1、专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)一、选择题1.设全集为R,集合Ax|x290,Bx|1x5,则A(RB)()A.(3,0)B.(3,1)C.(3,1 D.(3,3)2.设集合Py|yx21,xR,Qy|y2x,xR,则()A.PQ B.QPC.RPQ D.QRP3.(2014广州模拟)命题“若x21,则1x1”的逆否命题是()A.若x21,则x1或x1B.若1x1,则x21或x1D.若x1或x1,则x214.(2014中山模拟)“直线l的方程为xy50”是“直线l平分圆(x2)2(y3)21的周长”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充
2、分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.(2014安徽六校联考)已知命题p：“a1是x0,x2的充分必要条件”；命题q：“存在x0R,使得xx020”,下列命题正确的是()A.命题“pq”是真命题B.命题“(綈p)q”是真命题C.命题“p(綈q)”是真命题D.命题“(綈p)(綈q)”是真命题6.(2014安溪模拟)下列命题中,真命题是()A.x0R,ex00B.a1,b1是ab1的充要条件C.x|x240x|x1x2”的否定是真命题7.已知集合Ax|a2xa2,Bx|x2或x4,则AB的充要条件是()A.0a2 B.2a2C.0a2 D.0a1”是“|x|0”的充分不必要条件C.若pq
3、为假命题,则p、q均为假命题D.命题p：“x0R,使得x2x033”的否定是_.12.(2014广州模拟)给出下列四个结论：若命题p：x0R,xx010,则方程x2xm0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2xm0没有实数根,则m0”；若a0,b0,ab4,则的最小值为1.其中正确结论的序号为_.13.(2014临沂模拟)设命题p：0,命题q：x2(2a1)xa(a1)0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是_.14.(2014福建高考)若集合a,b,c,d1,2,3,4,且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是_.15
4、.设集合Aa|f(x)8x33ax26x是(0,)上的增函数,B,则R(AB)_.16.(2014江西七校联考)记实数x1,x2,xn中的最大数为maxx1,x2,xn,最小数为minx1,x2,xn.已知ABC的三边边长为a、b、c(abc),定义它的倾斜度为tmaxmin,则“t1”是“ABC为等边三角形”的_.(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)答案1.解析：选C因为Ax|3x5,所以A(RB)x|3x5x|30,所以RPy|y1,所以RPQ,故选C.3.解析：选D由逆否命题的变换可知,命题“若x21,则1x0,a0时,x22,由22可得：a1,所以命题p
5、为假命题；因为当x2时,x2x2222240,所以命题q为真命题,所以(綈p)q为真命题,故选B.6.解析：选D因为ex的值恒大于零.所以A选项不正确.由a1,b1可得ab1,所以充分性成立.但是ab1不能推出a1,b1.所以必要性不成立,即B选项不正确.由x|x240可得x2,又有x|x10可得x0x|x10x|xx2”的否定是x0R,使得2x0x.当x3时成立.故D正确.7.解析：选A由题意解得0a2,所以AB的充要条件是0a2,故选A.8.解析：选CA显然正确；对B,“x1”,则必有“|x|0”,故是充分条件.反之,“|x|0”,则x可取负数,这时“x1”不成立,故不是必要条件,所以B正
6、确；对C,若pq为假命题,则有可能是p、q中一真一假,故C不正确；对D,因为命题：“x0A,p”的否定为“xA,綈p”,所以命题p：“x0R,使得x2x031.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为28,因此由集合A中所有整数元素之和为28得7a3”的否定是“对任意的xR,都有|x1|x1|3”.答案：对任意的xR,都有|x1|x1|312.解析：由特称命题的否定知正确；(x3)(x4)0x3或x4,x3(x3)(x4)0,所以“(x3)(x4)0”是“x30”的必要而不充分条件,所以错误；由逆否命题的定义知正确；a0,b0, ab4,21,正确.答案：13.解析：命题p：x1,命题
7、q：axa1,若p是q的充分不必要条件,则a11且a,即0a.答案：14.解析：因为正确,也正确,所以只有正确是不可能的；若只有正确,都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4)；若只有正确,都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有正确,都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6.答案：615.解析：根据题意,f(x)24x26ax6,要使函数f(x)在(0,)上是增函数,则f(x)24x26ax60在(0,)上恒成立,即a4x.而4x2 4,所以a4,即集合Aa|a
