1、1江苏省南通中学 2020-2021 学年度第一学期期中考试高二数学一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个等比数列的首项为 2，公比为 3，则该数列的第 3 项为（）.8A.16B.18C.27D2.设,aR则“1a ”是“2aa”的（）.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件3.不等式1021xx的解集为（）1.1,2A 1.1,2B 1.,1,2C 1.,1,2D 4.已知椭圆的准线方程为4,x 离心率为 12，则椭圆的标准方程为（）22.12xAy22.12yB x
2、22.143xyC22.134xyD5.数列 na中，112,21nnaaa，则10a 的值为（）.511A.513B.1025C.1024D6.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，则最小的一份为（）5.3A10.3B5.6C11.6D7.椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为1F 和2F，P 为椭圆 C 上的动点，若2ab，满足1290F PF 的点 P 有（）个.2A个.4B个.0C个.1D个8.已知实数0,0ab且 9abab，若不等式2218a
3、bxxm 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）.3,A.,3B.,6C.6,D二多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.若实数0a，0b，1a b，若下列选项的不等式中，正确的是（）.2A ab.2Bab22.2C ab11.2D ab210.对任意实数 a，b，c，给出下列结论，其中正确的是（）.A“ab”是“acbc”的充要条件.B“ab”是“22ab”的充分条件.C“5a”是“3a”的必要条件.D“5a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件11.设椭圆221
4、93xy 的右焦点为 F，直线03ymm与椭圆交于 A，B 两点，则下述结论正确的是（）.A AFBF为定值.BABF的周长的取值范围是6,12.C 当2m 时，ABF为直角三角形.D 当1m 时，ABF的面积为612.已知数列 na，nb均为递增数列，na的前 n 项和为nS，nb的前 n 项和为nT，且满足12nnaan，12nnnb bnN ，则下列结论正确的是（）.A101a.B112b.C22nnST.D22nnST三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.命题“,0 xR axb”的否定是_.14.不等式210 xkx 对任意实数 x 都成立，则实数 k 的取
5、值范围是_.15.若椭圆2215xym 的离心率为105，则 m 的值为_.16.对于数列 na，定义11222nnnaaaAn为数列 na的“好数”，已知某数列 na的“好数”12nnA，记数列nakn的前 n 项和为nS，若7nSS对任意的 nN 恒成立，则实数 k 的取值范围是_.四解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）求适合下列条件的椭圆的标准方程；（1）与椭圆2212xy 有相同的焦点，且经过点31,2；（2）经过 A22,2，B32,2两点.318.（本小题满分 12 分）已知在等比数列 na中，11a ，且2
6、a 是1a 和31a 的等差中项（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足2nnbnanN，求数列 nb的前 n 项和nS19.(本小题满分 12 分)已知函数2()2f xaxbxa（1）若关于 x 的不等式()0f x 的解集是1,3，求实数,a b 的值；（2）若2,0ba，解关于 x 的不等式()0f x 20.（本小题满分 12 分）某工厂年初用 98 万元购进一台新设备，第一年设备维修及燃料，动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用为 12 万元，以后每年都增加 4 万元，工厂因新设备每年可收益 50 万元。（1）工厂第几年开始获利？（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方
7、案：年平均获利最大时，以 26 万元出售该设备；总获利最大时，以 8 万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？421.（本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)xyCabab：的长轴长为 4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O 为坐标原点。（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆的右焦点 F 作直线 l，与椭圆相交于,A B 两点，求 OAB面积的最大值，并求此时直线 l 的方程。22.（本小题满分 12 分）已知各项均为正数的两个数列 ,nnab满足22112,nnnaaa 2212loglog1,nnnabb 且111.ab（1）求证：数列 na为等差数列；（2）求数
8、列 nb的通项公式；（3）设数列 ,nnab的前 n 项和分别为,nnS T 求使得等式 236mmiSaT成立的有序数对*(,)(,)m i m iN.1江苏省南通中学 2020-2021 学年度第一学期期中考试高二数学一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个等比数列的首项为 2，公比为 3，则该数列的第 3 项为（）.8A.16B.18C.27D【答案】C2.设,aR.则“1a ”是“2aa”的（）.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件【答案】A3.不等式1021xx的
9、解集为（）1.1,2A 1.1,2B 1.,1,2C 1.,1,2D【答案】A4.已知椭圆的准线方程为4,x 离心率为 12，则椭圆的标准方程为（）22.12xAy22.12yB x 22.143xyC22.134xyD【答案】C5.数列 na中，112,21nnaaa，则10a 的值为（）.511A.513B.1025C.1024D【答案】B6.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，则最小的一份为（）5.3A10.3B5.6C11.6D【答案】A7.椭圆2222:1
10、0 xyCabab的左、右焦点分别为1F 和2F，P 为椭圆 C 上的动点，若2ab，满足1290F PF 的点 P 有（）个.2A个.4B个.0C个.1D个【答案】A8.已知实数0,0ab且 9abab，若不等式2218abxxm 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）.3,A.,3B.,6C.6,D2【答案】A二多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.若实数0a，0b，1a b，若下列选项的不等式中，正确的是（）.A2ab.B2ab.C222ab.D112ab【答
