1、十二基本不等式的应用【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1已知ab0，全集为R，集合Mx|bx，Nx|xa，Px|bb0结合基本不等式可得，ab，故PM(RN).2若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是()A3 B6 C6 D12【解析】选D.设直角三角形的两直角边分别为a，b，因为直角三角形面积为18，即ab36，所以两条直角边的和ab212，当且仅当ab6时取等号，所以两条直角边的和的最小值是12.【加固训练】 将本题条件改为“周长为1”，求直角三角形面积的最大值【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则1ab2，解得ab，当且仅当ab时
2、取等号，所以直角三角形面积S，即S的最大值为.3已知x0，y0且xy8，则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25 C9 D36【解析】选B.(1x)(1y)25，当且仅当1x1y即xy4时，(1x)(1y)取最大值25.4已知正数a，b满足ab1，则的最小值为()A B1 C2 D3【解析】选D.根据题意，正数a，b满足ab1，则1213，当且仅当ab时，等号成立，故的最小值为3.【加固训练】 已知p0，q0，pq1，且xp，yq，则xy的最小值为()A6 B5 C4 D3【解析】选B.由pq1，所以xypq11(pq)12325，当且仅当即pq时取等号，所以B选项是正确的二、填空题(每
3、小题5分，共10分)5已知x0，y0，且x3y1，则的最小值是_【解析】44242，当且仅当，即x，y时等号成立所以的最小值为42.答案：426(2021广州高一检测)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_ km处【解析】设仓库建在离车站d km处，由已知y12，得k120，所以y1，y28k210，得k2，所以y2d，所以y1y228.当且仅当，即d5时，费用之和最小答案：5【加固训练】 (2021淮
4、安高一检测)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_【解析】总运费与总存储费用之和f(x)4x44x2160，当且仅当4x，即x20时取等号答案：20三、解答题(每小题10分，共20分)7已知a，b都是正数，求证：4.【证明】因为a0，b0，所以a22，b22.由不等式的性质，得4，当且仅当a1且b1时，等号成立8已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值(2)xy的最小值【解析】(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的
5、最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)1010218.当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24【解析】选B.由得m(a3b)6，又62612，当且仅当，即a3b时等号成立所以m12，所以m的最大值为12.2(多选题)(2021长沙高一检测)下列函数的最小值为4的有()A.yx2 Byx2Cy Dyx1(x1)【解析】选AD.对于A，yx224，当且仅当x时等号成立，故A正确对于B，取x1，则y124，故B不正确对于
6、C，y4，因为x264无解，故等号不成立，故C错误对于D，yx12224，当且仅当x11即x2时等号成立，故D正确二、填空题(每小题5分，共10分)3从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC2，A90，则这两个正方形的面积之和的最小值为_【解析】设两个正方形边长分别为a，b，则由题可得2a2b2，即ab1，Sa2b22，当且仅当ab时取等号答案：4在4960的两个中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上_和_【解析】设两数分别为x，y，即4x9y60，(1312)，当且仅当，且4x9y60，即x6且y4时，等号成立，故应分别填上6，4.答案：64三、解答题
7、(每小题10分，共20分)5(2021长沙高一检测)已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.【证明】(1)因为a0，b0，ab1，所以ab，所以ab，所以8，当且仅当ab时等号成立(2) 1，由(1)可知8，所以19，即9.当且仅当ab时等号成立6(2021泰州高一检测)2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给
8、该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元若进行技术指导，养羊的投资减少了x(x0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(10.25x)倍现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15(a0.875x)万元，其中a0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值【解析】(1)由题意，得0.15(10.25x)(10x)0.1510，整理得：x26x0，解得0x6，又x0，故0x6.所以x的取值范围是(0，6.(2)由题意知，网店销售利润为015(a0.875x)x万元，技术指导后，养羊的利润为015(10.25x)(10x)万元，则0.15(a0.875x)x0.15(10.25x)(10x)恒成立，又0x10，所以a1.5，又25，当且仅当x4时等号成立，所以0a6.5，即a的最大值为6.5.