8、4.集合By|1y5,所以ABx|1x4,故R(AB)(,1)(4,).答案：(,1)(4,)16.解析：若ABC为等边三角形,即abc,则max1min,则t1；若ABC为等腰三角形,如a2,b2,c3时,则max；min,此时t1仍成立,但ABC不为等边三角形,所以“t1”是“ABC为等边三角形”的必要而不充分条件.答案：必要不充分条件第二讲函数的图象与性质(选择、填空题型)一、选择题1.函数y的定义域是()A.x|0x2B.x|0x1或1x2C.x|0x2D.x|0x1或10,a1)的图象如图,则下列结论成立的是() A.a1,c1 B.a1,0c1C.0a1 D.0a1,0c0的x的取
9、值范围是()A.(,2) B.(2,)C.(,2)(2,) D.(2,2)8.定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x).当3x1时,f(x)(x2)2；当1x3时,f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 014)()A.335B.337 C.1 678D.2 0129.已知定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR,都有f(x4)f(x)；对于任意的x1,x2R,且0x1x22,都有f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y轴对称,则下列结论中正确的是()A.f(4.5)f(7)f(6.5) B.f(7)f(4.5)f(6.5)C.f(7)f(6.5)f(4
10、.5) D.f(4.5)f(6.5)f(7)10.(2014绵阳模拟)f(x)是定义在D上的函数,若存在区间m,nD,使函数f(x)在m,n上的值域恰为km,kn,则称函数f(x)是k型函数.给出下列说法：f(x)3不可能是k型函数；若函数y(a0)是1型函数,则nm的最大值为；若函数yx2x是3型函数,则m4,n0；设函数f(x)x32x2x(x0)是k型函数,则k的最小值为.其中正确的说法有()A. B. C. D.二、填空题11.偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称,f(3)3,则f(1)_.12.定义在R上的偶函数f(x)在0,)上是增函数,则方程f(x)f(2x3)的所有实数根的和
11、为_.13.(2014江西七校联考)设函数f(x)2 012sin x的最大值为M,最小值为N,那么MN_.14.函数f(x)若关于x的方程2f2(x)(2a3)f(x)3a0有五个不同的实数解,则a的取值范围是_.15.(2014温州模拟)设x,yR,且满足则xy_.16.(2014安徽六校联考)设函数f(x)的定义域为D,如果xD,存在唯一的yD,使C(C为常数)成立,则称函数f(x)在D上的“均值”为C.已知四个函数：yx3(xR)；yx(xR)；yln x(x(0,)；y2sin x1(xR).上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是_.(填入所有满足条件函数的序号)答案1
12、.解析：选D由题意知,要使函数有意义只需解得0x1或1x2,所以函数y的定义域为x|0x1或10,则有x2；同理,在(,0上有f(2)f(2)0,若f(x)0,则有x2,综上,x的取值范围是x2.8.解析：选B由f(x6)f(x)可知,函数f(x)的周期为6,所以f(3)f(3)1,f(2)f(4)0,f(1)f(5)1,f(0)f(6)0,f(1)1,f(2)2,所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101,所以f(1)f(2)f(2 014)f(1)f(2)f(3)f(4)33511210335337,故选B.9.解析：选A由f(x4)f(x)可知函数f(x)是周期为4的周期函
13、数,函数yf(x2)的图象关于y轴对称,则函数yf(x)关于x2对称.当0x1x22时,有f(x1)f(x2),即函数f(x)在0,2上单调递增,故当2x1f(x2),即函数f(x)在2,4上单调递减,所以函数的大致图象如图所示.又f(4.5)f(0.5),f(6.5)f(2.5),f(7)f(3),根据函数f(x)在(0,4)上的单调性,有f(4.5)f(7)0,当存在直线ykx(k0)与曲线yf(x)至少有两个交点时,函数f(x)就是k型函数.对,作出f(x)3的图象即可知,f(x)3是k型函数；对,若函数y(a0)是1型函数,则x有两个不同的解,即a2x2(a2a)x10有两个不同的解m
14、、n.由0得a1,所以nm(a3时取等号),所以nm的最大值为；对于,若函数yx2x是3型函数,则x2x3xx14,x20,即m4,n0；对,法一：函数f(x)x32x2x(x0)是k型函数,则x32x2xkxx0或kx22x1,即kx22x1至少有一个小于0的根.作出yx22x1的图象,结合图象可知k的取值范围为k0.法二：作出f(x)x32x2x的图象,由图可知,k0.11.解析：因为f(x)的图象关于直线x2对称,所以f(x)f(4x),f(x)f(4x),又f(x)f(x),所以f(x)f(4x),则f(1)f(41)f(3)3.答案：312.解析：由于函数f(x)为偶函数,则f(|x
