1、第3课：函数三要素的综合考查一.函数三要素(定义域、值域、对应关系)的求法:（学生做题归纳）二.高考题热身1.（06湖北卷）设，则的定义域为_ 解：f（x）的定义域是（2，2），故应有22且22解得4x1或1x4故选B2（06湖南卷）函数的定义域是_ 4, +)3.(06陕西卷)函数f(x)= (xR)的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,14.（06浙江卷）对a,bR,记maxa,b=，函数f（x）max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是_.解：当x1时，|x1|x1，|x2|2x，因为（x1）（2x）3x1；当1x0.5时，|x1|x1，|x2|2x，因
2、为（x1）（2x）2x10，x12x；当0.5xx2；故据此求得最小值为。选C5.（06安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由得，所以，则。6. （06山东卷）设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为_（1，2） （ ，+） 解：令2（x2），解得1x2（x2）解得x（，+）7. （05江苏卷2）函数的反函数的解析表达式为 _. 8.已知f(cosx)=cos5x，则f(sinx)=_.9.(06重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是 解析：如图所示，单位圆中的长为x，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长
3、小于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越慢，所以函数y=f(x)的图像是D.10. （05浙江理3）设f(x)，则ff() _ 12. （04年北京文8） 函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，给出下列四个判断： 若，则 若，则 若，则 若，则其中正确判断有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个三.典型例题例1.（上海春） 设函数.（1）在区间-2,6上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明； （3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数f(x)图像的上方.解：（1）(要求列表描点
4、) （2）方程的解分别是和，由于在和2,5上单调递减，在-1,2和上单调递增，因此 . 由于. （3）解法一 当时，. ， . 又， 当，即时，取， . ， 则. 当，即时，取， . 由 、可知，当时，. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.解法二 当时，.由 得， 令 ，解得 或， 在区间-1,5上，当时，的图像与函数f(x)的图像只交于一点； 当时，的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数f(x)图像的上方. 例2.（全国卷理17设函数，求使的取值范围解：由于是增函数，等价于当时，式恒成立
5、。当时，式化为，即。当时，式无解。 综上，的取值范围为例3已知函数（a，b为常数）且方程f(x)x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4. （1）求函数f(x)的解析式； （2）设k1，解关于x的不等式；【正确解答】（1）将得（2）不等式即为即当当.例4.（全国II卷）设，函数若的解集为A，求实数的取值范围。解：由f（x）为二次函数知，令f（x）0解得其两根为由此可知（i）当时，的充要条件是，即解得（ii）当时，的充要条件是，即解得综上，使成立的a的取值范围为例5.（上海文22）（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分，计18分）对定义域是、的函数y=f(x
6、)、y=g(x)，规定：函数。（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域； （3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。解（3）解法一令则于是解法二令，则于是例6设的值域为1，4，求a、b的值.例7：已知函数f(x)=,x1,+，(1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x1,+,f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围 (1)解 当a=时，f(x)=x+2f(x)在区间1，+上为增函数，f(x)在区间1，+上的最小值为f(1)= (2)解法一 在区间1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 设y=x2+2
7、x+a,x1,+，y=x2+2x+a=(x+1)2+a1递增，当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+当a0时，函数f(x)的值恒为正； 当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想四.课后练习 1已知f(xn)=lgx(nN*)，则f(2)=_.2已知函数f(x)定义域为R+，且满足条件f(x)=flgx
8、+1，f(x)=_3（04年湖北3）已知的解析式ABCD4（04年湖北7）函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ ）A0.25B0.5C2D45. （04天津12）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当时，则的值为A. B. C. D. 6（福建卷）函数的部分图象如图，则（ ）ABC D7. 8.方程cos2x+sinx=a有实数解，求实数a的取值范围.9.已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a0,a1,x0),求f(x)的表达式解 (1)令t=logax(a1，t0；0a1，t1,x0;0a1,x0)10（福建卷理19）已知函数的图象在点M（1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间. 解：（1）由函数f(x)的图象在点M（1f(1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知 58.(重庆卷) 已知定义域为R的函数f(x)满足 （I）若，求;又若，求; （II）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式 55、（天津文15）设，则函数的定义域为 。
