1、2.3 .1等差数列的前n项和（一）讲解新课： 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题可以看成是求等差数列1，2，3，n,的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表
2、示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.1等差数列的前项和公式1：证明： +： 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前项和公式2： 用上述公式要求必须具备三个条件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）总之：两个公式都表明要求必须已知中三个公式二又可化成式子：，当，是一个常数项为零的二次式2.三、例题讲解例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形
3、架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔例2 等差数列，前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为，前项为则 由公式可得解之得：，（舍去）.等差数列，前9项的和是54.例3一凸边形各内角的度数成等差数列，公差是10,最小内角为100,求边数 解：由，求得, 或. 当时, 最大内角，不合题意，舍去，. 例4在等差数列中，已知，求前20项之和分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求，求解；也可以用等差数列的性质求解解：法一由.由法二由，而，所以，所以。小结：在
4、解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质在本题的第二种解法中，利用这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法四巩固练习1求集合的元素个数，并求这些元素的和解：由得. 所以正整数共有14个，即中共有14个元素，即7,14，,21，98是以7为首项，98为末项的等差数列。所以2.在等差数列中，若，则=3等差数列的首项为，公差为，项数为，第项为，前项和为，请填写下表：51010-28104-38-10-3604.在等差数列中，求. 五、小结 本节课学习了以下内容：1.等差数列的前项和公式1： 2.等差数列的前项和公式2： 3. ，当，是一个常数项为零的二次式六、课后作业：P46 .
5、4题, 6题七、板书设计（略）八、课后记：2.3.2 等差数列的前n项和（二）.讲授新课例1.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 求其前项和的公式. 解：由题设： 得： ： 易得： 探究 1. 之间的关系例2. 已知数列是等差数列，是其前n项和，求证：，-，-成等差数列； （）成等差数列证明：设首项是，公差为d则 是以36d为公差的等差数列同理可得是以d为公差的等差数列.例3 已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据 与 可知，当n1时， 当n=1时， 也满足式. 所以数列的通项公式为. 由此可知，
6、数列是一个首项为，公差为2的等差数列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和，可求出通项用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的.探究2:一般地，如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？分析： 由，得当时=2p结论：通项公式是引导分析得出：观察等差数列两个前n项和公式，和，公式本身就不含常数项。所以得到：如果一个数列前项和公式是常数项为0，且关于的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.探究3. 对等差数列的前项和公
7、式2：可化成式子：，当，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？例4 已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号的值. 分析：等差数列的前项和公式可以写成，所以可以看成函数当时的函数值.另一方面，容易知道关于的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求的值. 解：由题意知，等差数列的公差为，所以 = 于是，当取与最接近的整数即7或8时，取最大值.发现规律:对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用:当0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由利用二次函数配方法求得最值时n的值 例 5. 在数列中，
8、已知， (nN*)，那么使其前n项和Sn取得最大值的n值等于 . 解：依题意知，0 .0,0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值利用：由利用二次函数配方法求得最值时n的值.课堂练习已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和。2.已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.3. 等差数列中, 15, 公差d3, 求数列的前n项和的最小值.4. 等差数列的第10项为23，第25项为22，求此数列 (1)第几项开始为负？(2)前10项的和？ (3)从首项到第几项之和开始为负？5. 在等差数列中，已知a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。.课时小结1. 表示, 2差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)当0，d0，前n项和有最大值可由，且，求得n的值。当0，前n项和有最小值可由0，且，求得n的值。(2)由利用二次函数配方法求得最值时n的值3. 是以d为公差的等差数列.课后作业课本P46 3题 全 品中考网