15、|)f(|2x3|),又函数f(x)在0,)上是增函数,则|x|2x3|,整理得x24x30,解得x11,x23,故x1x24.答案：413.解析：函数f(x)2 012sin x2 012sin x2 0112 012sin x,y2 011x在x上为增函数,y在x上为减函数,y在x上为增函数,而ysin x在x上也为增函数,f(x)2 0112 012sin x在x上为增函数,Mf,Nf,MNff4 0224 0224 021,故答案为4 021.答案：4 02114.解析：由2f2(x)(2a3)f(x)3a0得f(x)或f(x)a.由已知画出函数f(x)的大致图象,结合图象不难得知,要
16、使关于x的方程2f2(x)(2a3)f(x)3a0有五个不同的实数解,即要使函数yf(x)的图象与直线y,ya共有五个不同的交点,a的取值范围是.答案：15.解析：令f(x)x32xsin x,则f(x)的图象关于原点对称.由题设得：即f(x2)f(y2),所以(x2)(y2)0,即xy4.答案：416.解析：对于函数yx3,定义域为R,设xR,由1,得y32x3,所以yR,所以函数yx3是定义域上的“均值”为1的函数；对于函数yx,定义域为R,设xR,由1,得：y2x,当x2时,222,不存在实数y的值,使y2,所以该函数不是定义域上均值为1的函数；对于函数yln x,定义域是(0,),设1
17、,得ln y2ln x,则ye2ln xR,所以该函数是定义域上的均值为1的函数；对于函数y2sin x1,定义域为R,设xR,由1,得sin ysin x,因为sin x1,1,所以存在实数y,使得sin ysin x成立,所以函数y2sin x1在其定义域上是均值为1的函数.答案：一、选择题1.(2014天津高考)设 alog2,blog,c2,则()A.abc B.bacC.acb D.cba2.(2014西安模拟)已知函数yf(x)是周期为2的周期函数,且当x1,1时,f(x)2|x|1,则函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是()A.9 B.10 C.11 D.123.(201
18、4湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B. C. D.14.(2014荆门模拟)已知ab1,0xx B.xaxb C.logx alogx b D.loga xlogb x5.(2014温州模拟)对于函数f(x)4xm2x1,若存在实数x0,使得f(x0)f(x0)成立,则实数m的取值范围是()A.m B.m C.m1 D.m16. (2014湖州模拟)如图是函数f(x)x2axb的部分图象,函数g(x)exf(x)的零点所在的区间是(k,k1)(kZ),则k的值为()A.1或0 B.0 C.1或1 D.
19、0或17.(2014四川高考)已知f(x)ln(1x)ln(1x),x(1,1),现有下列命题：f(x)f(x)；f2f(x)；|f(x)|2|x|.其中所有正确命题的序号是()A. B. C. D.8.(2014南安模拟)已知x0是函数f(x)2x的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,),则()A.f(x1)0,f(x2)0 B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)09.已知关于x的方程x有正根,则实数a的取值范围是()A.(0,1) B. C. D.(10,)10.(2014眉山模拟)已知函数f(x)|x3a|,aR在1,1上的最大值为M(a),若函数g(x)M(x
20、)|x2t|有4个零点,则实数t的取值范围为()A. B.(,1) C.(,1) D.(,1)(1,2)二、填空题11.已知函数f(x)(aR),若ff(1)1,则a_.12.设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_.13.(2014宿州模拟)已知等式aln xbln(xb)对x0恒成立,写出所有满足题设的数对(a,b)_.14.(2014江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x0,3)时,f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是_.15.(2014中山模拟)已知函数f(x)有3个零点,则实数a的取值范围是_.16.设
21、函数f(x)axbxcx,其中ca0,cb0.(1)记集合M(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且ab,则(a,b,c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_；(2)若a,b,c是ABC的三条边长,则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号).x(,1),f(x)0；x0R,使ax0,bx0,cx0不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形,则x0(1,2),使f(x0)0.答案1.解析：选C利用中间量比较大小.因为alog2(1,2),blog0,c2(0,1),所以acb.2.解析：选BF(x)f(x)|lg x|的零点个数即函数yf(x)与函数y|lg x|
