1、2014-2015学年安徽省马鞍山市和县一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合S=x|x2，T=x|x2+3x40，则（CRS）T=（） A （2，1 B （，4 C （，1 D 1，+）2在等差数列an中，若a2，a10是方程x2+12x8=0的两个根，那么a6的值为：（） A 12 B 6 C 12 D 63设p：0x1，q：（xa）x（a+2）0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（） A 1，0 B （1，0） C （，01+，） D （，1）（0+，）4设f（x）
2、是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=log2（2x）2，则f（2）=（） A 3 B 4 C 6 D 85函数f（x）=xcos2x在区间0，2上的零点个数为（） A 2 B 3 C 4 D 56已知函数y=（m23m+3）是幂函数，则实数m的值为（） A 1B 2 C 1或2 D 无法确定7已知x=ln，y=log52，则（） A xyz B zxy C zyx D yzx8函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（） A （1，1） B （1，+） C （，l） D （，+）9在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC中点，AQ与CP
3、交点为M，又，则t=（） A B C D 10若函数f（x）=|sinx|的图象与y=kx仅有三个公共点且横坐标分别为，r（r）则下列命题正确的是（） A =0 B （0，） C r=tanr D k=cosr二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11函数f（x）=log2log（2x）的最小值为12已知向量，满足，且|=1，=（，1），则与的夹角为13已知函数f（x）=x21在点P（1，0）处的倾斜角为，则sin（2a+）=14若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是15定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令=mqnp，下面说法错误的是
4、若与共线，则=0=对任意的R，有（）=（）=0三、解答题：本大题共6个题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16设函数f（x）=sin2xsinxcosx（0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为（1）求的值；（2）求f（x）在区间0，上的最大值与最小值17等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和18已知函数f（x）=（xk）ex（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间0，1上的最小值19已知数列an的前n项和为Sn，且+1（nN
5、*）；（）求数列an的通项公式；（）若数列n|an|的前n项和为Tn，求数列Tn的通项公式、20如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx（A0，0）x0，4的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（1）求A，的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？21已知函数f（x）=x2+bsinx2，（bR），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x5）=F（5x）（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知函数g（x）=f（x）+2
6、（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（3）函数有几个零点？2014-2015学年安徽省马鞍山市和县一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合S=x|x2，T=x|x2+3x40，则（CRS）T=（） A （2，1 B （，4 C （，1 D 1，+）考点： 交、并、补集的混合运算；全集及其运算专题： 集合分析： 先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得RS，再利用并集的定义求出结果解答： 解：集合S=x|x2，CRS =x|x2，T=x|x2+3
7、x40=x|4x1，故（CRS）T=x|x1故选C点评： 此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，是高考中常考的题型在求补集时注意全集的范围2在等差数列an中，若a2，a10是方程x2+12x8=0的两个根，那么a6的值为：（） A 12 B 6 C 12 D 6考点： 等差数列的性质专题： 计算题分析： 先根据韦达定理求得a2+a10的值，进而根据等差中项的性质求得a6解答： 解：a2，a10是方程x2+12x8=0的两个根，a2+a10=122a6=a2+a10，a6=6故选B点评： 本题主要考查了等差数列的性质等差中项在解决等差数列问题时经常被用到，应熟练记忆并灵活
8、运用3设p：0x1，q：（xa）x（a+2）0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（） A 1，0 B （1，0） C （，01+，） D （，1）（0+，）考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 计算题分析： 解一元二次不等式，化简命题q，根据p是q的充分不必要条件得到 a0，且2+a1，求出实数a的取值范围解答： 解：命题q：（xa）x（a+2）0，即ax2+a由题意得，命题p成立时，命题q一定成立，但当命题q成立时，命题p不一定成立a0，且2+a1，解得1a0，故选A点评： 本题考查绝对值不等式的解法，充分条件、必要条件的定义，判断a0，且2+a1是解题的难点4设
9、f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=log2（2x）2，则f（2）=（） A 3 B 4 C 6 D 8考点： 函数的值专题： 计算题分析： 由题意可得，f（2）=f（2），然后把x=2代入即可求解解答： 解：f（x）是定义在R上的偶函数f（2）=f（2）当x0时，f（x）=log2（2x）2，f（2）=f（2）=4故选B点评： 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的函数值，属于基础试题5函数f（x）=xcos2x在区间0，2上的零点个数为（） A 2 B 3 C 4 D 5考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 计算题分析： 考虑到函数y=cos2x的零点一定也是函数f（x）
10、的零点，故在区间0，2上y=cos2x的零点有4个函数y=x的零点有0，故在区间0，2上y=xcos2x的零点有5个解答： 解：y=cos2x在0，2上有4个零点分别为，函数y=x的零点有0函数f（x）=xcos2x在区间0，2上有5个零点分别为0，故选D点评： 本题主要考查了函数零点的意义和判断方法，三角函数的图象和性质，排除法解选择题，属基础题6已知函数y=（m23m+3）是幂函数，则实数m的值为（） A 1 B 2 C 1或2 D 无法确定考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域专题： 函数的性质及应用分析： 由幂函数的定义直接求解即可解答： 解：y=（m23m+3）是幂函数，m23m
