(4,3)，A(1，2)，所以(x11，y12)(
12、4,3)，所以所以所以B(3,1)同理可得D(4，3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2，y21，所以M.(2)由(3,1)(2，y)(1,1y)，(4，3)(3,1)(7，4)，又 (R)，所以(1,1y)(7，4)(7，4)，所以所以层级二应试能力达标1已知向量(2,4)，(0,2)，则()A(2，2)B(2,2)C(1,1) D(1，1)解析：选D()(2，2)(1，1)，故选D.2已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2,1 B1，2C2，1 D1,2解析：选Dc1a2b，(3,4)1(1,2)2(2,3)(122,2132)，解得
13、11，22.3已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A BC(3,2) D(1,3)解析：选A设点D(m，n)，则由题意得(4,3)2(m，n2)(2m,2n4)，故解得即点D，故选A.4对于任意的两个向量m(a，b)，n(c，d)，规定运算“”为mn(acbd，bcad)，运算“”为mn(ac，bd)设f(p，q)，若(1,2)f(5,0)，则(1,2)f等于()A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，4)解析：选B由(1,2)f(5,0)，得解得所以f(1，2)，所以(1,2)f(1,2)(1，2)(2,0)5已知向量i(1
14、,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)；若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2；若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的起点是原点O；若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)其中，正确结论有_个解析：由平面向量基本定理，可知正确；例如，a(1,0)(1,3)，但11，故错误；因为向量可以平移，所以a(x，y)与a的起点是不是原点无关，故错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故错误答案：16已知A(3,0)，B(0,2)，O为
15、坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC.设 (R)，则 _.解析：过C作CEx轴于点E，由AOC知，|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.答案：7在ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标解：A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，(37,58)(4，3)，(47,38)(3，5)D是BC的中点，()(43，35)(7，8).M，N分别为AB，AC的中点，F为AD的中点.8在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，(1)若0，求的坐标(2)若mn (m，nR)，且点P在函数yx1的图象上，求mn.解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)所以解得所以点P的坐标为(2,2)，故(2,2)(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，所以(2,3)(1,1)(1,2)，(3,2)(1,1)(2,1)，因为mn，所以(x0，y0)m(1,2)n(2,1)(m2n,2mn)，所以两式相减得mny0x0，又因为点P在函数yx1的图象上，所以y0x01，所以mn1.