1、第三节 数系的扩充与复数的引入教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法及其几何意义3会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复习时要理解复数的相关概念，如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义2要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数除法的运算，如复数幂的运算与加法、除法的结合，复数的乘法与共轭复数的性质相结合等因为考题较容易，所以重在练基础.基础梳理1复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a，b都是实数，形如的数叫复数，其中实部为，虚部为，i叫作虚数单位
2、abi为实数，abi为虚数，abi为纯虚数abi abb0 b0 a0且b0 复数相等abicdi(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭(a，b，c，dR)复数a(a为实数)的共轭复数是aac且bdac且bd复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x轴叫作，y轴叫作实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量OZ的模叫作复数zabi的模，记作|z|z|abi|a2b2实轴虚轴2复数的几何意义复数 zabi(a，bR)一一对应 复平面内的点 Z(a，b)一一对应 向量OZ.3复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，
3、dR)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1z2(abi)(cdi)把实部、虚部分别相加减(ac)(bd)i 乘法z1z2(abi)(cdi)按照多项式乘法进行，并把i2换成1除法z1z2abicdiabicdicdicdi(cdi0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算(acbd)(adbc)i acbdc2d2 bcadc2d2 i(2)复数加法的运算律：设z1，z2，z3C，则复数加法满足以下运算律：交换律：z1z2；结合律：(z1z2)z3z2z1z1(z2z3)三基自测1(选修12习题3.2A组改编)复数52i2的共轭复数是()A2i B.2iC34i
4、D.34i答案：C2(选修12习题3.2A组改编)设mR，复数zm21(m1)i表示纯虚数，则m的值为()A1 B.1C1 D.0答案：A3(选修123.2练习改编)i是虚数单位，复数z满足(1i)z2，则z的实部为_答案：14(选修12习题3.2B组改编)复数z 7i34i，其中i为虚数单位，则|z|_.答案：2考点一|复数的有关概念(易错突破)【例1】(1)(2016高考全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3 B.2C2 D.3(2)(2016高考全国卷)设复数z满足zi3i，则 z()A12i B.12iC32i D.32i(3)(2017洛阳统考)已知
5、复数a3i12i是纯虚数，则实数a()A2 B.4C6 D.6解析(1)(12i)(ai)(a2)(2a1)i，由已知条件，得a22a1，解得a3.故选A.(2)易知z32i，所以 z 32i.故选C.(3)a3i12ia62a3i5，当a6时，复数a3i12i为纯虚数故选D.答案(1)A(2)C(3)D名师点拨 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意求解2复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件为a0，b0，解题时，不要丢掉b0的条件跟踪训练(1)在本
6、例(1)中，若(12i)(ai)(aR)为纯虚数，如何选取答案？答案：C(2)在本例(2)中，求|z|的值解析：z 32i，|z|3222 13.(3)本例(3)中，za3i12i为实数，则a为多少？解析：za65 2a35iR，2a30，a32.考点二|复数的几何意义(思维突破)【例2】(1)(2018高考北京卷)在复平面内，复数11i 的共轭复数对应的点位于()A第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限(2)已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC OA OB，(，R)，则的值是_(3)复数|z|1，则|zi|的最大值为_解析(1)11i1
7、i1i1i1212i的共轭复数为1212i，对应点为12，12，在第四象限，故选D.(2)由条件得OC(3，4)，OA(1,2)，OB(1，1)，根据OC OA OB，得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，3，24，解得1，2.1.(3)设zxyi(x，yR)，由于|z|1，x2y21，即点z(x，y)在单位圆上，|zi|xyii|x2y12 表示(x，y)与点(0，1)的距离，如图，|zi|max2.答案(1)D(2)1(3)2名师点拨 解决复数的几何意义问题主要用到方程及不等式思想、数形结合思想：(1)已知复数对应点的位置求参数范围，可建立不等式求解(2)已知复数对应的点进行运算时，可
8、建立方程待定系数求解(3)研究复数模的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解跟踪训练(1)在复平面内，复数23i34i(i是虚数单位)所对应的点位于()A第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限答案：B(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i，则B点对应的复数为_答案：16i(3)(2018泉州模拟)复数zm2i12i(mR，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限解析：zm2i12i m2i12i5m452m25i，显然m450与2m250不可能同时成立，则zm2i12i对应的点不可能位于第一象限答
9、案：A考点三|复数的代数运算(方法突破)方法1 根据复数的运算法则直接计算【例3】(2018高考天津卷)i是虚数单位，复数67i12i_.解析 由复数的运算法则，得67i12i67i12i12i12i205i54i.答案 4i方法2 利用复数相等间接求解【例4】(2016高考山东卷)若复数z满足2z z 32i，其中i为虚数单位，则z()A12i B.12iC12i D.12i解析 设zabi(a，bR)，则 z abi.故2z z 2(abi)abi3abi32i，所以3a3，b2，解得a1，b2，所以z12i.故选B.答案 B方法3 利用复数的有关性质进行计算【例5】已知复数z1 2i1i
10、，则1zz2z2 016为()A1i B.1iCiD.1解析 z1 2i1i12i1i2i，1zz2z2 01611z2 0171z1i2 0171i 1i450411i1i1i1，故选D.答案 D名师点拨 利用复数的四则运算求复数的一般思路(1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算(2)复数的除法运算：主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简(3)解简单的复数方程：利用复数的四则运算求解即可跟踪训练(1)若abi512i(i是虚数单位，a，bR)，则ab()A2 B.1C1 D.2答案：A(2)z 是z的共轭复数若z z 2，(z z)i2(i为虚数单位)，则z()A1i B.1iC1i D.1i答案：D(3)设复数z满足(z2i)(2i)5，则z_.答案：23i