11、案】ABC10.对任意实数 a，b，c，给出下列结论，其中正确的是（）.A“ab”是“acbc”的充要条件.B“ab”是“22ab”的充分条件.C“5a”是“3a”的必要条件.D“5a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】CD11.设椭圆.22193xy.的右焦点为 F，直线03ymm与椭圆交于 A，B 两点，则下述结论正确的是（）.AAFBF为定值.BABF的周长的取值范围是6,12.C当2m 时，ABF为直角三角形.D当1m 时，ABF的面积为6【答案】AD12.已知数列 na，nb均为递增数列，na的前 n 项和为nS，nb的前 n 项和为nT，且满足12nnaan，12nnn
12、b bnN ，则下列结论正确的是（）.A101a.B112b.C22nnST.D22nnST【答案】ABC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.命题“,0 xR axb”的否定是_.【答案】,0 xR axb 14.不等式210 xkx 对任意实数 x 都成立，则实数 k 的取值范围是_.【答案】2,215.若椭圆2215xym 的离心率为105，则 m 的值为_.3【答案】2533 或16.对于数列 na，定义11222nnnaaaAn为数列 na的“好数”，已知某数列 na的“好数”12nnA，记数列nakn的前 n 项和为nS，若7nSS对任意的 nN 恒成立
13、，则实数 k 的取值范围是_.【答案】9 16,4 7四解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 10 分）求适合下列条件的椭圆的标准方程；（1）与椭圆2212xy 有相同的焦点，且经过点31,2；（2）经过 A22,2，B32,2两点【答案】（1）椭圆2212xy 的焦点坐标为1,0因为椭圆过点31,2所以22223321 11 1422a所以2a，3b 所以椭圆的标准方程为22143xy（2）设椭圆方程为2210,0,xymnmnmn带入得14213241mnmn解得8m，1n 所以椭圆方程为2218xy418.（本小题满分 12
14、分）已知在等比数列 na中，11a ，且2a 是1a 和31a 的等差中项（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足2nnbnanN，求数列 nb的前 n 项和nS【答案】（1）12nna（2）122nnbn 2121426222nnSn 012124+6+22222nn1 1222212nn n221nnn19.(本小题满分 12 分)已知函数2()2f xaxbxa（1）若关于 x 的不等式()0f x 的解集是1,3，求实数,a b 的值；（2）若2,0ba，解关于 x 的不等式()0f x【答案】（1）不等式()0f x 的解集是1,3-1，3 是方程220axbxa的两根故
15、代入可得12ab （2）由题，2b 时，2()=22(1)(2)02(1)(2)0(1)()0f xaxxaxaxaaaxaxaxxa1若21aa，即1a ，解集为1x x 2若21aa，即 01a，解集为21ax xxa 或3若21aa，即1a ，解集为2ax xxa-1或520.（本小题满分 12 分）某工厂年初用 98 万元购进一台新设备，第一年设备维修及燃料，动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用为 12 万元，以后每年都增加 4 万元，工厂因新设备每年可收益 50 万元。（1）工厂第几年开始获利？（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：年平均获利最大时，以 26 万元出售该设备；
16、总获利最大时，以 8 万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【答案】（1）由题每年费用是以 12 为首项，4 为公差的等差数列，设第 n 年时累计的纯收入为()f n，则2()501216(48)9840298f nnnnn，获利为：()0f n 2402980nn解得10511051n又 nN3,4,5,17n 当3n 时，即第 3 年开始获利。（2）年平均收入为：()4949402()4412f nnnnnn（万元）即年平均收益最大时，总收益为12726110（万元），此时7n；2()2(10)102f nn，当10n 时，max()102f n总收益为1028110万元，此时10n 比较
17、两种方案，总收益均为 110 万元，但是第一种方案需要 7 年，第二种需要 10 年。故选择第一种方案。621.（本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)xyCabab：的长轴长为 4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O 为坐标原点。（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆的右焦点 F 作直线 l，与椭圆相交于,A B 两点，求 OAB面积的最大值，并求此时直线 l 的方程。【答案】（1）24,2aab得2,1ab 所以椭圆 C 的方程为2214xy（2）设:3ABlxmy，1122,A x yB xy，22314xmyxy 得22(4)2 310mymy 所以1212
18、222 31,44myyy ymm所以22121212241()44myyyyy ym所以21221132 324mSyym令211,tm212 32 3133tSttt当且仅当3t 即2m 时取等号。所以面积最大值为 1，直线方程为23xy。722.（本小题满分 12 分）已知各项均为正数的两个数列 ,nnab满足22112,nnnaaa 2212loglog1,nnnabb 且111.ab（1）求证：数列 na为等差数列；（2）求数列 nb的通项公式；（3）设数列 ,nnab的前 n 项和分别为,nnS T 求使得等式 236mmiSaT成立的有序数对*(,)(,)m i m iN.【答案
19、】（1）由22112nnnaaa 可得222121(1)nnnnaaaa，因为 na各项均为正数，所以11nnaa ，即11nnaa ，故 na是公差为 1 的等差数列。（2）由（1）得nan，由2212loglog1,nnnabb 得2112 nnnb b，所以21122,nnnbb 两式相除得24,nnbb 所以数列 nb的奇数项和偶数项都是公比为 4 的等比数列。由11.b 及2112 nnnb b 知22,b 所以(21)1212,kkb 121*2242(),kkkbkN所以12nnb。综上，数列 nb的通项公式为12nnb。（3）由（1）（2）知(1),21.2nnnn nST由 236mmiSaT得(1)23621,2im mm即752,imm则必存在*,s tN使得 27,25,stmm从而 2212.st若5,s 则 221220,ts故5.t 又因为,st所以12222232stttt与 2212st矛盾，所以4.s 由于 2212st，则只能4,2st，此时9,6.mi
