1、高考资源网（） 您身边的高考专家62.2间接证明：反证法1.了解反证法是间接证明的一种基本方法2.了解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题1间接证明不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的2反证法假设原命题的否定成立，从假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结果，说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，这种证明方法称为反证法3反证法的一般步骤(1)反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾与已知条件，已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
2、(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾()答案：(1)(2)(3)2应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论ABC D答案：C3命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是()Aab BabCab Dab答案：B用反证法证明否定性命题已知a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2
3、b2c2d2abcd1.【证明】假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立所以a2b2c2d2abcd1.(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法 (2)用反证法证明数学命题的步骤已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列证明：假设a，b，c
4、构成等差数列，则有2bac，即4b2a2c22ac，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4a2c2且a，b，c互不相等，即b2ac，因此4aca2c22ac，所以(ac)20，从而acb，这与a，b，c互不相等矛盾故a，b，c不成等差数列用反证法证明唯一性命题若函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点【证明】由于f(x)在a，b上的图象连续不断，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，x21且xn1，证明对任
5、意正整数n都有xnxn1”，当此题用反证法否定结论时应是()A对任意正整数n有xnxn1B存在正整数n使xnxn1C存在正整数n使xnxn1D存在正整数n使xnxn1且xnxn1解析：选B.“对任意正整数n都有xnxn1”的否定为“存在正整数n使xnxn1”2“至多有两个解”的否定应是()A有一个解B有两个解C至少有三个解 D至少有两个解解析：选C.“至多有两个”包括“0个，1个，2个”，其否定应为“至少有三个”故选C.3有下列叙述：“ab”的反设是“ay或xy或x0，则方程x2sin x的根的情况是()A有实根B无实根C恰有一实根 D无法确定解析：选B.x0时，x2，而2sin x2，但此二
6、式中“”不可能同时取得，所以x2sin x无实根5设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则abc6，而abcxyz6，显然，矛盾，所以C正确6在ABC中，若ABAC，P是ABC内的一点，APBAPC，求证：BAPCAP，用反证法证明时的假设为_解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAPCAP的对立面是BAPCAP或BAPCAP.答案：BAPCAP或BAPCAP7用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为
7、180相矛盾，AB90不成立所以一个三角形中不能有两个直角假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的排列为_解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的答案：8用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为_解析：“a、b全为0”即是“a0且b0”，因此它的反设为“a0或b0”答案：a，b不全为09如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点求证：AC与平面SOB不垂直证明：如图所示，连接AB，假设AC平面SOB.因为直线SO在平面SOB内，所以ACSO.因为SO底面圆O，所以S
8、OAB，所以SO平面SAB，所以平面SAB底面圆O.这显然矛盾，所以假设不成立，故AC与平面SOB不垂直10若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围解：设三个方程均无实数根，则有解得即a1，所以当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根B能力提升11设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)解析：若a，b，则ab1，但a1，b1，故不能推出若ab1，则ab2，故不能推出若a2，b1，则a2b22，故不能推出对于，即ab2，则a，b中至少有
9、一个大于1.反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：12若a、b、c、d都是有理数，、 都是无理数，且ab，则a与b，c与d之间的数量关系为_，_解析：假设ab，令abm(m是不等于零的有理数)，于是bmb，所以m，两边平方整理得.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此ab，从而cd.答案：abcd13已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点若f(c)0，且0xc时f(x)0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明：c.证明：(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，所以f(x)0有两
10、个不等实根x1，x2.因为f(c)0，所以x1c是f(x)0的一个根，又因为x1x2.所以x2，所以是f(x)0的另一个根，即是函数f(x)的一个零点(2)由第一问知c，故假设c，易知0，由题知当0xc时，f(x)0，所以f0与f0矛盾，所以c.14(选做题)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解：(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，综上所述，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，因为a10，所以2qkqk1qk1.因为q0，所以q22q10，所以q1，这与已知矛盾所以假设不成立，故数列an1不是等比数列高考资源网版权所有，侵权必究！