1、第四章 导数及其应用 4.5.1 曲边梯形的面积4.5.2 计算变力所做的功4.5.3 定积分的概念4.5 定积分与微积分基本定理 学习目标重点难点1.了解曲边梯形面积的求法2.理解“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想3.掌握定积分的概念，并会用定义求定积分4.理解定积分的几何意义和定积分的基本性质.1.重点：定积分的概念和性质2.难点：定积分的概念的理解及几何意义.1曲边梯形由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为_.2求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多段，进而的把曲边梯形分为一些_，对每个小曲边梯形“_”，即用矩形的面积近似值代替小曲边梯形的面积，得到每个
2、小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值_就得到曲边梯形面积的近似值曲边梯形小曲边梯形以直代曲相加3求曲边梯形面积的步骤(1)_；(2)_；(3)_；(4)_.4求和时常用的结论(1)123n_.(2)122232n2_.(3)132333n3_.分割近似代替求和取极限nn12nn12n16n2n1245定积分的概念(1)_.如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xnb将区间a，b等分成n个小区间(2)_.在每个区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)(3)_.作和式i1nf(i)xi1n ban f(i)插入等分点以直代曲作和(4)_.当n时，上述和式趋近于某个常数，这个常数
3、叫作函数f(x)在区间a，b上的_，记作_，这里，a与b分别叫作积分的_与_，区间a，b叫作_，函数f(x)叫作_，f(x)dx叫作被积式取极限定积分f(x)dx 积分下限积分上限积分区间被积函数xa6定积分的几何意义从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分ab f(x)dx表示直线_，_，_和曲线_所围成的曲边梯形的面积注：一般情况下，定积分ab f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数yf(x)的图形以及直线xa，xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号xby0 yf(x)7定积分的性质性质1：ab1dx_；性质2：abkf
4、(x)dx_；性质3：abf(x)g(x)dx_；性质4：abf(x)dx_.bakabf(x)dxabf(x)dxabg(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)t25(单位：km/h)试估计这辆汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程思路点拨 将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过求矩形面积使问题得以解决过剩估计值和不足估计值的应用解：将区间0,210等分，如图S(0250.2251.825)0.27.72，s(0.2250.4251.825225)0.26.92，估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92
5、 km与7.72km之间【点评】解决这类问题，需要通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值1求由直线x1，x2和y0及曲线y12x2所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差解：将区间1,25等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S.s 1212121.22121.42121.62121.82 0.21.02，S121.22121.42121.62121.8212220.21.32，估计误差不会超过Ss1.321.020.
6、3.利用定积分的几何意义求定积分用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)114x2dx；(2)2 52(1sin x)dx.思路点拨 定积分ab f(x)dx的几何意义是介于xa，xb之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x轴上方部分的面积为正，x轴下方部分的面积为负解：(1)由y 4x2可知x2y24(y0)，其图象如图114x2 dx等于圆心角为 3 的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形123221222sin323 3，S矩形ABBC2 3，114x2dx2 323 323 3.(2)函数y1sin x的图象如图所示，2 52(1sin x)dx表示阴影部分的面积
7、，由图象的对称性可知：2 52(1sin x)dxS矩形ABCD2.【点评】利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定2根据定积分的几何意义比较大小，并用“”“01x2dx.(2)如图，01xdx表示OAB的面积，12xdx表示梯形ABDC的面积，故01xdx(2)1，x1，0 x1，求02f(x)dx.解：f(x)2x4，x1，x1，0 x1，02f(x)dx01(x1)dx12(2x4)dx.由定积分的几何意义，得01(x1)dx12(12)132，12(2x4)dx12121.02f(x)dx32152.1由定义可得定积分ab f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即abf(x)dxabf(t)dtabf(u)du.2性质3对有限个函数(两个以上)也成立性质4对把区间a，b分成有限个(两个以上)区间也成立3利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积零为整”的过程(1)定积分ab f(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，所得值也不同(2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f(x)所表示的图形以及积分上、下限点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十一)谢谢观看！