1、54复数的几何表示1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系2掌握实轴、虚轴、复数的模、共轭复数等概念3掌握用向量的模来表示复数的模的方法1复数的几何表示(1)复平面的定义建立了直角坐标系表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数与点、向量间的对应2复数的模在复平面上和zabi对应的向量的模称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作|z|.即|z|abi|(a，bR)3共轭复数对于任意复数zabi(a，bR)，如果保持它的实部a不变，将虚部b变成它的相反数b，得到的复数abi称为原来的复
2、数z的共轭复数，记作z，即abiabi，反过来也有abiabi，因此zz.1判断(对的打“”，错的打“”)(1)两个共轭复数的和与积是实数()(2)两个共轭复数在复平面上的对应点关于实轴对称()答案：(1)(2)2已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选C.zz2z1(12i)(2i)13i.故z对应的点为(1，3)，位于第三象限3若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x_，y_答案：11复数加减法的几何意义已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，32i，24i.(1)求表示的复数；(2)求表示的复数【解】
3、(1)因为，所以表示的复数为(32i)，即32i.(2)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.1.若本例条件不变，试求点B所对应的复数解：因为，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.所以点B所对应的复数为16i.2若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数解：由题意知，点M为OB的中点，则，由互动探究1中点B坐标为(1，6)得点M坐标为，所以点M对应的复数为3i.复数加减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则 1.在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为
4、坐标原点，则|()A.B2C. D4解析：选B.因为，所以对应的复数为(13i)(1i)2i，故|2.2.复数z112i，z22i，z312i，如图，它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点所对应的复数解：如题图，设正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，则对应的复数是(xyi)(12i)(x1)(y2)i，对应的复数是(12i)(2i)13i.因为，即(x1)(y2)i13i，所以解得故点D对应的复数为2i.共轭复数(1)已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2()A54iB54iC34i D34i(2)把复数
5、z的共轭复数记作z，已知(12i)z43i，求z.【解】(1)选D.因为ai与2bi互为共轭复数，所以a2，b1，所以(abi)2(2i)234i.(2)设zabi(a，bR)，则zabi，由已知得：(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知，得a2，b1，所以z2i.若把本例(2)条件改为(12i)z43i，求.解：设zxyi(x，yR)，则(12i)(xyi)43i，得解得所以z2i.所以i.共轭复数性质的巧用(1)zz|z|2|z|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即zRzz，利用此性质可以证明一个复数是实数；(3)若z0且zz0，则z为纯虚
6、数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数 1.若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1iB1iC1i D1i解析：选A.由题意zi(1i)1i，所以z1i，故选A.2已知zC，z为z的共轭复数，若zz3iz13i，求z.解：设zabi(a，bR)，则zabi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.复数的模(1)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1B.C. D2(2)设zC，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？|z|；|z|3.【解】(1)选B.因为xxi1yi，所以xy1，所以|xyi|
7、1i|.(2)设zxyi(x，yR)，|z|，所以x2y22，所以点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆|z|3，所以x2y29.所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小(2)从几何意义上理解，复数的模表示点Z到原点的距离，类比向量的模，可进一步引申：|zz1|表示点Z与点Z1之间的距离如|zi|1表示点Z与(0，1)之间的距离为1，所以点Z的轨迹是以(0，1)为圆心，以1为半径的圆 已知z153i，z254i，下列选项中正确的是()Az1z2 Bz1|z2| D|z1
8、|z2|解析：选D.|z1|53i|，|z2|54i|.因为，所以|z1|z2|.1复数zabi(a，bR)点Z(a，b)，点Z(a，b)或向量是复数z的几何表示，|z|.2由向量(a，b)的模|，联想得出复数zabi的模|z|，即复数z的模表示复数z对应的点Z到坐标原点的距离，且复数0的模为0，实数a的模为|a|，即a的绝对值3对于共轭复数：(1)实数a的共轭复数仍是a本身(2)共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应注意它的几何特征：关于实轴对称代数特征：虚部互为相反数(3)zz|z|2|z|2，要注意灵活地运用这个结论，有时可以简化计算1复数zi2对应点在复平面()A第一象限内
9、B实轴上C虚轴上 D第四象限内解析：选B.因为zi21R，所以z对应的点在实轴上，故选B.2若z，则复数z()A2i B2iC2i D2i解析：选D.z2i，所以z2i.3在复平面内，复数对应的点的坐标为()A(1，3) B(3，1)C(1，3) D(3，1)解析：选A.因为i(3i)13i，所以复数13i对应复平面内的点为(1，3)，故选A.4若复数z12i(i为虚数单位)，则zzz_解析：因为z12i，所以zz|z|25.所以zzz62i.答案：62i A基础达标1若复数z2i，其中i是虚数单位，则复数z的模为()A.B.C. D2解析：选B.由题意，得z2i2i1i，复数z的模|z|.2
10、复平面内表示复数zi(2i)的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C.zi(2i)2ii212i，故复平面内表示复数zi(2i)的点位于第三象限，故选C.3若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AE BFCG DH解析：选D.依题意得z3i，2i，该复数对应的点的坐标是(2，1)4设复数z满足i，则|z|()A1 B.C. D2解析：选A.由i，得zi，所以|z|i|1，故选A.5若zz6，zz10，则z()A13i B3iC3i D3i解析：选B.设zabi(a，bR)，则zabi，所以解得a3，b1，则z3i.6已知|z|4，且z2i是实
11、数，则复数z_解析：因为z2i是实数，可设za2i(aR)，由|z|4得a2416，所以a212，所以a2，所以z22i.答案：22i7在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为_解析：复数z在复平面上对应的点为(m3，2)，所以m32，即m230.解得m9.答案：98复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，则|z|_解析：因为复数za21(a1)i是纯虚数，所以解得a1，所以z2i.所以|z|2.答案：29已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解：因为z3ai(aR)，所以|z|，由已知得32a242，所以a27，所以a(，)10定义运算adbc，则满足0的复
12、数z所对应的点在第几象限？解：结合adbc可知z(1i)(1i)(12i)0，所以z2i.所以复数z所对应的点在第四象限B能力提升11复数z11icos ，z2sin i，则|z1z2|的最大值为()A32 B.1C32 D.1解析：选D.|z1z2|(1icos )(sin i)|1.12设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z，则z_解析：z1i，所以z1i.答案：1i13已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若zai，且复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围解：(1)z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数为24i.(2)2(4a)i，复数对应向量为(2，4a)，其模为.又复数z所对应向量为(2，4)，其模为2.由复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，208aa220，a28a0，a(a8)0，所以，实数a的取值范围是8a0.14(选做题)设z是虚数，z是实数，且12.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设，求证：为纯虚数解：因为z是虚数，所以可设zxyi(x，yR，且y0)，则z(xyi)xyii.(1)因为是实数，且y0，所以y0，即x2y21.所以|z|1，此时2x.又12，所以12x2.所以x1，即z的实部的取值范围是.(2)证明：.又x2y21，所以i.因为y0，所以为纯虚数