1、第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan.2能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式.本节内容在高考中一般不单独命题，常与其他知识结合，以小题形式考查，属于基础题.基础梳理1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：.(2)商数关系：_.sin2xcos2x1 sin xcos xtan x2三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin 余弦cos 正切tan tan tan tan sin sin cos cos c
2、os cos cos sin sin sin 三基自测1(必修 4习题 1.2A 组改编)若 tan 2，则sin cos sin cos 的值为()A13B.53C.13D.53答案：C2(必修 4习题 1.3B 组改编)已知2，7sin 22cos，则 sin112 _.答案：4 373(必修 41.3 例题改编)化简sincos2costan _.答案：cos 4(必修 4习题 1.3B 组改编)cos174 sin174 的值是_答案：2考点一|同角三角函数关系的应用(方法突破)方法 1“平方关系”正、余弦的转化【例 1】(1)(2018安徽马鞍山二模)已知 cos2sin，则 1si
3、n cos4()A.512B.3 52C.12D.2(2)已知 为第二象限角，sin cos 33，则 cos 2()A.53B.59C 53D.59解析(1)由cos2sin 1sin2，可得sin 512，1sin cos4 1sin sin2 1sin 1cos2 1sin 1sin 2511 5122，故选 D.(2)sin cos 33，两边平方得 1sin 213，sin 223，(sin cos)21sin 253.为第二象限角，sin 0，cos 0，sin cos 153，cos 2(sin cos)(sin cos)153 33 53.故选 C.答案(1)D(2)C方法 2
4、“商数关系”弦与切的转化【例 2】(1)(2018嘉兴质检)若 sin cos 55，0，则 tan()A12B.12C2 D.2(2)若 tan 2，则2sin21sin 2 的值为()A.53B.134C.135D.134解析(1)由(sin cos)2sin2cos22sin cos 15，得 2sin cos 450，cos 0，cos 0，sin cos 3 55，又sin cos 55，sin 2 55，cos 55，得 tan sin cos 2，故选 C.(2)因为 tan 2，所以2sin21sin 2 3sin2cos22sin cos 3tan212tan 3221221
5、34.故选 D.答案(1)C(2)D名师点拨 1.利用 sin2cos21，可实现 sin 与 cos 之间的转化，即 sin 1cos2，cos 1sin2，注意“、”的选取或者进行“1”的整体换元2利用 tan sin cos 可实现弦与切的转化，由弦可转化为切跟踪训练(1)已知 tan()34，且 2，32，则 sin2()A.45B.45C.35D.35答案：B(2)已知 tan 2，则 cos()cos2 的值为_答案：25考点二|诱导公式及应用(思维突破)【例 3】(1)已知 cos6 23，则 sin23 _.(2)若 f(cos x)cos 2x，求 f(sin 15)的值解析
6、(1)sin23 sin26sin26cos6 23.(2)f(sin 15)f(cos 75)cos 150cos(18030)cos 30 32.名师点拨 利用诱导公式化简求值的方法(1)“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数(2)“大化小”，利用公式一将大于 360角的三角函数化为 0到 360角的三角函数，利用公式二将大于 180角的三角函数化为 0到 180角的三角函数(3)“小化锐”，利用公式六将大于 90角化为 0到 90角的角的三角函数(4)“锐求值”，得到 0到 90角的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得跟踪训练(1)若本例(
7、1)中条件不变，求 sin43 的值解析：sin43sin326cos6 23.(2)若本例(2)中条件不变，求 fsin 12 fcos 12 的值解析：fsin 12 fcos 12fcos2 12 fcos 12cos6 cos26cos6cos60.考点三|同角关系的诱导公式综合应用(方法突破)方法 1 已知角求三角函数表达式的值【例 4】求：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945的值解析 原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020(sin 1 050)tan 945sin 120cos 210cos 300(sin
8、 330)tan 225(sin 60)(cos 30)cos 60sin 30tan 45 32 32 121212.方法 2 已知代数式的值，求三角函数表达式的值【例 5】已知 tan()2，则 sin2sin cos 2cos23 的值为_解析 方法一 由 tan()2 得 tan 2，故 cos215，sin245，sin cos 25，故 sin2sin cos 2cos23195.方法二 由 tan()2 得 tan 2，所以 sin2sin cos 2cos23sin2sin cos 2cos2sin2cos23tan2tan 2tan213195.答案 195方法 3 三角函数
9、式的化简与求值【例 6】(1)已知 f()sincos2costan ，则 f313 的值为()A.12B.13C12D.13(2)tan 690的值为()A 33B.33C.3D.3解析(1)f()sin cos cos tan cos，f313cos313cos103 cos312.(2)tan 690tan(360330)tan 330tan(36030)tan(30)tan 30 33.答案(1)C(2)A名师点拨 化简三角函数式的基本思路分析结构特点，选择恰当公式，观察角的关系，获得最简形式(项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求值)跟踪训练(1)已知1sin xcos x 12，那么 cos xsin x1的值为()A.12B.12C2 D.2答案：A(2)已知 f(x)cos2nxsin2nxcos22n1x(nZ)，求 f136 .答案：14