11、+3=1，解得m=1，或m=2故答案为：1或2点评： 本题考查幂函数的定义，是基础题，解题时要熟练掌握幂函数的概念7已知x=ln，y=log52，则（） A xyz B zxy C zyx D yzx考点： 不等式比较大小专题： 计算题；压轴题分析： 利用x=ln1，0y=log52，1z=，即可得到答案解答： 解：x=lnlne=1，0log52log5=，即y（0，）；1=e0=，即z（，1），yzx故选：D点评： 本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题8函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）
12、 A （1，1） B （1，+） C （，l） D （，+）考点： 其他不等式的解法专题： 压轴题；函数思想分析： 把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=1代入F（x）中，由f（1）=2出F（1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f（x）2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集解答： 解：设F（x）=f（x）（2x+4），则F（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意xR，f（x）2，所以F（x）=f（x）20，即F（x）在R上单调递增，则F（x）0的解集为（1，+），即
13、f（x）2x+4的解集为（1，+）故选B点评： 此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题9在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又，则t=（） A B C D 考点： 向量在几何中的应用专题： 计算题分析： 先根据向量关系得即P是AB的一个三等分点，利用平面几何知识，过点Q作PC的平行线交AB于D，利用三角形的中位线定理得到PC=4PM，结合向量条件即可求得t值解答： 解：即P是AB的一个三等分点，过点Q作PC的平行线交AB于D，Q是BC中点，QD=PC，且D是PB的中点，从而QD=2PM，PC=4PM，CM=CP，又，则t=故选C点评： 本小
14、题主要考查向量在几何中的应用、两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，利用向量的加法的法则，以及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想10若函数f（x）=|sinx|的图象与y=kx仅有三个公共点且横坐标分别为，r（r）则下列命题正确的是（） A =0 B （0，） C r=tanr D k=cosr考点： 正弦函数的图象专题： 三角函数的图像与性质分析： 首先，根据题意，画出图象，然后，对交点情况进行讨论解答： 解：如图所示：函数f（x）=|sinx|的图象与y=kx仅有三个公共点，且r，r=0，或0=r，不妨设0=r，直线与 y=sinx 相切，k=，同时
15、，由 y=cosx，k=cos，因此，=cos，=tan故选：C点评： 本题重点考查了三角函数图象与性质、三角函数图象变换等知识，属于中档题解题关键是数形结合思想在解题中的应用二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11函数f（x）=log2log（2x）的最小值为0考点： 函数的最值及其几何意义专题： 函数的性质及应用分析： 根据对数的基本运算法则即可得到结论解答： 解：f（x）=log2log（2x）=（log2+logx）2=（2+logx）2，当logx=2，即x=时，函数f（x）取得最小值为0故答案为：0点评： 本题主要考查函数的最值的求解，根据对数函数的基本运算法则进行化简
16、是解决本题的关键12已知向量，满足，且|=1，=（，1），则与的夹角为考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 根据平面向量的数量积的定义解答解答： 解：由=2=21，且|=1，=（，1），所以cos=，所以与的夹角为；故答案为：点评： 本题考查了向量的数量积的定义以及向量模的运用求向量的夹角，属于基础题13已知函数f（x）=x21在点P（1，0）处的倾斜角为，则sin（2a+）=考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用；三角函数的求值分析： 求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论解答： 解：函数的导数为f（x）=2x，则函数f（x）=x21在点P（
17、1，0）处的斜率k=f（1）=2，则tan=2，解得sin=，cos=，则sin2=2sincos=2=，cos2=2cos21=2（）21=，则sin（2a+）=sin2acos+cos2acos=（sin2a+cos2a）=（）=，故答案为：点评： 本题主要考查导数的几何意义以及两角和的正弦公式的应用，综合考查学生的计算能力14若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（，2考点： 复合三角函数的单调性专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析： 利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图
18、象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围解答： 解：由f（x）=cos2x+asinx=2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=2t2+at+1x（，）时f（x）为减函数，则y=2t2+at+1在t（，1）上为减函数，y=2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=，解得：a2a的取值范围是（，2故答案为：（，2点评： 本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题15定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令=mqnp，下面说法错误的是若与共线，则=0=对任意的R，有（）=（）=0考点： 平面向量数量
19、积的运算专题： 平面向量及应用分析： 将新定义的问题转化为我们熟知的向量的运算解决解答： 解：由题意，若与共线，则mq=np，所以=0成立；由新定义=mqnp，=pnqm=（npmq）=；故不成立；=（m，n），（）=mqnp，（）=mqnp，所以对任意的R，有（）=（）成立；=mnnm=0，成立；（）2+=（mqnp）2+mp+nq，（mqnp）2+mp+nq，所以不成立；故答案为：点评： 本题考查了向量运算的新定义问题，关键是将新定义转化为熟悉的问题解答三、解答题：本大题共6个题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16设函数f（x）=sin2xsinxcosx（0），且y=f（
