1、第五节 椭圆教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.基础梳理1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的，两焦点间的距离叫作椭圆的(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.
2、当2a|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；当2a0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2 的中点分别为 M，N.O 为坐标原点，四边形 OMPN的周长为 2 3，则PF1F2 的周长是()A.2(2 3)B.22 3C.2 3D.42 3(2)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆B.椭圆C双曲线D.抛物线(3)(2018湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|O
3、F|，且|PF|6，则椭圆C的方程为()A.x236y2161 B.x240y2151C.x249y2241 D.x245y2201解析(1)因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OMPF2，且|OM|12|PF2|，同理，ONPF1，且|ON|12|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形由题意知，|OM|ON|3，故|PF1|PF2|2 3，即2a2 3，a 3，由a2b2c2知c2a2b22，c2，所以|F1F2|2c22，故PF1F2的周长为2a2c23 2 2，故选A.(2)点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|M
4、N|，由椭圆定义知，点P的轨迹是椭圆(3)由题意可得c5，设右焦点为F，连接PF，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，所以PFFOFPFPOOPF，所以PFOOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|FF|2|PF|2102628.由椭圆的定义，得|PF|PF|2a6814，从而a7，a249，于是b2a2c2495224，所以椭圆C的方程为x249y2241，故选C.答案(1)A(2)B(3)C名师点拨 1.焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|，通过整体代
5、入可求其面积等2求椭圆标准方程的方法：定义法和待定系数法(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时，有两种方法可以解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设椭圆的一般方程mx2ny21(m0，n0，且mn)跟踪训练(1)已知圆：C1(x4)2y2169，圆C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心
6、M的轨迹方程为()A.x264y2481 B.x248y2641C.x248y2641 D.x264y2481答案：D(2)椭圆 x29 y22 1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则F1PF2的大小为_答案：120(3)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为_答案：x24y231或x23y241考点二|椭圆的几何性质与标准方程(思维突破)【例2】(1)(2016高考全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34(2)如图，焦点在x轴上
7、的椭圆x24 y2b21的离心率e12，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点则PFPA的最大值为_解析(1)如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即bcab2，所以eca12.故选B.(2)设点P坐标为(x0，y0)由题意知a2，eca12，c1，b2a2c23，故椭圆方程为x24y231，2x02，3y0 3.F(1,0)，A(2,0)，PF(1x0，y0)，PA(2x0，y0)，PFPAx20 x02y2014x20 x0114(x02)2.即当x02时，PFPA取得最大值4.答案(1)B(2)4名师点拨 解题的关键是借助图形建立a，b，c的关系
8、式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式eca求解(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e1b2a2求解(3)由椭圆的定义求离心率，eca2c2a，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来(4)构造a，c的齐次式离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e，一般步骤如下：建立方程：根据已知条件得到齐次方程Aa2BacCc20；化简：两边同时除以a2，化简齐次方程，得到关于e的一元二次方程ABeCe20；求解：解一元二次方程，得e的值；验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围e(0,
9、1)确定离心率e的值若得到齐次不等式，可以类似求出离心率e的取值范围跟踪训练(1)在本例(1)中，条件改为直线l过椭圆的一个焦点，若椭圆中心到l的距离的最大值为其短轴的14，求椭圆的离心率解析：要使O到l的距离有最大值，则l为xc或xc，cb2，b24c2，a25c2，e2c2a215，e 55.(2)在本例(2)中，条件变为椭圆上一点为P，焦点分别为F1，F2，当F1PF2最大时为120，求椭圆的离心率解析：如图，当P在短轴端点时，F1PF2最大，此时OF2P30，ecacos 30 32.考点三|直线与椭圆的位置关系(方法突破)【例3】(1)已知P(1,1)为椭圆 x24 y22 1内一定
10、点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_(2)(2016高考全国卷)已知A是椭圆E：x24y23 1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.当|AM|AN|时，求AMN的面积；当2|AM|AN|时，证明：3k2.解析(1)易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)由y1kx1，x24y221，消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0.又x1x22，24(1)21k kk2，解得 k12.故此弦所在的直线方程为y112(x1)，即 x2y30.(2)设M(x1，y1
11、)，则由题意知y10.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入x24y231得7y212y0.解得y0或y127，所以y1127.因此AMN的面积SAMN212127 127 14449.设直线 AM 的方程为 yk(x2)(k0)，代入x24 y231 得(34k2)x216k2x16k2120.由 x1(2)16k21234k2 得 x1222(34)34kk，故|AM|x12|1k212 1k234k2.由题设直线 AN 的方程为 y1k(x2)，故同理可得|AN|12k 1k23k24.由2|AM|AN|得234k2k3k2
12、4，即4k36k23k80.设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)单调递增又f(3)15 3260，f(2)60，因此f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，所以 3k2.答案(1)x2y30名师点拨 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单跟踪训练(2018成都诊断)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求
13、椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程解析：(1)由题可知c 3，ab2，a2b2c2，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为x24y21.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立方程xmy1，x24y24，消去x可得(4m2)y22my30.16m2480，y1y2 2m4m2，y1y2 34m2.因为点B在以MN为直径的圆上，所以BM BN0.因为BM BN(my11，y11)(my21，y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)20，所以(m21)34m2(m1)2m4m220，整理得3m22m50，解得m1或m53.所以直线l的方程为xy10或3x5y30.