22、图象交点的个数.3.解析：选D设年平均增长率为x,原生产总值为a,则(1p)(1q)aa(1x)2,解得x1,故选D.4.解析：选Dab1,0x1,01,xb1,0x1,xab1,0x1,logx ab1,0xlogb x,故D成立,故选D.5.解析：选B若存在实数x0,使得f(x0)f(x0),则4x0m2x014x0m2x01,整理得,2m(2x02x0)4x04x0,2m(2x02x0),设t2x02x0(t2),则2mt在2,)上为增函数,当t2时,2m1,得m,所以m,故选B.6.解析：选C由于函数f(x)x2axb经过点(1,0),代入得1ab0,即ab1；并且由f(x)的图象可以
23、知0f(0)1,即有0b1；从而有1ab12；f(x)2xa, 所以g(x)ex2xa,易知g(x)在区间(,ln 2)上单调递减；在区间(ln 2,)上单调递增,而g(ln 2)22ln 2a0,所以g(x)在区间0,1)上单调递增,g(x)f(x)2xg(0)0,即f(x)2x,又f(x)与y2x都为奇函数,所以|f(x)|2|x|成立,故正确,故选A.8.解析：选B方程的根与函数的零点的联系为：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.当x1时,y是增函数；y2x也是增函数.所以f(x)是增函数,因为f(x0)0且x1x0,所以f(x1)0.9.解析：选C
24、令f(x)x,g(x),由方程x有正根,即f(x),g(x)的图象在(0,)上有交点,如图可知01,即整理得即即1lg a0,则a1.10.解析：选C当a0时,M(a)1a；当a0时,M(a)1a；所以g(x)当t0时,分别作出y|x2t|,y1x(x0),y1x(x0)的图象如图所示：当t1时,g(x)有三个零点；由x2t1xx2xt10,0t,所以当1t时,g(x)有四个零点；当t0时,若t1时,有g(x)三个零点；当t1时,g(x)有四个零点.综上,当1t或t1时,g(x)有四个零点,选C.11.解析：因为10,所以ff(1)f(2)a221,解得a.答案：12.解析：当x1时,由ex1
25、2得x1ln 2,x0恒成立,所以ln xabln(xb),所以ln xaln ebln(xb),所以ln(xaeb)ln(xb),所以xaebxb对x0恒成立.只有满足时等式才成立,故填(1,0).答案：(1,0)14.解析：函数yf(x)a在区间3,4上有互不相同的10个零点,即函数yf(x),x3,4与ya的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数yf(x)在3,4上的图象,f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4),观察图象可得0a0且f(x)ax22x1在(2x0)上有2个零点,解得a0,所以x0c1,又01,0,xxx1,即f(x)0,所以正确；由(1)可知正
26、确；由ABC为钝角三角形,所以a2b2c2,所以f(2)c,所以1,所以f(1)0,由零点存在性定理可知正确.答案：(1)x|0b0,则下列不等式中总成立的是()A.abB.abC. D.ba2.(2014全国高考)不等式组的解集为()A.x|2x1 B.x|1x0C.x|0x13.关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1,x2),且x2x115,则a()A. B. C. D.4.(2014绍兴模拟)若关于x的不等式x2ax20在区间1,5上有解,则实数a的取值范围为()A. B.C.(1,) D.(,1)5.若变量x,y满足约束条件 则 2xy的最大值是() A.2 B.4 C.7
27、D.86.不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：(x,y)D,x2y2；p2：(x,y)D,x2y2；p3：(x,y)D,x2y3；p4：(x,y)D,x2y1.其中真命题是()A.p2,p3 B.p1,p4C.p1,p2 D.p1,p37.(2014江西师大附中模拟)已知log(xy4)log(3xy2),若xy恒成立,则的取值范围是()A.(,10 B.(,10)C.10,) D.(10,)8.(2014福建四地六校联考)设zxy,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为()A.3 B.6 C.3 D.69.(2014辽宁高考)已知定义在0,1上的函数f(x)满足：f(0
28、)f(1)0；对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x,y0,1,|f(x)f(y)|k恒成立,则k的最小值为()A. B. C. D.10.(2014新课标全国卷)设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2,则m的取值范围是()A.(,6)(6,)B.(,4)(4,)C.(,2)(2,)D.(,1)(1,)二、填空题11.(2014江苏高考)已知函数f(x)x2mx1,若对于任意xm,m1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是_.12.(2014成都模拟)已知二次函数f(x)ax24xc(xR)的值域为0,),则的最小值为_.13.
