1、专题二考前基础回扣“精、准、灵”一、考前必记的34个概念、公式1四种命题的相互关系2全称量词与存在量词全称命题p：xM，p(x)的否定为特称命题非p：x0M，非p(x0)；特称命题p：x0M，p(x0)的否定为全称命题非p：xM，非p(x)3熟记五种常考函数的定义域(1)当f(x)为整式时，函数的定义域为R.(2)当f(x)为分式时，函数的定义域是使分母不为0的实数集合(3)当f(x)为偶次方根时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合(4)当f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为大于0且不为1的实数集合(5)当f(x)中有tan x时，则应考虑xk(kZ)4指数函数与对数函
2、数的对比区分表解析式yax(a0且a1)ylogax(a0且a1)定义域R(0，)值域(0，)R图象关于直线yx对称奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0a1时，在R上是减函数；a1时，在R上是增函数0a1时，在(0，)上是减函数；a1 时，在(0，)上是增函数5.方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系：由函数零点的定义，可知函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标所以，方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(2)函数零点的存在性：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a
3、)f(b)0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的实数根6导数公式及运算法则(1)基本导数公式：C0(C为常数)；(xm)mxm1(mQ)；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ex)ex；(ax)axln a(a0且a1)；(ln x)；(logax) (a0且a1)(2)导数的四则运算：(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)7导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左正右负”f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0
4、附近“左负右正”f(x)在x0处取极小值(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”8同角三角函数的基本关系(1)商数关系：tan ；(2)平方关系：sin2cos21(R)9三角函数的诱导公式(1)sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan ，kZ.(2)sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .(3)sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .(4)sincos ，cossin ，sincos ，cossin
5、 .10三角函数图象的三种基本变换ysin x的图象向左(0)或向右(0)平移|个单位得到ysin(x)的图象；ysin x图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到ysin x的图象；ysin x图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍，得到yAsin x的图象11三角函数的对称中心与对称轴(1)函数ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)，对称轴为xk(kZ)(2)函数ycos x的对称中心为(kZ)，对称轴为xk(kZ)(3)函数ytan x的对称中心为(kZ)，没有对称轴12三角恒等变换的主要公式sin()sin cos cos sin ；cos()cos co
6、s sin sin ；tan()；sin 22sin cos ；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.13辅助角公式asin bcos sin()，其中sin ，cos .14平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：abab.两个非零向量垂直的充要条件：abab0|ab|ab|.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(3)三个点A，B，C共线共线；向量中三终点A，B，C共线存在实数，使得，且1.(4)向量的数量积：若a(x1，y1)，b(x2，y
7、2)，则|a|2a2aa，ab|a|b|cos x1x2y1y2，cos ，a在b上的投影为|a|cosa，b.15中点坐标和三角形重心坐标(1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，P为线段P1P2的中点，中点P的坐标为.(2)ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心的坐标是G，.16.an与Sn的关系(1)对于数列an，Sna1a2an为数列an的前n项和(2)an与Sn的关系式：an17判断等差数列的常用方法(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列(2)中项公式法：2an1anan2(nN*)an是等差数
8、列(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数，nN*)an是等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列18判断等比数列的三种常用方法(1)定义法：q(q是不为0的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式法：ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列(3)中项公式法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列19不等式的性质(1)ab，bcac.(2)ab，c0acbc；ab，c0acbc.(3)abacbc.(4)ab，cdacbd.(5)ab0，cd0acbd.(6)ab0，nN，n1anbn.(7)ab0，nN，n2.
