1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、非标准1.如图,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,记这个数列的前n项和为S(n),则S(16)等于()A.144B.146C.164D.461解析:由题图知,数列中的首项是C22,第2项是C21,第3项是C32,第4项是C31,第15项是C92,第16项是C91.S(16)=C21+C22+C31+C32+C91+C92=(C21+C31+C91)+(C22+C32+C92)=(C22+C21+C31+C91-C22)+(C33+C32+C92)=C102+C103-1=164.答案:C2.若x
2、3+1x2n(nN*)的展开式中只有第6项系数最大,则该展开式中的常数项为()A.210B.252C.462D.10解析:由于展开式中只有第6项的系数最大,且其系数等于其二项式系数,所以展开式项数为11,从而n=10,于是得其常数项为C106=210.答案:A3.若(x+3y)n展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则n的值为()A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b)10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得n=5.答案:A4.(x-1)11展开式中x的偶次项系数之和是()A.-2 048B.-1 023C.1 024D.
3、-1 024解析:(x-1)11=C110x11+C111x10(-1)+C112x9(-1)2+(-1)11,偶次项系数为负数,其和为-210=-1 024.答案:D5.在(a-b)20的二项展开式中,与第6项二项式系数相同的项是()A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项解析:第6项的二项式系数为C205,与它相等的为倒数第6项,即第16项.答案:B6.若x2+1x3n展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项是.解析:展开式中各项系数之和为S=Cn0+Cn1+Cnn=2n=32,n=5.Tr+1=C5r(x2)5-r1x3r=C5rx10-2r-3r=C5rx10-5r,令
4、10-5r=0,得r=2,展开式中的常数项为T3=C52=10.答案:107.若(1-2x)2 014=a0+a1x+a2x2+a2 014x2 014(xR),则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2 014)=.(用数字作答)解析:在(1-2x)2 014=a0+a1x+a2x2+a2 014x2 014中,令x=0,则a0=1,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a2 014=(-1)2 014=1,故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2 014)=2 013a0+a0+a1+a2+a3+a2 014=2 014.答案:2 0148.对于二项
5、式(1-x)10.(1)求展开式的中间项是第几项?写出这一项;(2)求展开式中除常数项外,其余各项的系数和;(3)写出展开式中系数最大的项.解:(1)由题意可知,r=0,1,2,11,展开式共11项,所以中间项为第6项,T6=C105(-x)5=-252x5.(2)设(1-x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,令x=1,得a0+a1+a2+a10=0,令x=0,得a0=1,a1+a2+a10=-1.(3)中间项T6的系数为负,系数最大的项为T5和T7,T5=C104x4=210x4,T7=C106x6=210x6.9.在x-2x28的展开式中,(1)系数的绝对值最大的项是第几项?(2
6、)求二项式系数最大的项.(3)求系数最大的项.(4)求系数最小的项.解:(1)Tr+1=C8r(x)8-r-2x2r=(-1)rC8r2rx4-5r2.设第r+1项系数的绝对值最大,则C8r2rC8r+12r+1,C8r2rC8r-12r-1.18-r2r+1,2r19-r.5r6.r0,1,2,8,r=5或r=6.系数绝对值最大的项是第6项和第7项.(2)二项式系数最大的项为中间项,即为第5项.T5=C8424x4-202=1 120x-6.(3)由(1)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,而第6项的系数为负,第7项的系数为正.则系数最大的项为T7=C8626x-11=1 792x-11.(4)系数最小的项为T6=(-1)5C8525x-172=-1 792x-172.