29、(2014浙江高考)当实数x,y满足时,1axy4恒成立,则实数a的取值范围是_.14.已知实数 a,b,c满足 abc0,a2b2c21,则a的最大值是_.15.定义区间(a,b),a,b),(a,b,a,b的长度均为dba.用x表示不超过x的最大整数,记xxx,其中xR.设f(x)xx,g(x)x1,若用d表示不等式f(x)1时,f(x)b0,ab0,ab0,ab110,0,ab,选项A正确；对于选项B,取a1,b,则a12,b2,故ab不成立；对于C选项,要使成立,则有b(a1)a(b1),即abbababa,这与已知条件矛盾,选项C错误；对于选项D,若有ba,则有ba,这与选项A矛盾,
30、错误,故选A.2.解析：选C解x(x2)0,得x0；解|x|1,得1x1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集,即x|0x2x2在区间1,5上有解,即不等式ax在区间1,5上有解,令f(x)x,则有af(x)min,而函数f(x)在区间1,5上单调递减,故函数f(x)在x5处取得最小值,即f(x)minf(5)5,a.5.解析：选C由题意作出可行域如图中阴影部分所示,由A(3,1).故2xy的最大值为7. 6.解析：选C画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数zx2y经过可行域内的点A(2,1)时,取得最小值0,故x2y0,因此p1,p2是真命题,选C.7.解析：选C因为对数函数
31、的底数为,且log(xy4)3xy2,解得x0,即y3x2,xy3(3x2)13x1910,而xy恒成立,10.8.解析：选B由题意可得x,y满足的区域如图所示.而目标函数zxy可化为yxz,当目标函数过点A时,z取最大值,由此可得12kk,即k6.当z取到最小值时,目标函数的图象过B点,所以z的最小值是6.故选B.9.解析：选B不妨令0yx1,当0xy时,|f(x)f(y)|xy|；当xy1时,|f(x)f(y)|f(x)f(1)f(y)f(0)|f(x)f(1)|f(y)f(0)|x1|y0|(1x)y(yx).综上,|f(x)f(y)|,所以k.10.解析：选C由正弦型函数的图象可知：f
32、(x)的极值点x0满足f(x0),则k(kZ),从而得x0m(kZ),所以不等式xf(x0)2m2,即为2m233,其中kZ.由题意,存在整数k使得不等式m2123成立.当k1且k0时,必有21,此时不等式显然不能成立,故k1或k0,此时,不等式即为m23,解得m2.11.解析：由题可得f(x)0对于xm,m1恒成立,即解得m0.答案：12.解析：由题意得：164ac0ac4,23.答案：313.解析：由线性规划的可行域(如图),求出三个交点坐标分别为(1,0),(2,1),都代入1axy4,可得1a.答案：14.解析：由abc0得,abc,则a2(bc)2b2c22bcb2c2b2c22(b
33、2c2),又a2b2c21,所以3a22,解得a,故a的最大值为.答案：15.解析：f(x)xxx(xx)xxx2,由f(x)g(x)得xxx2x1,即(x1)x1,不合题意；当x1,2)时,x1,不等式为01,所以不等式(x1)xx21等价于xx1,此时恒成立,所以此时不等式的解为2x3,所以不等式f(x)g(x)解集区间的长度为d1.答案：116.解析：f(x)f(y)f(xy),f()f()f(a)恒成立,f()f(a),设0x11,f0,f(x2)f(x1)0,故函数f(x)在(0,)上单调递减,即a,a对任意的x,y(0,)恒成立,而(当且仅当xy时等号成立),因此a,0ff(1)B
34、.ff(1)fC.f(1)ffD.ff(1)f3.(2014江西七校联考)设函数f(x)xsin xcos x的图象在点(t,f(t)处切线的斜率为k,则函数kg(t)的部分图象为() AB C D4.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)5.设a0,b0,e是自然对数的底数,则下列命题正确的是()A.若ea2aeb3b,则abB
35、.若ea2aeb3b,则abD.若ea2aeb3b,则a0,则函数g(x)f(x)的零点个数为()A.1 B.2 C.0 D.0或210.若函数f(x)(x1)ex,则下列命题正确的是()A.对任意m,都存在xR,使得f(x),都存在xR,使得f(x)mC.对任意m,方程f(x)m总有两个实根二、填空题11.若函数f(a)(2sin x)dx,则f等于_.12.已知曲线yx2aln x(a0)上任意一点处的切线的斜率为k,若k的最小值为4,则此时切点的坐标为_.13.已知函数f(x)x3tx23x,若对任意的a1,2,b(2,3,函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则实数t的取值范围是_.