9、20一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是21简单分式不等式的解法(1)0f(x)g(x)0，0f(x)g(x)0.(2)00(3)对形如a(xa)的分式不等式要采取：移项通分化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解22简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧ch(c为底面的周长，h为高)(2)S正棱锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)(3)S正棱台侧(cc)h(c与c分别为上、下底面周长，h为斜高)(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S圆柱侧2rl(r为底面半径，l为母线)，S圆锥侧rl(同上)，S圆台侧(rr)l(r，
10、r分别为上、下底的半径，l为母线)(5)体积公式：V柱Sh(S为底面面积，h为高)，V锥Sh(S为底面面积，h为高)，V台(SS)h(S，S为上、下底面面积，h为高)(6)球的表面积和体积公式：S球4R2，V球R3.23直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为yy0k(xx0)，它不包括垂直于x轴的直线(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为ykxb，它不包括垂直于x轴的直线(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，
11、则直线方程为1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线(5)一般式：任何直线均可写成AxByC0(A，B不同时为0)的形式24点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为d；(2)两平行线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离为d.25直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系(1)平行A1B2A2B10(斜率相等)且B1C2B2C10(在y轴上截距不相等)；(2)相交A1B2A2B10；(3)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(4)垂直A1A2B1B20.26圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb
12、)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，只有当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0才表示圆心为，半径为 的圆27椭圆及其性质(1)定义：|MF1|MF2|2a(2a2c|F1F2|)(2)标准方程：焦点在x轴上，1(ab0)；焦点在y轴上，1(ab0)(3)性质：范围；顶点；对称性；离心率28双曲线及其性质(1)定义：|MF1|MF2|2a(2a0，b0(当且仅当ab时取等号)(4)a3b3c33abc(a0，b0，c0)，a2b2c2abbcac，当且仅当abc时取等号(5)|a|b|ab|a|b|.(6) (当且仅当ab时取等号，且a0，b0)14给定区
13、间上，含参数的不等式恒成立或有解的条件依据(1)在给定区间(，)的子区间L(形如，(，)等)上，含参数的不等式f(x)t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)mint(xL)(2)在给定区间(，)的子区间L上，含参数的不等式f(x)t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)maxt(xL)(3)在给定区间(，)的子区间L上，含参数的不等式f(x)t(t为参数)有解的充要条件是f(x)maxt(xL)(4)在给定区间(，)的子区间L上，含参数的不等式f(x)t(t为参数)有解的充要条件是f(x)mint(xL)15直观图(1)空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法对斜二测画法的规则可以记忆为：“平
14、行要保持，横长不变，纵长减半”(2)由直观图的画法规则可知：任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S之间具有关系SS.用这个公式可以方便地解决相关的计算问题16三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3)一般地，若俯视图中出现圆，则该几何体可能是球或旋转体；若俯视图是多边形，则该几何体一般是多面体；若正视图和侧视图中出现三角形，则该几何体
15、可能为锥体17两直线的位置关系的应用(1)讨论两条直线的位置关系应注意斜率不存在或斜率为0的情况，当两条直线中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，它们也垂直(2)已知直线l：AxByC0，则与直线l平行的直线方程可设为AxBym0(mC)；与直线l垂直的直线方程可设为BxAyn0.18点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)及圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)，(1)点M在圆C外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2；(2)点M在圆C内|CM|r(x0a)2(y0b)2r2；(3)点M在圆C上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2.19直线与圆的位置关系直线l：AxByC0和圆C：(
16、xa)2(yb)2r2(r0)有相交、相离、相切可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：0相交；0相离；0相切；(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切20圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则(1)当|O1O2|r1r2时，两圆外离；(2)当|O1O2|r1r2时，两圆外切；(3)当|r1r2|O1O2|r1r2时，两圆相交；(4)当|O1O2|r1r2|时，两圆内切；(5)当0|O1O2|r1r2|时，两圆内含21圆锥曲线的对称问题曲线F(
17、x，y)0关于原点O成中心对称的曲线是F(x，y)0；曲线F(x，y)0关于x轴对称的曲线是F(x，y)0；曲线F(x，y)0关于y轴对称的曲线是F(x，y)0；曲线F(x，y)0关于直线yx对称的曲线是F(y，x)0；曲线F(x，y)0关于直线yx对称的曲线是F(y，x)0.22有关事件关系的重要结论(1)事件B包含事件A：事件A发生，则事件B一定发生，记作AB.(2)事件A与事件B相等：若AB，BA，则事件A与B相等，记作AB.(3)并(和)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或事件B发生，记作AB(或AB)(4)交(积)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且事件B发生，记作AB(或AB)
18、(5)事件A与事件B互斥：若AB为不可能事件(AB)，则事件A与事件B互斥(6)对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，则A与B互为对立事件23概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式：P(A)；(2)互斥事件的概率计算公式：P(AB)P(A)P(B)；(3)对立事件的概率计算公式：P()1P(A)；(4)几何概型的概率计算公式：P(A).24复数的运算(1)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3C，有：z1z2z2z1；(z1z2)z3z1(z2z3)；z1(z2z3)z1z2z1z3.(2)两个共轭复数z，的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的
19、模的平方，即z|z|2|2.25复数的几个常见结论(1)(1i)22i；(2)i，i；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30(nZ)；(4)i，且01，2，31,120.三、考前必懂的22个解题方法1解决集合问题要“四看”(1)看代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解题时需分清是点集、数集还是其他集合(2)看元素组成：集合是由元素组成的，从研究集合的元素入手是解集合问题的常用方法(3)看能否化简：有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系，可使问题变得简捷(4)看能否数形结合：常用的数形结合的形式有数轴、坐标系和Venn图2充分条件与必要条
