1、专题一 函数与导数题型一 函数的图象和性质函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查主要体现在两个方面：一是识图，二是用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性函数的奇偶性、周期性往往与分段函数、函数与方程结合，考查函数的求值与计算以指数函数、对数函数、二次函数的图象与性质为主，结合基本初等函数的性质综合考查分析与解决问题的能力，考查数形结合解决问题的能力等在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型，每年都有函数试题，而且常考常新以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势在大题中以导数为工具研究
2、讨论函数的性质、不等式求解等综合问题纵观近几年的高考题，函数问题的考查，往往是小题注重基础知识基本方法，突出重点知识重点考查，大题则注重在知识的交汇点命题，与不等式、导数、解析几何等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力【例 1】(1)(2018高考浙江卷)函数 y2|x|sin 2x 的图象可能是()(2)(2018高考全国卷)设函数 f(x)2x，x0，1，x0，则满足 f(x1)f(2x)的 x 的取值范围是()A(，1 B.(0，)C(1,0)D.(，0)解析(1)令 f(x)2
3、|x|sin 2x，因为 xR，f(x)2|x|sin 2(x)2|x|sin 2xf(x)，所以 f(x)2|x|sin 2x 为奇函数，排除选项 A，B；因为 x2，时，f(x)0，所以排除选项 C，故选 D.(2)将函数 f(x)的图象画出来，观察图象可知会有2x0，2xx1，解得 x0，所以满足 f(x1)1，g(x)x22x2m1.若函数 yf(g(x)m 恰有 6 个不同的零点，则 m 的取值范围是()A(0,3 B.(，1)C(0,1)D.0，35解析：函数 f(x)|2x1|，x1 的图象如图所示，令 g(x)t，yf(t)与 ym 的图象最多有 3 个零点，当有 3 个零点，
4、则 0m3，从左到右交点的横坐标依次t1t22m2，又 0m3，联立得 0m35.实数 m 的取值范围是0，35.答案：D题型二 导数运算及几何意义导数的几何意义问题的类型主要有：一是利用导数求曲线的切线方程；二是判断直线与曲线的位置关系；三是研究切线的斜率或倾斜角题型主要是选择题或填空题，主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等综合问题【例 2】(1)(2018高考全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xB.yxCy2xD.yx解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 a10，解得 a1，所以 f(x
5、)x3x，f(x)3x21，所以 f(0)1，f(0)0，所以曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yf(0)f(0)x，化简可得 yx，故选 D.答案 D跟踪训练 已知函数 f(x)x33ax23bx 在 x2 处有极值，其图象在 x1 处的切线平行于直线 6x2y50，则 f(x)的极大值与极小值之差为_解析：f(x)3x26ax3b，因为 f(x)在 x2 处有极值，所以 f(2)0，由图象在 x1 处的切线平行于直线 6x2y50 知 f(1)3，联立f21212a3b0，f136a3b3，解得 a1，b0，所以 f(x)3x26x3x(x2)，所以极大值为 f(0)0，极小值
6、为 f(2)4，则 f(x)的极大值与极小值之差为 4.答案：4题型三 利用导数研究函数的性质导数试题的类型主要有：一是利用导数求曲线的切线方程和判断直线与曲线的位置关系；二是利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性，求函数的极值或最值；三是利用导数解决与函数零点有关的问题；四是利用导数解决不等式和求参数范围的问题通过函数与导数综合考查单调性和最值问题仍然是热点，也是难点选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题预测 2020 年的高考，不但有考查求导法则、导数的几何意义
7、等问题的小题，还有考查导数的综合应用大题【例 3】(2018高考全国卷)已知函数 f(x)aexln x1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a1e时，f(x)0.解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex1x.由题设知，f(2)0，所以 a 12e2，从而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x.当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0，所以 f(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增(2)证明：当 a1e时，f(x)exeln x1.设 g(x)exeln x1，则 g(x)exe1x.当0 x1 时
8、，g(x)1 时，g(x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0时，g(x)g(1)0.因此，当 a1e时，f(x)0.跟踪训练 已知函数 f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围解析：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2aex(a2)ex1(aex1)(2ex1)若 a0，则 f(x)0，则由 f(x)0 得 xln a.当 x(，ln a)时，f(x)0.所以 f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增(2)若 a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点若 a0，由(1)知，当 xln a 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)11aln a.()当 a1 时，由于 f(ln a)0，故 f(x)只有一个零点；()当 a(1，)时，由于 11aln a0，即 f(ln a)0，故 f(x)没有零点；()当 a(0,1)时，11aln a0，即 f(ln a)2e220，故 f(x)在(，ln a)有一个零点设正整数 n0 满足 n0ln3a1，由于 ln3a1 ln a，因此 f(x)在(ln a，)有一个零点综上，a 的取值范围为(0,1)