20、x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为（1）求的值；（2）求f（x）在区间0，上的最大值与最小值考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值专题： 计算题；三角函数的图像与性质分析： （）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出的值；（）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间0，上的最大值和最小值解答： 解：（）函数f（x）=sin2xsinxcosx=sin2x=cos2xsin2x=sin（2）因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为又0，所以=4，解得=1；（）由
21、（）可知，f（x）=sin（2x），当0x时，2x，所以sin（2x）1，因此，1f（x），所以f（x）在区间上的最大值和最小值分别为：，1点评： 本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力，属于中档题17等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和考点： 等比数列的通项公式；数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： （）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，
22、由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和解答： 解：（）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q
23、=1，所以a1=故数列an的通项式为an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=2（）则+=2（1）+（）+（）=，所以数列的前n项和为点评： 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题18已知函数f（x）=（xk）ex（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间0，1上的最小值考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的综合应用分析： （I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（）根据（I），对k1是否在区间0，1内进行讨论，
24、从而求得f（x）在区间0，1上的最小值解答： 解：（）f（x）=（xk+1）ex，令f（x）=0，得x=k1，f（x）f（x）随x的变化情况如下：x （，k1） k1 （k1，+） f（x） 0 + f（x） ek1 f（x）的单调递减区间是（，k1），f（x）的单调递增区间（k1，+）；（）当k10，即k1时，函数f（x）在区间0，1上单调递增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（0）=k；当0k11，即1k2时，由（I）知，f（x）在区间0，k1上单调递减，f（x）在区间（k1，1上单调递增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（k1）=ek1；当k11，即k2时，函数f（x）在区间0，1上
25、单调递减，f（x）在区间0，1上的最小值为f（1）=（1k）e；综上所述f（x）min=点评： 此题是个中档题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f（x）=0根是否在区间0，1内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度19已知数列an的前n项和为Sn，且+1（nN*）；（）求数列an的通项公式；（）若数列n|an|的前n项和为Tn，求数列Tn的通项公式、考点： 数列递推式；数列的求和专题： 计算题分析： （）直接根据an和Sn的关系：an=SnSn1 （n2）求解数列的通项公式即可，要验证n=1时通项是否成立；（）由n|an|=3n2n1对数列n|an|用错位
26、相减法求和即可得数列Tn的通项公式解答： 解：（）a1=3，当n2时，n2时，n2时，数列an是首项为a1=3，公比为q=2的等比数列，an=3（2）n1，nN*（）由（）知，n|an|=3n2n1Tn=3（1+221+322+423+n2n1）2Tn=3（121+222+323+（n1）2n1+n2n）Tn=3（1+2+22+23+2n1n2n）Tn=3+3n2n32n点评： 本题第一问考查了已知前n项和为Sn求数列an的通项公式，根据an和Sn的关系：an=SnSn1 （n2）求解数列的通项公式另外，须注意公式成立的前提是n2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：an=SnSn1 （
27、n1）；若不成立，则通项公式为分段函数20如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx（A0，0）x0，4的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（1）求A，的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？考点： 已知三角函数模型的应用问题专题： 综合题分析： （1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三
28、角函数，利用三角函数的有界性求出最大值解答： 解：（1）因为图象的最高点为所以A=，由图知y=Asinx的周期为T=12，又T=，所以=，所以y=所以M（4，3），P（8，0）|MP|=（2）在MNP中，MNP=120，故（0，60）由正弦定理得，所以NP=，MN=设使折线段赛道MNP为L则L=所以当角=30时L的最大值是点评： 本题考查有图象得三角函数的性质，由性质求函数的解析式、考查两点距离公式、考查三角形的正弦定理、考查三角函数的有界性21已知函数f（x）=x2+bsinx2，（bR），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x5）=F（5x）（1）求函数f（x）的解析式；（2
29、）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（3）函数有几个零点？考点： 利用导数研究函数的极值专题： 综合题；压轴题分析： （1）先表示出汗水F（x）的表达式，再根据F（x5）=F（5x）求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式（2）将（1）中求出的函数f（x）的解析式代入函数g（x）然后求导，将问题转化为g（x）0或g（x）0在（0，1）上恒成立（3）对函数h（x）进行求导，然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性，进而确定零点解答： 解：（1）由题设得：F（x）=x2+bsinx，F（x5）=F（5x），F（x）=F
30、（x）x2bsinx=x2+bsinx，bsinx=0对于任意实数x都成立，b=0f（x）=x22（2）由g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx，得g（x）在（0，1）上恒单调，只需g（x）0或g（x）0在（0，1）上恒成立即2x2+2x+a0或2x2+2x+a0在（0，1）上恒成立a（2x2+2x）或a（2x2+2x）在（0，1）上恒成立设u（x）=（2x2+2x），x（0，1），易知：u（x）（4，0），a0或a4（3）令，令y=0x=0或x=1或x=1，列表如下：当k时，无零点；当k1或k=时，有两个零点；当k=1时，有三个零点；当时，有四个零点点评： 本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系对原函数进行求导，然后列出函数f（x）、f（x）随x变化的表格，其单调性、极值点即可呈现出来