20、件的判断方法(1)定义法：正、反方向推理，若pq，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若pq，且q/ p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)(2)集合法：利用集合间的包含关系例如，若AB，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若AB，则A是B的充要条件(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题3利用导数研究函数单调性的步骤第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f(x)；第三步：解方程f(x)0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定f(x)
21、在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性4求函数yf(x)在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数f(x)；第二步：求方程f(x)0的根x0；第三步：检查f(x)在xx0左右的符号：左正右负f(x)在xx0处取极大值；左负右正f(x)在xx0处取极小值5求函数yf(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数yf(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将yf(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值6求解恒成立问题的主要方法(1)分离参数法：当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其他变量完全分离开来，且分离后不等式
22、另一边的函数(或代数式)的最值可求出时，应用分离参数法(2)最值法：当不等式一边的函数(或代数式)的最值能够较容易地求出时，可直接求出这个最值(最值中可能需用参数表示)，然后建立关于参数的不等式求解(3)数形结合法：如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围(4)更换主元法：在问题所涉及的几个变量中，选择一个最有利于问题解决的变量作为主元进行求解7判断函数f(x)的奇偶性的方法(1)若yAsin(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则k(kZ)(2)若yAcos(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则k(kZ)(3)若
23、ytan(x)为奇函数，则有(kZ)8确定函数yAsin(x)B(A0，0)解析式的方法A，B，求时，常根据“五点法”中的五个点求解，可以根据图象的升降找准第一个零点的位置，把第一个零点作为突破口9三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2；()；可视为的倍角；可视为的半角等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦(5)公式的变形应用，如sin cos tan ，sin2，cos2，tan tan tan()(1tan ta
24、n )，1sin 2等(6)化简三角函数式：asin bcos sin().10数列求和的常用方法(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式；常用公式：123nn(n1)；122232n2n(n1)(2n1)；135(2n1)n2.(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的等比数列的和”
25、求解(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用的裂项形式有：；anSnSn1(n2)11数列的通项的求法(1)公式法：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式(2)已知Sn(即a1a2anSn)求an，用作差法：an(3)已知a1a2anf(n)，求an，用作商法：an(4)若an1anf(n)，求an，用累加法：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1f(n1)f(n2)f(1)a1(n2)(5)若f(n)，求an，用累乘法：ana1f(n1)f(n2)f(1)a1(n2)(6)ankan1b，ankan1bn(k，b
26、为常数)的递推数列都可以用待定系数法，先将问题转化为公比为k的等比数列后，再求an.(7)形如an的递推数列可以用倒数法求通项12已知定值求极值的常考形式及应试方法(1)已知x0，y0，若积xy是定值p，则当xy时，和xy有最小值2.(2)已知x0，y0，若和xy是定值s，则当xy时，积xy有最大值s2.(3)已知a，b，x，y0，若axby1，则有(axby)abab2()2.13求解线性规划问题(1)二元一次不等式表示的平面区域：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，l：AxByC0，若Ax1By1C与Ax2By2C同号，则P，Q在直线l的同侧；异号则在直线l的异侧(2)求解线性规划问题
27、的步骤：根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解(3)可行域的确定：“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域(4)目标函数的几何意义：zaxby的几何意义是直线axbyz0在x轴上的截距的a倍，是直线axbyz0在y轴上的截距的b倍；z表示的是可行域内的点P(x，y)与点Q(a，b)连线的斜率；z(xa)2(yb)2表示的是可行域内的点P(x，y)与点Q(a，b)的距离的平方(5)线性目标函数在线性可行域内的最优解(非整点解)一般在可行域的边界或顶点处取得14
28、证明位置关系的方法(1)线面平行：a，a，a.(2)线线平行：ab，ab，ab，bc.(3)面面平行：，.(4)线线垂直：ab.(5)线面垂直：l，a，a，b.(6)面面垂直：，.15空间位置关系的转化16直线与圆锥曲线的位置关系可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程为f(x，y)0.由消元，如消去y后得ax2bxc0.(1)若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)(2)若a0，设b24ac.0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；0时，
29、直线和圆锥曲线相切于一点；0时，直线和圆锥曲线没有公共点17直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|或|P1P2| .18用样本估计总体(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和19方差与标准差的计算标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s2(x1)2(x2)2(xn)2(2)简化计算公式s2(xxx)n2，或写成s2(xxx)2，即方差等于原
30、数据平方和的平均数减去平均数的平方(3)简化计算公式s2(xxx)2当一组数据中的数据较大时，可依照简化平均数的计算方法，将每个数同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x1x1a，x2x2a，xnxna，即得上述公式20复数的基本概念与运算问题的解题思路(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是确定复数的实部和虚部，然后再根据实部、虚部所满足的条件，列方程(组)求解(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式zabi(a，bR)，代入条件，用待定系数法解决21用程序框图描述算法应注意的问题(1)读懂程序框图，弄清程序框图的基本结构(2)含有循环结构的程序，要执行完每一次循环，直至循环结束22应用合情推理应注意的问题(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质
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