36、14.(2014孝感模拟)函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立,则a的取值范围为_.15.(2014漳平模拟)对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0),给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数,f(x)是函数f(x)的导数,若方程f(x)0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数yf(x)的“拐点”,某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)x3x23x,请你根据上面探究结果,计算ffff_.16.设函数f(x)(aR,e为自然对数的底数).若曲线ysin x上存在点(x0,y0)使得f
37、(f(y0)y0,则a的取值范围是_.答案1.解析：选A由题意可得,f(x)ex是奇函数,f(0)1a0,a1,f(x)ex,f(x)ex,曲线yf(x)的一条切线的斜率是,ex,解方程可得ex2,xln 2,故选A.2.解析：选B因为函数f(x)sin xx的导数为f(x)cos x10.所以函数f(x)在定义域内单调递减.又因为1f(1)f.故选B.3.解析：选Bf(x)xsin xcos x,f(x)xcos x,kg(t)tcos t,根据ycos t的图象可知g(t)应该为奇函数且当t时g(t)0,故选B.4.解析：选D由图象可知,当x0,所以此时f(x)0,故函数f(x)在(,2)
38、上单调递增.当2x1,y(1x)f(x)0,所以此时f(x)0,故函数f(x)在(2,1)上单调递减.当1x0,所以此时f(x)2时,y(1x)f(x)0,故函数f(x)在(2,)上单调递增.所以函数f(x)有极大值f(2),极小值f(2),选D.5.解析：选Aa0,b0.ea2aeb3beb2bbeb2b.对于函数yex2x(x0),yex20,yex2x在(0,)上单调递增,因而ab成立.6.解析：选C对于,sinxcosxdxsin xdx0,所以是一组正交函数；对于,(x1)(x1)dx(x21)dx0,所以不是一组正交函数；对于,xx2dxx3dx0,所以是一组正交函数.选C.7.解
39、析：选C由题意可知f(x)(x2)0在(1,)上恒成立,即bx(x2)在x(1,)上恒成立,由于(x)x(x2)x22x(x(1,)的值域是(1,),故只要b1即可.8.解析：选C依题意得f(x)3ax22bxc0的解集是2,3,于是有3a0,23,23,b,c18a,函数f(x)在x3处取得极小值,于是有f(3)27a9b3c34115,a81,a2.9.解析：选C因为函数yf(x)在R上是可导函数,当x0时,f(x)0,即是0,令h(x)xf(x),即0.所以可得或所以当函数h(x)在x0时单调递增,所以h(x)h(0)0,即函数当x0时,h(x)0.同理当x0.又因为函数g(x)f(x)
40、可化为g(x),所以当x0时,g(x)0即与x轴没交点.当x0,所以函数g(x)f(x)的零点个数为0.故选C.10.解析：选B因为f(x)(x1)ex(x1)exex(x2)ex,故函数在区间(,2),(2,)上分别为减函数与增函数,故f(x)minf(2),故当m时,总存在x使得f(x)0)的定义域为x|x0,y2x24,则a2,当且仅当x1时“”成立,将x1代入曲线方程得y1,故所求的切点坐标是(1,1).答案：(1,1)13.解析：f(x)x3tx23x,f(x)3x22tx3,由于函数f(x)在(a,b)上单调递减,则有f(x)0在a,b上恒成立,即不等式3x22tx30在a,b上恒
41、成立,即有t在a,b上恒成立,而函数y在1,3上单调递增,由于a1,2,b(2,3,当b3时,函数y取得最大值,即ymax5,所以t5.答案：5,)14.解析：f(x)3ax23,a0时,f(x)0,函数f(x)为R上减函数,而f(1)a20时,x和为增函数；x为减函数；又f(1)a40a4,f(1)a20a2,即2a4,所以必须有函数f(x)的极小值f1102a4,才能满足在区间1,1上f(x)0,即a4.答案：415.解析：由题意可得f(x)x3x23x,所以f(x)x2x3,所以f(x)2x1.令f(x)0可得x,所以函数f(x)的拐点即对称中心为,即如果x1x21,则f(x1)f(x2
42、)2,所以ffff1 006212 013.故填2 013.答案：2 01316.解析：因为y0sin x01,1,而f(x)0,f(f(y0)y0,所以y00,1,设 x,x0,1,所以exxx2a在x0,1上有解,令g(x)exxx2,则g(x)ex12x.设h(x)ex12x,则h(x)ex2.所以当x(0,ln 2)时,h(x)0；当x(ln 2,1)时,h(x)0.所以g(x)g(ln 2)32ln 20,所以g(x)在0,1上单调递增,所以原题中的方程有解必须方程有解.所以g(0)ag(1).答案：1,e第六讲高考中的导数综合应用(解答题型)第1课时利用导数研究函数的单调性、极值与
