1、第六章 推理与证明 6.1 合情推理与演绎推理 6.1.3 演绎推理6.1.4 合情推理与演绎推理的关系学习目标重点难点1.理解演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种必然性推理.2.掌握演绎推理中通过大前提、小前提推出结论的三段论式推理的基本模式.3.能准确区别合情推理与演绎推理，并能利用它们解决一些实际问题.1.重点：三段论推理的基本模式.2.难点：灵活运用合情推理和演绎推理解决有关数学问题.1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由_到_的推理.2.“_”是演绎推理的主要形式，包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的
2、特殊情况；(3)结论据一般原理，对特殊情况做出的判断.一般特殊三段论3.三段论的基本格式_(M是P)(大前提)_(S是M)(小前提)_(S是P)(结论)4.三段论推理的根据(用集合的观点来理解)若集合M的_都具有性质P，S是M的_，则S中的所有_也都具有性质P.5.演绎推理的结论一定正确演绎推理是一种_推理，因而只要_、_及_正确，那么结论一定是正确的.MP SM SP 所有元素子集元素必然性大前提小前提推理的形式6.合情推理与演绎推理的关系(1)从推理模式看，归纳推理是由_到_的推理.类比推理是由_到_的推理.演绎推理是由_到_的推理.(2)从推理的结论看，合情推理所得的结论_正确，有待证明
3、.演绎推理所得的结论_正确.特殊一般特殊特殊一般特殊不一定一定7.总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，合情推理与演绎推理有差异；从合情推理与演绎推理在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系、相辅相成的._的结论需要_的验证，而_的内容一般是通过_获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.合情推理演绎推理演绎推理合情推理将下列演绎推理写成三段论的格式：(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分.(2)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形底角，则AB.(3)通项公式an2n3表示的数列an为等差数
4、列.三段论解：(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分.(结论)(2)等腰三角形两底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的底角，(小前提)AB.(结论)(3)数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列，(大前提)通项公式an2n3时，若n2，则anan12n32(n1)32(常数)，(小前提)通项公式an2n3表示的数列为等差数列.(结论)【点评】在“三段论”中，“大前提”提供了一般的原理、原则，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原则和特殊情况间的联系.1.把下列演绎推理写成三段论
5、的形式：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100，所以在一个标准大气压下把水加热到100 时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，ytan 是三角函数，因此ytan 是周期函数.解：(1)在一个标准大气压下水的沸点是100.(大前提)在一个标准大气压下水加热到100.(小前提)水会沸腾.(结论)(2)一切奇数都不能被2整除.(大前提)21001是奇数.(小前提)21001不能被2整除.(结论)(3)三角函数都是周期函数.(大前提)ytan 是三角函数.(小前提)ytan 是周期函数.(结论)如 图 所 示，
6、在 锐 角 三 角 形 ABC中，ADBC，BEAC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到D，E两点的距离相等.演绎推理证明：因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前提)在ABD中，ADBC，即ADB90(小前提)所以ABD是直角三角形.(结论)同理，AEB也是直角三角形.又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，(小前提)所以DM12AB(结论).同理，EM12AB.所以DMEM.【点评】三段论推理所遵循的规则为“若ab，bc，则ac”的传递性.若 0a1b，求证：bb2 1a1.思路点拨由已知题设，求出一个中间变量 u；
7、只要 1a1u，而 ubb2 即可.证明：1a1 11b1 bb1，又b20，11b2.又1b0，11b1b.b1bbb2.由，可得 11abb2，即 bb2 1a1.【点评】本题用到的仍为演绎推理，其中的原则是“若ab，bc，则ac”，这种推理规则又称为关系推理.若不等式ax22ax2a0的解集为空集，求实数a的取值范围.解：当a0时，原不等式为20，解集为空集，a0符合条件.当a0时，不等式ax22ax2a0的解集为空集，二次函数yax22ax2a的图象开口向上且与x轴最多有一个交点.则a0且(2a)24a(2a)0，解得0a1.综上可知，实数a的取值范围是a|0a1.【点评】“若pq，p
8、为真，则q为真”，这种推理又称为假言推理.已知a，b，c是实数，函数f(x)ax2bxc，g(x)axb，当1x1时，|f(x)|1.(1)求证：|c|1；(2)求证：当1x1时，|g(x)|2；(3)设a0，当1x1时，函数g(x)的最大值为2，求函数f(x)的表达式.(1)证明：由已知，当1x1时，有|f(x)|1.当x0时，满足1x1的条件，|f(0)|1.而f(0)c，|c|1.合情推理与演绎推理的综合应用(2)证明：当a0时，g(x)在1,1上是增函数，则g(1)g(x)g(1).又g(1)abf(1)c，g(1)abf(1)c，代入上式，得f(1)cg(x)f(1)c.由绝对值不等
9、式mn|m|n|，可得f(1)c|f(1)|c|，及f(1)c|f(1)|c|，再由条件|f(1)|1，|f(1)|1，|c|1及不等式的有关性质，可得f(1)c2，f(1)c2.由及不等式的性质，得2g(x)2，即|g(x)|2.当a0时，可用类似的方法证得|g(x)|2.当a0时，g(x)b，f(x)bxc，|g(x)|f(1)c|f(1)|c|2.综上，|g(x)|2.(3)解：a0，g(x)在1,1上是增函数，其最大值在右端点处取得，即g(1)2.又g(1)f(1)c，cf(1)2.由(1)，得c1.由已知，得f(1)1.1c121，c1.又当1x1时，f(x)1，而c1，f(0)c.
10、对任意1x1，都有f(x)f(0)，即f(x)的对称轴为x0.由此得 b2a0.解得b0，又g(1)ab2，a2.f(x)2x21.【点评】本题是一道将一次函数、二次函数的有关性质与不等式的证明相综合的代数推理证明题，每一问都需要用到演绎推理，如第(1)问采用了典型的演绎推理方法.大前提：当1x1时，有|f(x)|1，小前提：101，结论：|f(0)|1.这并不是什么特殊值法，而是一段条理十分清晰、透彻的三段论的证明，能体现出本题对演绎推理的证明思路及书写格式的考查要求.第(2)问也有关键的几步.对函数的单调性进行演绎推理，得g(1)g(x)g(1).由函数值及代数式的恒等变形，得g(1)f(
11、1)c，g(1)f(1)c.由不等式及绝对值不等式的性质进行演绎推理，得f(1)c2，f(1)c2.再由不等式的传递性、绝对值不等式的性质进行演绎推理，得2g(x)2.最后，得|g(x)|2.这四大关键步骤缺一不可，且步步相连、环环相扣，形成了漫长而连贯的思维通道，只要在通道的任何一处出现障碍，都将前功尽弃.因此，需要在思维的过程中进行不断的自我批判，不断地调整和完善，才能胜利抵达彼岸，可以清楚地体现出本题对思维批判性和深刻性的考查要求.本课内容与上一课合情推理相对应，是一种必然性推理，也是后续的证明的理论依据，在学习过程中要认真体会两种推理的联系与区别.重点解决：(1)演绎推理所包含的假言推理、三段论推理以及关系推理三种形式，并能合理使用；(2)能灵活运用合情推理和演绎推理解决有关数学问题.点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十八)谢谢观看！