1、华附南海实验高中20202021学年度第二学期高二年级期中检测数 学本试卷分为第卷和第卷两部分，满分为150分，考试时间120分钟。注意事项：1选择题分为单选题和多选题，多选题有2个或多个答案。 2请在规定答题区域内作答，超出区域或答错题号不得分。第卷 选择题（共60分）一、单选题（本大题8题，每小题5分，共40分）1复数的虚部是（ ）ABCD2若复数满足，则（ ）ABCD3已知随机变量的分布列是123则（ ）ABC1D4现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（ ）A56B65C30D115用5种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色
2、，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为（ ）A120B160C180D2406函数（为自然对数的底数）的图象可能是（ ）ABCD7定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）ABCD8. 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）ABCD二、多选题（本大题4题，每小题5分，共20分.其中全部选对得5分，漏选得2分，错选、多选得0分）9. 设为复数，则下列命题中正确的是（ ）ABC若，则的最大值为2D若，则10. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）A所有项的二项式系数和为64B所有项的系数和为64C常数项为1215D二项
3、式系数最大的项为第3项11. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，下列说法正确的是（ ）A所有可能的方法有种B若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种12. 对于函数，下列说法正确的是（ ）A函数在处取得极大值B函数的值域为C有两个不同的零点D 第卷 非选择题（共60分）三、填空题（本大题4题，每小题5分，共20分）13已知的导数为,且，则_14已知，则_15为响应国家脱贫攻坚的号召，某县抽调甲、乙、丙
4、等六名大学生村官到、三个村子进行扶贫，每个村子去两人，且甲不去村，乙和丙不能去同一个村，则不同的安排种数为_.16已知函数，若直线与函数，的图象均相切，则的值为_；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是_三、解答题（本大题6题，共70分）17（10分）某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数（1）请列出的分布列并求数学期望；（2）根据所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率18（12分）函数在点处的切线斜率为（1）求实数a的值；（2）求的单调区间和极值19. （12分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求
5、函数在区间上的最值，并指出取得最值时x的值20（12分）在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题。甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响。规定至少正确完成其中2道题便可过关。（1）记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，求X的分布列和期望；（2）记乙能答对的题数为Y，求Y的分布列、期望21（12分）已知，（），其中e是自然常数.（1）求的单调性、极值；（2）求证：.22设函数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若,恒成立，求的取值范围华附南海实验高中20202021学年度第二学期高二年级期中考试参考
6、答案123456789101112DCAACAADACDABCBCDABD13_ -1 _. 14_ 2079 _.15_ 48 _. 16_ _.1D【分析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：D.2C【解析】由，得故选C3A【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.【详解】解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为得：，所以.4A【分析】按照分步乘法计数原理，让6个同学一个一个的依次选择知识讲座，每个同学有5个选择，所以6个同学共有种不同的选法【详解】第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，依次选择，第六名同学也有5种选择方法，综上
7、，6名同学共有56种不同的选法故选A5C【详解】试题分析：若A,C的颜色相同时：第一步涂A,C有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂D有4种方法，共计种；若A，C的颜色不同时：第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三部涂C有3种方法，第四步涂D有2种方法，共计种方法，所以有180种方法考点：分步计数原理点评：完成一件事需要n部，第一步有方法，第二步有方法第n步有方法，则总的方法数有种方法6A【详解】试题解析：函数为偶函数，图象关于轴对称，排除B、D， 时，舍去C，选A.考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象.7A【分析】构造函数，由题意得即函数在上单调递减，再根据题意得，即可得解.
