1、不同函数增长的差异(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.幂函数,指数函数,对数函数是生活中三类常见基本的初等函数,可以刻画客观世界不同的变化规律.已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则()A.abcB.bacC.acbD.bc1,曲线为指数函数y=bx,为减函数,则0b1,曲线为幂函数y=xa,在(0,+)上为减函数,则a0,所以a0b11时,甲走在最前面;当x1时,乙走在最前面;当0x1时,丁走在最后面;丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;()A.正确B.正确C.正确D.正确【解析】选C、D.路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x0)的
2、函数解析式是f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数函数.当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,命题不正确;x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,命题不正确.对数型函数的变化是先快后慢,当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体重合,从而可知当0x1时,丁走在最后面,命题正确;结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,命题正确.故选CD.5.面对函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+)上的衰减情况说法正确的是()A.f(x
3、)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越慢B.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越快C.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越慢D.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越快【解析】选C.函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+)上的图象如图所示.观察图象可知,函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢,在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数g(x)的图象在区间(0,+)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函
4、数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢,故选C.6.西部某地区实施退耕还林,森林面积在20年内增加了5%,若按此规律,设2019年的森林面积为m,从2019年起,经过x年后森林面积y与x的函数解析式为()A.y=B.y=mC.y=m(1+5%D.y=1+(5%)xm【解析】选C.设平均每年增加a%,则(1+a%)20=1+5%,所以1+a%=(1+5%,可知经过x年后森林面积y与x的函数解析式为y=m(1+5%.二、填空题(每小题5分,共10分)7.果蔬批发市场批发某种水果,不少于100千克时,批发价为每千克2.5元,小王携带现
5、金3 000元到市场采购这种水果,并以此批发价买进,如果购买的水果为x千克,小王付款后剩余现金为y元,则x与y之间的函数关系为;x的取值范围是.【解析】由题意可知函数关系式是y=3 000-2.5x,由题意可知最少买100千克,最多买=1 200千克,所以函数的定义域是100,1 200.答案:y=3 000-2.5x100,1 2008.某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种模型:f(x)=pqx(q0,且q1);f(x)=logpx+q(p0,且p1);f(x)=x2+px+q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为(填序号).若所选函数满
6、足f(1)=10,f(3)=2,则f(x)=. 【解析】因为f(x)=pqx,f(x)=logpx+q都是单调函数,函数f(x)=x2+px+q的图象先下降后上升.所以选择函数f(x)=x2+px+q.又f(1)=10,f(3)=2,所以所以p=-8,q=17,所以f(x)=x2-8x+17.答案:x2-8x+17三、解答题9.(10分)某校甲、乙两食堂2019年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知2019年9月份两食堂的营业额又相等,求2019年5月份营业额较高的是哪个食堂?【解析】设甲以后每个月比前一个月增加
7、相同的营业额a,乙每个月比前一个月增加营业额的百分比为x,1月份的营业额设为1,由题意得1+8a=1(1+x)8,5月份甲的营业额为1+4a,5月份乙的营业额为1(1+x)4,即.因为(1+4a)2-(1+8a)=16a20,所以1+4a,所以2019年5月份营业额较高的是甲.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为接近的是()A.y=0.2xB.y=(x2+2x)C.y=D.y=0.2+log16x【解析】选C.用排除法,当
8、x=1时,排除B项;当x=2时,排除D项;当x=3时,排除A项.2.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:这个指数函数的底数是2;第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2;浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是()A.B.C.D.【解析】选B.由题意知图象单调递增,底数大于1,又过点(2,4),故对;令t=5,得y=25=3230,故对;若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月,则有12=23.5,因为23.5=812,故错;由指数函数模型的图象上升特征,可知错.二、填空题
9、(每小题5分,共20分)3.函数y=x2与函数y=xln x在区间(1,+)上增长较快的一个是.【解析】当x变大时,x比ln x增长要快,所以x2要比xln x增长得要快.答案:y=x24.计算机的价格大约每3年下降,那么今年花8 100元买的一台计算机,9年后的价格大约是元.【解析】设计算机价格平均每年下降p%,由题意可得=,所以p%=1-,所以9年后的价格约为y=8 100 =8 100=300(元).答案:3005.某工厂生产某种产品的月产量y与月份x之间满足关系y=a1.5x+b.现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为3万件、5万件.则此工厂3月份该产品的产量为万件.【解析】由已
10、知得解得所以y=1.5x-1.当x=3时,y=8.答案:86.麋鹿是国家一级保护动物,位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区,成立于1985年,最初一年年底只有麋鹿100头,由于科学的人工培育,这种当初快要灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y=alog2(x+1)给出,则2000年年底它们的数量约为头.【解析】由题意,x=1时y=100,代入求得a=100.2000年年底时,x=15,代入得y=400.答案:400三、解答题(每小题10分,共20分)7.树林中有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后的五年内,年增长率为20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,
11、年增长率为10%,现有两种砍伐方案:甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.请计算后回答:十年内哪一种方案可以得到较多的木材?(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算)【解析】设树林中这种树木的最初栽植量为a(a0),甲方案在10年后树木产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.21.1)54a.乙方案在10年后树木产量为y2=2a(1+20%)5=2a1.254.98a.y1-y2=4a-4.98a0,因此,乙方案能获得更多的木材.8.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估计以后每个
12、月的产量,以这3个月的产品数量为依据,用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c(a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,试问:用以上哪个函数作为模拟函数较好?请说明理由.【解析】设两个函数:y1=f(x)=px2+qx+r(p0),y2=g(x)=abx+c.依题意,解得所以y1=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,所以f(4)=1.3(万件).依题意,得解得所以y2=g(x)=-0.80.5x+1.4.所以g(4)=-0.80.54+1.4=1.35(万件).经比较,g(4)=1.35(万件)比f(4)=1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件.所以选y2=g(x)=-0.80.5x+1.4作为模拟函数较好.