1、二十六函数yA sin (x)、三角函数的应用(25分钟50分) 一、选择题(每小题5分，共20分)1(2020福州三模)已知函数f(x)sin (x)(0)的图象上相邻两条对称轴的距离为，把f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则()Ag(x)cos 4x Bg(x)cos 4 xCg(x)cos x Dg(x)cos x【解析】选D.因为函数f(x)sin (0)的图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，所以2，f(x)sin .把f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得ysin 的图象，再把得
2、到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)sin sin cos x的图象2(多选题)已知函数f(x)2sin (2x)(0)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则下列结论中正确的是()AB是f(x)图象的一个对称中心Cf()2Dx是f(x)图象的一条对称轴【解析】选ABD.f(x)2sin (2x)向右平移个单位，得y2sin 2sin (2x)，因为y2sin 的图象关于y轴对称，所以k，kZ，所以k，kZ.又0，所以k0，.因为f(x)2sin ，所以f0.f()f2，f2.3(2020德阳模拟)若函数f(x)A sin (x)(A0，0，|)，已知函数y|f(x)|
3、的图象如图，则()A.f(x)2sin Bf(x)2sin Cf(x)2sin Df(x)2sin 【解析】选A.由于函数y|f(x)|的周期为函数yf(x)的周期的一半，根据函数的图象，设函数yf(x)的周期为T，满足T，解得T，所以4.当x时，f2，整理得4k (kZ)，解得k(kZ)，当k1时，.4某港口某天0时至24时的水深y(m)随时间x(时)变化曲线近似满足如下函数模型：y0.5sin 3.24(0)，若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3 m，则该港口该天水最深的时刻不可能为()A16时 B17时C18时 D19时【解析】选D.由题意可知，当x0时，y0.5sin
4、 3.243.49，由五点法作图可知：如果当x16时，函数取得最小值可得：16，可得，此时函数y0.5sin 3.24，函数的周期为：T14，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足如果当x19时，函数取得最小值可得：19，可得，此时函数y05sin 3.24，函数的周期为：T，当x24时，y0.5sin 3.243，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有2个时刻水深为3米，不满足二、填空题(每小题5分，共10分)5已知函数ysin xcos x，其图象的对称轴中距离y轴最近的一条对称轴方程为x_，函数最大值为_【解析】ysin xcos xsin (x)，令xk，kZ
5、，解得xk，kZ，即函数的对称轴方程为xk，kZ，所以当k1时，其图象的对称轴中距离y轴最近的一条对称轴方程为x.答案：6已知函数f(x)A sin (x)(A0，0，0)的图象与x轴的一个交点为B，且与点B相邻的一个最高点为C，则当x时，函数y1与函数yf(x)的图象的所有交点的横坐标之和为_【解析】因为函数f(x)A sin (x)(A0，0，0)的图象与x轴的一个交点为B(，0)且与点B相邻的一个最高点为C，所以，所以2，且A3.再根据22k，kZ，所以，f(x)3sin .则当x时，2x.函数y1与函数yf(x)的图象的所有交点的横坐标，满足3sin 1，即 sin ，故满足 sin
6、的x值共计6个，设为x1，x2，x6.根据图象的对称性，2x1，2x35，2x59，故 x1x2，x3x4，x5x6，所以x1x2x3x4x5x67.答案：7三、解答题(每小题10分，共20分)7把函数f(x)2sin x的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，函数yg(x)的图象关于直线x对称，记函数h(x)f(x)g(x).(1)求函数yh(x)的最小正周期和单调增区间；(2)画出函数yh(x)在区间上的大致图象【解析】(1)把函数f(x)2sin x的图象向左平移个单位，得到函数g(x)2sin (x)的图象根据yg(x)的图象关于直线x对称，得m(mZ)，即m(mZ)，又0，所
7、以，则g(x)2sin .则h(x)f(x)g(x)4sin xsin 4sin x2sin2x2sinx cos x1cos 2xsin 2x2sin 1，则函数yh(x)的最小正周期T，令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函数yh(x)的单调增区间是(kZ).(2)在区间上，2x列表如下： 2x0xh(x) 2 11 1 3 2故yh(x)在区间上的大致图象是：8.如图，半圆O的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设PAC.(1)把线段PC的长表示为的函数；(2)求四边形ACDP的面积的最大值【解析】(1)依题意知APB是以APB为直角的直角三角形又AB2，PAB，所以PA2cos ，在PAC中，AC3，PAC，由余弦定理得：PC2PA2AC22PAACcos 4cos2912cos298cos2.所以PC，定义域为；(2)设四边形ACDP的面积为S.则SSAPCSPCDPAACsinPC 22cos 3sin (98cos2)sin2(54cos 2)sin 22cos 2sin (2)，其中cos ，sin ，所以当sin (2)1时，S取得最大值为5.