8、【详解】令，则，函数在上单调递减，又 ，.故选：A.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了根据题意构造新函数的能力，属于中档题.8. D【分析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.【详解】根据可知，令由知为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，在时有最大值为，故.故选：D9. ACD【详解】对于A：，则，而，所以成立；对于B：，当ab均不为0时，而，所以不成立；对于C： 可以看出以为圆心，1为半径的圆上的点P，可以看成点P到Q(0,-1)的距离，所以当P(0,1)时，可取的最大值为2；对于D： 可以看出以为圆心，1为半径的圆上的点N，则表示点N到原点距离，故O、N重合时，=0最
9、小，当O、M、N三点共线时，=2最大，故.故选：ACD10. ABC【分析】根据二项式系数和性质可判断选项A；用赋值法求出所有系数和可判断选项B；求出展开式的通项可判断选项C，D可得出结论.【详解】的展开式所有项的二项式系数和为，选项A正确；中令得，选项B正确；展开式通项为， 令，得，所以常数项为，选项C正确；根据通项第项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为，第5项系数为，第7项系数为，系数最大项为第5项，选项D不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式系数性质，熟记通项是解题的关键，掌握赋值法求系数和，属于中档题.11. BCD【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项
10、的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.【详解】所有可能的方法有种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.故答案为：BCD12ABD【分析】求导，利用导数研究函数
11、的单调区间，进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数的抽象图像可以判断BCD选项.【详解】函数的定义域为，求导，令，解得： 极大值所以当时，函数有极大值，故A正确；对于BCD，令，得，即，当时，则作出函数的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为，故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数在上单调递减，且，则，故D正确；故选：ABD13-1【详解】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题本题值得注意的是是一个实数14【分析】令，由题意可得，即可得解.【详解】令，则，由题意可得，所以，因此，.故答案为：.15【分析】首先分三类：甲、乙、丙人在不同
12、村且甲不在村、甲和乙在同村且不在村、甲和丙在同村且不在村，再应用分步求各类的安排方法，最后加总即为所求安排种数.【详解】有三种情况：当甲、乙、丙人在不同村，且甲不在村时，有种安排方法，当甲和乙在同村且不在村时，有种安排方法，当甲和丙在同村且不在村时，有种安排方法，故，总共有种安排方式.故答案为：48.16 【详解】设直线与函数的切点为，由，所以，解得，所以切点为，所以，解得，即切线方程为，设直线与函数的切点为，则，解得 ，即，设切线方程为，且与的切点为，与的切点为则，整理可得，所以，整理可得，设，则，设，则，所以在为增函数，又因为，所以在上，即，所以单调递减； 在上，即，所以单调递增，所以，即
13、，解得.故答案为： ；17（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：(1)随机变量服从超几何分布，利用公式求得分布列和数学期望即可；(2) 由分布列可知至少选3名男生，即试题解析：（）依题意得，随机变量服从超几何分布，随机变量表示其中男生的人数，可能取得值为0,1,2,3,4，的分布列为：01234（）由分布列可知至少选3名男生，即18（1）3；（2）增区间为，减区间为极小值，无极大值【分析】（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）函数的导数为， 在点处的切线斜率为，即，；（2）由（1）
14、得， 令，得，令，得， 即的增区间为，减区间为在处取得极小值，无极大值【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题19. (1) ;(2) 当时，当时，.【分析】(1)由题意求出导函数，进而求解出，即可求出切线的斜率，由直线的点斜式方程即可求出切线方程.(2)利用导数求函数在的单调性，结合区间端点处的函数值，即可求出函数的最值及取最值时的x的值.【详解】解：(1)因为，则定义域为，则，所以，又 ，所以，即切线方程为.(2)令，解得，当时，递增；当时，递减，所以当时，又，所以当时，.20（1）见解析； （2）见解析【解析】试题分析：（1）由题为求随机变量的分布
15、列，需先理解题意，求出甲答对的题数为X的可能取值，再由条件分别算出每种取值对应的概率，列表做出分布列（为超几何分布），最后代入期望公式可求出期望；（2）由题与（1）的思路相同，但因为乙正确完成每道题的概率为，可化为二项分布来解决，而算期望和方差，可直接代公式。试题解析：（1）, ,X123P0.20.60.2 （2）,Y0123PE（Y）=2 考点： （1）超几何分布。（2）二项分布。 21（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为；（2）证明见解析.【分析】（1）求导得，在定义域内解不等式、，即可得函数单调区间，进而得到极值；（2）令，求得函数的最小值和的最大值，可证，即可得证.【详解】
16、（1），当时，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数的极小值为.(2)由（1）知函数的极小值为，即函数在上的最小值为1，令，则，当时，函数在上单调递增，.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值及证明不等式成立，属于中档题.22（1）；（2）【分析】（1）由已知条件可得对任意的恒成立，可得出，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围；（2）利用变量分离法可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在区间上的最大值以及函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1），则.又在上单调递增，所以，则，令，则.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，则，解得；（2）当时，恒成立即恒成立即恒成立即且同时成立令，其中，令，可得.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，所以.令，其中，则，则函数在上为增函数，所以，所以综上，实数的取值范围是