1、第三节 基本不等式教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式求二元函数的最大(小)值问题3会利用基本不等式求实际问题的最值.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.基础梳理1重要不等式a2b2(a，bR)(当且仅当时等号成立)2基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件是.(2)等号成立的条件是：当且仅当时取等号(3)其中ab2 称为正数a，b的，ab称为正
2、数a，b的2ababa0，b0 ab算术平均数几何平均数3利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有值是2 p(简记：)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有值是p24(简记：)最小积定和最小最大和定积最大4几个常用的重要结论：(1)baab2(a与b同号，当且仅当ab时取等号)(2)a1a2(a0，当且仅当a1时取等号)，a1a2(a0，当且仅当a1时取等号)(3)abab22(a，bR，当且仅当ab时取等号)(4)21a1b abab2 a2b22(a，b0，当且仅当ab时取等号)三基自测1(必修5习题3.4A组改编)设x
3、0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B.77C81 D.82答案：C2(必修53.4练习改编)已知f(x)x1x2(x1，则x 4x1的最小值为_答案：5考点一|利用基本不等式求最值(易错突破)【例1】(1)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则1x 13y的最小值是()A2 B.2 2C4 D.2 3(2)已知不等式(xy)1xay9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是()A2 B.4 C6 D.8解析(1)由 lg 2xlg 8ylg 2，得 lg 2x3ylg 2，x3y1，1x 13y1x 13y(x3y)2 x3y3yx 4当且仅当 x3y3yx 时
4、，等号成立故选 C.(2)(xy)1xay 1ayxaxy 1a2 a，当 1a2 a9 时不等式恒成立，即 a13，解得 a4.故选 B.答案(1)C(2)B名师点拨 1.利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解条件变形，进行“1”的代换求目标函数的最值(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等2利用基本不等式求最值的注意点(1)知和求
5、积的最值：“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件：正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件跟踪训练(1)下列不等式一定成立的是()Algx214 lg x(x0)Bsin x 1sin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1x211(xR)答案：C(2)若点A(1,1)在直线mxny20上，其中mn0，则1m1n的最小值为_答案：2考点二|基本不等式的实际应用(方法突破)【例2】(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为 x8 天，且每件产品
6、每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件B.80件C100件D.120件(2)某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)用x表示y；当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解析(1)每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是 800 x元，每件产品的仓储
7、费用是x8元，则800 x x82 800 x x820，当且仅当800 x x8，即x80时等号成立，每批应生产产品80件故选B.(2)由题意，得y1000.5x2462xx，即yx100 x 1.5(xN*)由基本不等式，得yx100 x 1.52x100 x 1.521.5，当且仅当x100 x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备名师点拨 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值3在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解跟踪训练 某房地产开发公司计
8、划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1|B1C1|x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解析：(1)设休闲区的宽为 a 米，则长为 ax 米，由 a2x4 000，得 a20 10 x.则 S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)20 10 x 16080 1
9、02 x 5x 4 160(x1)(2)80 102 x 5x 4 16080 102 2 x 5x4 1601 6004 1605 760，当且仅当 2 x 5x，即 x2.5 时，等号成立，此时 a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1 应设计为长 100 米，宽 40 米考点三|基本不等式的综合应用(能力突破)方法1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题【例3】已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则4b1c的最小值是()A9 B.8C4 D.2解析 圆x2y22y50化成标准方程为x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线ax
10、byc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.则4b1c(bc)4b1c 4cb bc5.又b，c0，所以4cb bc24cb bc4，当且仅当4cb bc时等号成立由此可得当b2c，且bc1，即当b23，c13时，4b1c取得最小值9.故选A.答案 A方法2 求参数值或取值范围【例4】已知a0，b0，若不等式3a1bma3b恒成立，则m的最大值为()A9 B.12C18 D.24解析 由3a1bma3b，得m(a3b)3a1b 9ba ab6.又a0，b0，9ba ab62 9612当且仅当9ba ab，即 a3b时等号成立，m12，即m的最大值为12.故选B.答案 B名师点拨 1.应
11、用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解2条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解3求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围跟踪训练(1)已知函数 f(x)xax2 的值域为(，04，)，则 a 的值是()A.12B.32C.1 D.2解析：由题意可得a0，当x0时，f(x)xax22 a2，当且仅当x a时取等号；当x0，b0，ab2，则y1a4b的最小值是()A.72B.4C.92D.5解析：依题意，得1a4b121a4b(ab)125ba4ab1252ba4ab 92，当且仅当ab2，ba4ab，a0，b0，即a23，b43时取等号，所以1a4b的最小值是92.故选C.答案：C