43、最值问题1.(2014合肥模拟)已知函数f(x)xax(a0,且a1).(1)当a3时,求曲线f(x)在点P(1,f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)存在极大值g(a),求g(a)的最小值.2.已知函数f(x)ln x,g(x)ax22x.(1)若函数yf(x)g(x)在区间上单调递减,求a的取值范围；(2)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P、Q两点,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行.3.(2014成都模拟)已知函数f(x)(x22axa2)ln x,aR.(1)当a0时,求函数f(x)的单
44、调区间；(2)当a1时,令F(x)xln x,证明：F(x)e2,其中e为自然对数的底数；(3)若函数f(x)不存在极值点,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)(x1)ln(x1),g(x)(x22x).(1)若函数h(x)f(ex1)g(ex),x1,1,求函数h(x)的最小值；(2)对任意x2,),都有f(x)g(x)0成立,求实数a的取值范围.答案1.解：(1)当a3时,f(x)x3x,f(x)13xln 3,f(1)13ln 3,又f(1)2,所求切线方程为y2(13ln 3)(x1),即y(13ln 3)x33ln 3.(2)f(x)1axln a,当0a0,ln a0,f(x)
45、在R上为增函数,f(x)无极大值.当a1时,设方程f(x)0的根为t,得at,即tloga ,f(x)在(,t)上为增函数,在(t,)上为减函数,f(x)的极大值为f(t)tat,即g(a).a1,0.设h(x)xln xx,x0,则h(x)ln xx1ln x,令h(x)0,得x1,h(x)在(0,1)上为减函数,在(1,)上为增函数,h(x)的最小值为h(1)1,即g(a)的最小值为1,此时ae.2.解：(1)设h(x)f(x)g(x)ln xax22x,则h(x)ax2.h(x)在区间上单调递减h(x)0在区间上恒成立,即ax20a,x,315,a15.(2)设C1与C2的交点坐标为P(
46、x1,y1),Q(x2,y2),x1x2,由题意可得x1,x20,作出示意图如图所示.f(x),g(x)ax2.假设两条切线有可能平行,则存在a使fg(x1x2)2(xx)2(x1x2)ax2x2y1y2ln x1ln x2ln .不妨设t1,则方程ln t存在大于1的实根,设(t)ln t,则(t)0,(t)1使(t)0矛盾,C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行.3.解：(1)当a0时,f(x)x2ln x(x0),此时f(x)2xln xxx(2ln x1).令f(x)0,解得xe.函数f(x)的单调递增区间为(e,),单调递减区间为(0,e).(2)F(x)xln xxln
47、xx.由F(x)2ln x,得F(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,)上单调递增,F(x)F(e2)e2.(3)f(x)2(xa)ln x(2xln xxa).令g(x)2xln xxa,则g(x)32ln x,函数g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,)上单调递增,g(x)g(e)2ea.当a0时,函数f(x)无极值,2ea0,解得a2e.当a0时,g(x)min2ea0,即函数g(x)在(0,)上存在零点,记为x0.由函数f(x)无极值点,易知xa为方程f(x)0的重根,2aln aaa0,即2aln a0,a1.当0a1时,x01时,x01且x0a,函数f(x)的极值点为a和x0
48、；当a1时,x01,此时函数f(x)无极值.综上,a2e或a1.4.解：(1)g(x)(2x2)a(x1),h(x)xexa(ex1)(xa)exa,h(x)(xa1)ex,令h(x)0,得xa1.当a11,即a0时,在x1,1上有h(x)0,h(x)在1,1上单调递增,此时h(x)的最小值为h(1)a.当1a11,即0a0,h(x)在(a1,1上单调递增,此时h(x)的最小值为h(a1)ea1a.当a11,即a2时,在x1,1上有h(x)0,h(x)在1,1上单调递减,此时h(x)的最小值为h(1)(1a)ea.综上所述,当a0时,函数h(x)的最小值为a；当0a0,F(x)在x2,)上单调
49、递增,此时F(x)的最小值为F(2)0,不可能有对任意的x2,),都有f(x)g(x)0成立.当a1时,(x)a,x2,),(x)0,(x)在2,)上单调递减,故(x)max(2)1a0,即F(x)的最大值为F(2)a10,F(x)在2,)上单调递减,F(x)的最大值为F(2)0,即f(x)g(x)0成立.当1a2,当x时,(x)0,即(x)在上单调递增,当x时,(x)0,即(x)在上单调递减.(x)maxF(x)maxFln (a)0,又F(2)a10,在x上F(x)0,即F(x)在上单调递增.又F(2)0,所以在x上有F(x)0,显然不合题意.综上所述,实数a的取值范围为a1.第2课时利用
