1、第四节 推理与证明教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理3了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点4了解反证法的思考过程和特点.本节一个内容是以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题；另一个主要内容是直接证明的方法：综合法和分析法，间接证明的方法：反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修内容中平
2、面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中以填空题、解答题的形式进行考查，属于中、高档题.基础梳理1合情推理类型定义特征归纳推理由某类事物的对象具有某些特征，推出该类事物的对象都具有这些特征的推理由到、由到部分全部部分整体个别一般类比推理由两类对象具有某些和其中一类对象的某些已知，推出另一类对象也具有这些的推理由到合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、，然后提出的推理类似特征特征特征特殊特殊类比猜想2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是
3、由一般到的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的；小前提所研究的；结论根据，对特殊情况做出的判断特殊一般原理特殊情况一般原理3直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从推导到的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从追溯到产生这一结果的的思维方法原因结果结果原因特点从“”看“”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的条件从“”看“”，逐步靠拢“”，其逐步推理，实际上是要寻找它的条件已知可知必要未知需知已知充分4.间接证明反证法要证明某一结论 Q
4、 是正确的，但不直接证明，而是先去(即 Q 的反面非 Q 是正确的)，经过正确的推理，最后得出，因此说明非 Q 是的，从而断定结论 Q 是的，这种证明方法叫作反证法假设Q不成立矛盾错误正确三基自测1(选修122.1练习改编)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算，a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1 B.an4n3Cann2D.an3n1答案：C2(选修122.2练习改编)若Pa6a7，Qa8a5(a0)，则P，Q的大小关系是()APQB.PQCPb，那么 3 a 3 b”，假设内容为_答案：3 a3 b5(选修122.1练习改编)已知数列an中，an1S
5、nn3，nN*，a12，则数列an的通项公式为_答案：an2n1，32n21n2，nN*考点一|归纳推理(方法突破)方法1 与数字有关的推理【例1】将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数是_解析 前n1行共用了1n1n12个数，即nn12个数，也就是说第n1行的最后一个数就是nn12.那么，第n(n3)行的从左至右的第3个数是nn123，也就是n2n62.答案 n2n62方法2 与不等式有关的推理【例2】观察下列特殊的不等式：522252 272，453542325272
6、3，98289323831125，9105109555 275，由以上特殊不等式，可以猜测：当ab0，s，rZ时，有asbsarbr_.解析 522252 2722152221，45354232527235243252，982893238311258392283，9105109555 275105 952105，由以上特殊不等式，可以猜测当ab0，s，rZ时，有asbsarbrsrab2sr.答案 srab2sr方法3 与图形有关的推理【例3】下图中(1)(2)(3)(4)为四个平面图形表中给出了各平面图形中的顶点数、边数以及区域数平面图形顶点数边数区域数(1)332(2)8126(3)695
7、(4)10157现已知某个平面图形有1 009个顶点，且围成了1 007个区域，试根据以上关系确定这个平面图形的边数为_解析 由表归纳各平面图形的顶点数、边数、区域数的关系如下表：平面图形顶点数边数区域数关系(1)3323232(2)812686122(3)6956592(4)10157107152VEFVFE2其顶点数V、边数E、区域数F满足关系式VFE2，故可猜想此平面图形的边数为1 0091 00722 014.答案 2 014方法4 与数列有关的推理【例4】(2017湖北七市联考)观察下列等式：123n12n(n1)；13612n(n1)16n(n1)(n2)；141016n(n1)(
8、n2)124n(n1)(n2)(n3)；可以推测，1515124 n(n1)(n2)(n3)_(nN*)解析 根据式子中的规律，可知等式右侧为154321n(n1)(n2)(n3)(n4)1120n(n1)(n2)(n3)(n4)答案 1120n(n1)(n2)(n3)(n4)名师点拨 1.归纳推理的类型及求解策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(3)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性(4)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采
9、用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可2破解归纳推理的思维步骤(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧跟踪训练(1)如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 9a2a3 9a3a4 9a4a59a2 015a2 016()A.2 0122 013B.2 0132 012C.2 01
10、42 015D.2 0142 013答案：C(2)已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，依它的前10项的规律推测这个数列的第2 017项是_答案：641(3)观察下列等式：11,1214,123219,123432116，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*,12n21_.答案：n2(4)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A6 B.7C8 D.9解析：由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为26，第4层的点数为36，
11、第5层的点数为46，第n(n2，nN*)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2，nN*)层，则共有的点数为16626(n1)16 nn123n23n1，由题意，得3n23n1169，即(n7)(n8)0，解得n8，所以共有8层故选C.答案：C考点二|类比推理(思维突破)【例5】(1)若an是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有(mn)ap(np)am(pm)an0，类比上述性质，相应地，对等比数列bn，m，n，p是互不相等的正整数，有_(2)如图，在RtABC中，C90，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性
12、质的猜想解析(1)等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积，等差数列中(mn)ap类比等比数列中的bmnp，因此有bmnpbnpm bpmn1.(2)如题图所示，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，对应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2S21S22S23成立答案(1)bmnpbnpm bpmn1名师点拨 类别推理的类型
13、及相应方法(1)类别定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移跟踪训练(1)把本例(2)条件“由勾股定理，得c2a2b2”换成“cos2Acos2B1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想解析：如图，在RtABC中，cos2Acos2Bbc2ac2a2b2c21.于是把结论类比到四面体 PABC中，我们猜想，三棱
14、锥 PABC中，若三个侧面 PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则 cos2cos2cos21.(2)本例(2)条件改为“如图，作CDAB于点D，则有1CD2 1a2 1b2”类比该性质，试给出空间中四面体性质的猜想，并说明是否正确解析：类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2.如图，连接BE交CD于点F，连接AF，因为ABAC，ABAD，ACADA，所以AB平面ACD，而AF平面ACD，所以ABAF.在RtAEF中，AEBF，所以 1AE2 1AB2 1AF2，易知在RtACD中，AFCD，所以
15、1AF2 1AC2 1AD2，所以 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2，猜想正确考点三|演绎推理与直接证明(能力突破)【例6】在公差不为0的等差数列an中，a3a1015，且a2，a5，a11成等比数列(1)求an的通项公式；(2)设bn 1an 1an1 1a2n1，证明：12bn0，所以数列bn单调递增所以bnb112.又bn 1n1 1n2 12n 1n1 1n1 1n1 nn11.因此12bn1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；用反证法证明方程f(x)0没有负数根解析(1)假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷故选 A.(2)证明：任取 x1，x2(1，)，不妨设 x10.a1，2xa1xa0.又x110，x210，x22x21x12x11x22x11x12x21x11x213x2x1x11x210，于是 f(x2)f(x1)2xa1xax22x21x12x110，故函数 f(x)在(1，)上为增函数假设存在 x01，00 xa1，0 x02x011，即12x02，与假设 x00，b0，且ab1a1b，证明：(1)ab2.(2)a2a2与b2b2不可能同时成立答案：证明略