50、导数解决不等式、方程解的问题一、选择题1.(2014海淀模拟)已知函数f(x)xln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)当k1时,求证：f(x)kx1恒成立.2.(2014北京高考)已知函数f(x)xcos xsin x,x.(1)求证：f(x)0；(2)若ab对x恒成立,求a的最大值与b的最小值.3.(2014南昌模拟)已知函数f(x)axbxln x,其图象经过点(1,1),且在点(e,f(e)处的切线斜率为3(e为自然对数的底数).(1)求实数a、b的值；(2)若kZ,且k1恒成立,求k的最大值；(3)证明：2ln 23ln 3nln n(n1)2(nN*,n1).4.已知函数f(x
51、)2x3tx23t2x,其中tR.(1)当t1时,求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)当t0时,求f(x)的单调区间；(3)证明：设函数g1(x)2x3,函数g2(x)3t2xtx2,对任意的t(0,),函数g1(x)与g2(x)的图象在区间(0,1)内至少有一个交点.答案1.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln x1.令f(x)0,得x.f(x)与f(x)的情况如下：xf(x)0f(x)极小值所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)设g(x)ln x,x0,g(x).g(x)与g(x)的情况如下：x(0,1)1(1,)g(x)0g(x)极小值所
52、以g(x)g(1)1,即ln x1在x0时恒成立,所以当k1时,ln xk,所以xln x1kx,即xln xkx1,所以当k1时,有f(x)kx1.2.解：(1)由f(x)xcos xsin x得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因为在区间上f(x)xsin x0,所以f(x)在区间上单调递减.从而f(x)f(0)0.(2)当x0时,“a”等价于“sin xax0”；“b”等价于“sin xbx0”.令g(x)sin xcx,则g(x)cos xc.当c0时,g(x)0对任意x恒成立.当c1时,因为对任意x,g(x)cos xc0,所以g(x)在区间上单调递减.从而g(x
53、)g(0)0对任意x恒成立.当0c1时,存在唯一的x0使得g(x0)cos x0c0.g(x)与g(x)在区间上的情况如下：x(0,x0)x0g(x)0g(x)因为g(x)在区间0,x0上是增函数,所以g(x0)g(0)0.进一步,“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0,即0c.综上所述,当且仅当c时,g(x)0对任意x恒成立；当且仅当c1时,g(x)0对任意x恒成立.所以,若ab对任意x恒成立,则a的最大值为,b的最小值为1.3.解：(1)因为f(1)1,所以a1,此时f(x)xbxln x,f(x)1b(1ln x),依题意,f(e)1b(1ln e)3,所以b1.(2)由(1)知f
54、(x)xxln x,当x1时,设g(x),则g(x).设h(x)x2ln x,则h(x)10,h(x)在(1,)上是增函数.因为h(3)1ln 30,所以,存在x0(3,4),使h(x0)0.当x(1,x0)时,h(x)0,g(x)1时,3,所以f(x)3x3,即xxln x3x3,xln x2x3,所以2ln 23ln 3nln n(223)(233)(2n3)2(23n)3(n1)23n3n22n1(n1)2(nN*,n1).4.解：(1)当t1时,f(x)2x3x23x,f(0)0,f(x)6x23x3,所以f(0)3,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y3x.(2)f(
55、x)6x23tx3t2,令f(x)0,解得xt或x.因为t0,以下分两种情况讨论：若t0,则0,则t0时,f(x)在内单调递减,在内单调递增,以下分两种情况讨论：当1,即t2时,f(x)在(0,1)内单调递减,f(0)0,f(1)3t22t34220.所以对任意的t2,),f(x)在区间(0,1)内存在一个零点.当01,即0t2时,f(x)在内单调递减,在内单调递增,若t(0,1,ft3t30.所以f(x)在内存在零点.若t(1,2),ft3t30,所以f(x)在内存在零点.所以,对任意的t(0,2),f(x)在区间(0,1)内存在零点.综上,对任意的t(0,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点,即函数g1(x)与g2(x)的图象在区间(0,1)内至少有一个交点.